信号与系统第四章

1、第四章 连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析 本章要点本章要点 FF FF FF FF 连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析 系统无失真传输的条件系统无失真传输的条件 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 调制与解调调制与解调 LTILTI系统的全响应零输入响应零状态响应系统的全响应零输入响应零状态响应 本节只研究零状态响应。本节只研究零状态响应。 0 ( ) t e tetd )(te ( )h t )(*)()(thtetr 即将即将 分解为无限个分解为无限个 之叠加之叠加。)(te( ) t 0 ( )( )( ) t r th te th

2、e td 即零状态响应分解为所有被激励加权的即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加。之叠加。( )h t 时域方法缺点：计算复杂。时域方法缺点：计算复杂。 4.1 连续时间系统的频域分析 1.1.时域分析法时域分析法 2.2.频域分析法（是变换域分析法的一种）频域分析法（是变换域分析法的一种） )()(trjR )(jH ( )( )( )r th te t由时域卷积定理知：由时域卷积定理知： ( ) ( )( ) ( ) ( ) () F r tF h te tF h tF e t R jHjE j R j Hj E j 即 称为系统函数（或传递函数）称为系统函数（或传递函数） 此方法称

3、为频域分析法，另外还有复频域分析法、此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z Z域域 分析法等都是属于变换域分析法。分析法等都是属于变换域分析法。 )()( jEte 0 11 ( )|cos 2 j t e tE jedE jtd 0 11 ( )() 2 j tj t r tR jedHjE jed 将任意激励信号分解为无穷多项 信号的叠加 （或无穷多项正弦分量的叠加） tj e 将无穷多项 信号分量作用于系统所 得的响应取和（叠加） tj e 2 总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号 分解、求响

4、应再叠加的原则来处理。分解、求响应再叠加的原则来处理。 也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时 域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。 频域分析法：频域分析法： 1 1 1 e ttt R jHj h tFHj 当时， 即冲激响应 )(*)()(thtetr )()()(jHjEjR 有始信号通过线性电路的瞬态分析有始信号通过线性电路的瞬态分析 ( )2e ttt 0ut 例例1 1：已知：已知 ，求零状态响应求零状态响应 。 R o utRi t dut i tC dt () 1 R o

5、UjRIj Uj Ijj C 频域阻抗 R 0()UjC ()E j 1 j C Ij 频域电路模型频域电路模型 )()( 0 jcUjjI R ( )e t ( ) o u t C 时域电路模型时域电路模型 （RCRC低通网络）低通网络） )(tuR 2 2222 ) 2 (2 ).( 2 )1( 2 1 )( 1 )( 2)()1( j jjjj j jj eSa eeee j e j e j e j jE 解：解： 2 2 11 0 1 2 1( )()12 2 1 1 2() 1 1 1 3()()()2 12 22 4( )()1(1) 1 2 1 j j a j a jj j F

6、e tE jeSe j jc Hj jRc R jc R jE jHjSe jRc utFR jFee j j RC Fe j 解： 求 求系统函数，电压传输比 求 求 1 () 0 22 ) 11 1 ( )2( ) 1 1 ()2() 1 ( )2( )()2 1() j t t RC t tjj RC t RC e jj RCRC etet j j RC eteeet j j RC utttet 2 利用。得 2 。得 故 电压传输比 RCj Cj R Cj jE jU jH 1 1 1 1 )( )( )2( 0 ）（求系统函数求系统函数 ( )2e ttt 1 )1 ( 2 )1 (

7、 2 ) 1 1)(1 ( 2 1 1 RCj RCj e j e j F RCj RCj e j F jj j 1 1 )1 ( 2 1 1 )1 ( 2 )()()4( 1 11 0 RCj RCjRCj e j F RCj e j FjRFtu j j 求 1 2 1 2 )1 ( 2 1 )1 (2)1 ( 2 1 1 jj jj e RC j RC j e j F RCj RC ee j F )(2 1 2 , 1 )( )(2 1 2 , 1 )( )( 1 tee RC j e j te te RC j j te RC t jjt t RC t 得 得利用 )(1 2)(1 2

8、)()(2)()(2)( 1 1 0 tete tetetttu RC t t RC RC t t RC 例题说明例题说明 R C 1 1 2 2 2 Ot E Ot O O E O 1 22 o ut 2 1 1 Hj RC 2 2 E jSa e t e t o ut RC 1 急速变化处意味着 有很高的频率分量 | )().(| )(| 0 jEjHjU 从以上分析可以看出，利用从以上分析可以看出，利用 从频谱改变的观点从频谱改变的观点 解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立 叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期

