线性代数矩阵的秩汇编

1、 nmk,min k n k m CC 12310 02111 00030 00000 A 取A的1、2、3行和A的1、2、4列得到A的一个3阶子式为 121 0216 003 12310 02111 00030 00000 A 取A的1、2、3、4行和A的1、2、3、4列得到A的一个4阶 子式为 1231 0211 0 0003 0000 注注 对一个nm 矩阵显然有 个k阶子式 一共有 定义定义2： 矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩秩， 并规定零矩阵的秩是零。规定零矩阵的秩是零。记作秩为R(A)， 例 12310 02111 00030 00000 A 矩阵A的所有4阶子式全为0

2、（为什么？）有一个3阶 子式不为0，故 R(A)=3 注：注： （1）事实上矩阵A是阶梯形矩阵， 它的秩等于其非零 行的个数。这对一般的阶梯形矩阵也成立。 （2） nm矩阵秩显然有 0( )min,R Am n 即一个矩阵的秩肯定小于等于矩阵行数和列数的最小者 （3）( )R ArA中所有所有r+1阶子式全为零 ( )R ArA中所有大于r阶子式全为零 ( )R ArA中有一个一个r阶子式不为零 例例1 求矩阵A的秩，已知 1200 1011 2401 1034 A 解解: 首先考查A的最高阶子式(这里为4阶且只有一个)即 A40 故 ( )4R A n阶方阵A可逆的充分必要条件是秩定理定理1

3、 R(A)=n 当n阶方阵