9、信号作叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作 用于具体电路的响应时，用用于具体电路的响应时，用 更方便，很少利更方便，很少利 用用 。 这节引出这节引出 的重要意义在于研究信号传输的基本特的重要意义在于研究信号传输的基本特 性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。 Hj 结论结论 H S Hj Hj 信号分析信号分析 傅里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。傅里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。 现代通信系统的发展处处伴随着傅里叶变换方法的精心现代通信系统的发展处处伴随着傅里叶变换方法的精心 运用。从本章开始介

10、绍这些应用中最主要的几个方面运用。从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面 滤波、调制、失真。滤波、调制、失真。 4.2 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 改变图像变换改变图像变换 H(u,v)H(u,v)被称为滤波器，类被称为滤波器，类 似日常生活中的筛子。似日常生活中的筛子。 滤波器是如何作用于图像的滤波器是如何作用于图像的 1 1、陷波滤波器、陷波滤波器 2 2、低通滤波器、低通滤波器 3 3、高通滤波器、高通滤波器 因高频分量被衰减，图像少了因高频分量被衰减，图像少了 一些尖锐的细节部分，所以图像被一些尖锐的细节部分，所以图像被 模糊了。模糊了。 因

11、低频分量被衰减，图像在平因低频分量被衰减，图像在平 滑区域中将减少一些灰度级的变化，滑区域中将减少一些灰度级的变化， 并突出过渡（如边缘）灰度级的细并突出过渡（如边缘）灰度级的细 节部分，所以图像被锐化了。节部分，所以图像被锐化了。 一、理想低通滤波器的频域特性一、理想低通滤波器的频域特性 为截止频率为截止频率(Cut off frequency)c 0 1 | )(| | )(|)( )( jH ejHjH j c c | | 0 )(t 相移特性是过原点直线相移特性是过原点直线 4.2 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 阻带 | )(|jH 通带 阻带

12、)( c 0 c 二、理想低通滤波器的冲激响应二、理想低通滤波器的冲激响应 dee dejH jHth c c tjtj tj 0 2 1 )( 2 1 )()( 1 F 由图知由图知t0时时， ，而输而输 入入 在在t=0t=0时加入时加入，这是反这是反 因果规律的，所以理想低通因果规律的，所以理想低通 滤波器是无法实现的滤波器是无法实现的。 ( )0h t ( ) t )(th t 0 t c 0 0 0 0 0 )( )( )(sin )(2 1 0 ttS tt tt ttj e c a c c cc ttj c c 三、理想低通滤波器的阶跃响应三、理想低通滤波器的阶跃响应 设理想低通

13、滤波器的阶跃响应为设理想低通滤波器的阶跃响应为 gt t g th tthd 0 0 0 sin t c c t c c c Satd t d t 令令 0c xt ， 则 cd dx，于是有，于是有 01sinc t t x g tdx x 0 0 0 1sinsinc t t xx dxdx xx 01sinc t t x g tdx x 0 0 0 1sinsinc t t xx dxdx xx 上式第一项积分上式第一项积分 0 s in 2 x d x x 第二项积分是正弦积分函数第二项积分是正弦积分函数 0 s i n () y S iyd 它的函数值可从正弦积分函数表中查得，于是可

14、得理想低通滤波器的阶跃响应为它的函数值可从正弦积分函数表中查得，于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为 0 11 2 c g tSitt x xsin x 1 O 2 3 4 x Si x O 2 2 式中式中 称为正弦积分函数称为正弦积分函数 1 tO 2 1 0 t tO dy y y xSi x 0 sin )( )(tg B B t A A t )( 1 2 1 )( 0 ttSitg c )(t A点处： C AB tt 84.3 B点处： 查表得：查表得： 故可求得：故可求得： 响应电压的建立时间与通频带成反比。响应电压的建立时间与通频带成反比。 )( 1 2 1 )( 0 ttSit

15、g c 2 )(, 0)( 0 ttSitg AcA ) 1 (92. 1)( 0 tt Ac 由正弦积分函数表可得 2 )(, 1)( 0 ttSitg BcB )2(92.1)( 0 tt Bc 四、理想低通滤波器的物理可实现条件四、理想低通滤波器的物理可实现条件 给定一个网络数学模型，什么样的可以物理实现，什么样的不行？这是一个 网络综合问题。 () () H j H j 网网络络的的逼逼近近：找找一一个个可可实实现现的的去去逼逼近近理理想想网网络络 的的理理想想条条件件 网网络络综综合合 网网络络的的实实现现：根根据据所所找找到到的的，确确定定网网络络的的结结构构 和和元元件件参参数数

16、 网络分析：已知网络结构和参数，求系统在一定输入下的响应。网络分析：已知网络结构和参数，求系统在一定输入下的响应。 网络综合：在给定网络特性的情况下，确定网络的结构和参数。网络综合：在给定网络特性的情况下，确定网络的结构和参数。 1. 1. 物理可实现的时域条件：物理可实现的时域条件： 2 ln 1 Hj d 0,0h tt 时， 这一条件也称为“因果条件” 2. 2. 物理可实现的频域条件：物理可实现的频域条件： 物理可实现的必要条件是：物理可实现的必要条件是： 其中其中 Hj 满足满足 2 |Hjd 这一条件称为佩利维纳准则这一条件称为佩利维纳准则 例如：理想低通滤波器例如：理想低通滤波器

17、| 0, c Hj时， ln,Hj 这时 2 ln 1 Hj d 于是不收敛， 违反了佩利维纳准则违反了佩利维纳准则 ，则系统不可实现。，则系统不可实现。 举例：一个简单的低通滤波器。举例：一个简单的低通滤波器。 L C R 2( )Ut 2()Uj j L 1 j C R 1( )Ut 1()Uj 分析： 可看出， 与理想低通滤波器有些相似，不同在于)(|,)(| jH 2 2 1 1 2 22 2 2 1 1 ()11 () 1 () 1 1 11 ,(),() 1 1 ( ) 3 2 2 (), 3 3 22 ( ) cc c c c cc c c c c UjRjc Hj Uj jL

18、j Rjc Hjtg LC h t Hj j h tFH 令 下 面 求 系 统 的 2 23 ()sin 23 c t c cjet ( )0,0h tt 以图示电路为例，设 ， 则网络系统函数： C L R 例题分析例题分析 ) t ( cc0 | )(|jH 2 c c ( ) )(th t 0 例题分析例题分析 与理想低通 滤波器有些相似，不同在 于 )(|,)(| jH ( )0,0h tt “佩利维纳准则”是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。 4.3 4.3 调制与解调调制与解调 一、为什么要调制？一、为什么要调制？ 为了有效传输信号为了有效传输信号 天线尺寸可实现。天线尺

19、寸可实现。 天线尺寸天线尺寸 f f c f 变变频频信信号号 信信号号波波长长） 光光速速一一定定v ( 10 1 不同信号在同一信道里传输不产生重叠。不同信号在同一信道里传输不产生重叠。 （用多路复用技术解决：在一个信道中传输多路信号。）（用多路复用技术解决：在一个信道中传输多路信号。） 调制是实现多路复用的关键技术。调制是实现多路复用的关键技术。 二、调制原理二、调制原理 theory of modulation theory of modulation 。 调制调制将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。 相乘相乘 )(tg ttg0

20、cos)( t0cos 待传输的信号，称为调制信号 运载 的高频振荡信号称为载波。 为经调制后的高频信号称为已调波。 )(tg t0cos ttgtf0cos)()( )(tg 应用傅里叶变换的性质说明频谱搬迁的原理应用傅里叶变换的性质说明频谱搬迁的原理 G 0 1 m m t 0 cos 0 1 0 0 )()( )()(jGtg )()( )()( 2 2 2 1 )(cos 00 00 0 00 变换由复指数函数的傅里叶 tjtj eet )(F 2 1 0 0 0 m 0 )( 0m )( 0m m 0 )()( 2 1 )()( 2 1 )()()( 2 1 )(cos)( 2 1

21、)cos)()( 00 00 00 0 0 GG jGjG G ttg ttgtf 分析例中已调波ttgtf 0 cos)()( 振幅随调制信号而变，这种调制称为调幅 调制调制 调幅调幅 调频调频 调相调相 脉冲调制（分两步进行）脉冲调制（分两步进行） 这些内容在后续课本 中学习如高频电子线 路、通信原理 三、调幅波的频谱分析举例三、调幅波的频谱分析举例 调调幅幅系系数数令令 调调幅幅波波（已已调调信信号号） 调调制制信信号号 载载波波 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 000 )cos(cos1 )cos(cos )cos()()( )()( )cos()()( cos)( co

22、s A kE m tmA tEkA ttkeAta tkeAtA ttAta Ete Aa nm n c n nntn c n nntnm c c n nntnm c 1、正弦调制 000000 00 0 cos 2 cos 2 )cos( )cos()cos(1)( )cos()( tA m tA m tA tmAta A kE mtEte ccc c m m ，设设 载频分量上边频分量 边频分量 下边频分量 频谱频谱 0 A 2 0 mA 2 0 mA c c c 调幅波的频宽为调制频率的两倍调幅波的频宽为调制频率的两倍 这种调制中载波的振幅随信号e(t)成比例的改变，称为调幅，简称AM

23、a(t)中含有载波分量，当 时，解调不需本地载波，直接用简单的包 络检波器（二极管、电阻、电容组成）即可提取包络恢复e(t)。接收机 简单，成本降低，但代价是使用价格昂贵的发射机。 1m 0 tEte m cos)( 0 t tteAta c cos)()( 0 )cos( 0 tA c 0A 0 A kE m m 2 2、复杂周期信号调制、复杂周期信号调制 )cos()cos(1 cos 2 cos 2 )cos()( 0 1 0 0 1 00 1 0000 tt A kE A tA m tA m tAta cnn n nm n nnc n n nnc n c nm E m E1 m E2

24、m E3 0 1 2 3 sm B频宽 调制信号频谱 0 A 0 1 2 A m 0 2 2 A m 0 3 2 A m 0 1 2 A m 0 2 2 A m 0 3 2 A m c 1 c 2 c 3 c 2 c 1 c 3 c 下边带上边带 sms B2B 边带频宽边带频宽 调幅波的频谱 ),max(23 2 E1 2112nnnncc c nm （最最高高调调制制频频率率）、 附附近近。载载频频、信信号号的的频频谱谱被被搬搬移移到到 相相同同。、边边带带频频谱谱结结构构与与分分析析： 1c 11nc 2c 21nc 千千赫赫频频 两两临临近近电电台台的的载载 赫赫频频段段 号号例例如如

25、：电电台台广广播播声声音音信信 9 450050 12 cc 3 3、频分复用（多路复用技术之一）、频分复用（多路复用技术之一） )( 1 te )( 2 te )(ten )cos(t cn )cos( 2tc )cos( 1tc 1调制 2调制 n调制 )( 1 ta )( 2 ta )(tan )(ta 至信道传输至信道传输 多路复用多路复用 频分复用频分复用 时分复用时分复用 1c 2c cn 四、解调四、解调 demodulationdemodulation 解调解调由已调信号由已调信号a a（t t）恢复原始信号）恢复原始信号e e（t t）的过程称为）的过程称为解调。 高。但发射

26、机功率大，成本 本低（民用）。）接收机结构简单，成调幅（ 振幅调制或 AM )cos()()( 00 ttkeAta c (VSB)调制残留(SSB).还有单边带调制 SC)(AM抑制)cos()()( 边带 载频调幅tteta c 此时时调波幅表示为 号。较小发射功率去传输信出去，波分量抑制掉而不发分若则可用将载 )( 0 te 本本地地载载波波t c cos 相乘相乘低通低通 tte c cos)( )(te mcmc 2 )(E m m 1 0 )2()2( 4 1 )( 2 1 )()( 2cos)( 2 1 )( 2 1 2cos1)( 2 1 coscos)()( 00 0 cc

27、c c cc EEE teE ttete tte tttete )( 0 E 2 1 4 1 4 1 m m c 2 c 2 0 m m 2 1 0 )( 2 te c 附附近近的的分分量量，即即可可取取出出 滤滤除除在在频频率率为为再再利利用用一一个个理理想想低低通通， )(jH c c 理想低通滤波器 )(jH )(jE)(jR )(jH c 1 c 0 0 )()( )( 0 tj ejHjH t 4.4 系统无失真传输的条件系统无失真传输的条件 由前面举例（例由前面举例（例1 1）知：）知： 2 )(te C R )( 0 tu 2 0 0t )( 0 tu)(te 失真失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中 产生了失真产生了失真。 一一. .线性系统引起信号失真的原因线性系统引起信号失真的原因 1.1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的 衰减，引起幅度失真。衰减，引起幅度失真。 是指响应信号与激励信号相比，只是幅度大小和出现是指响应信号与激励信号相比，只是幅度大小和出现 的时间先后不同，而无波形上的变化。的时间先后不同，而无波形上的变化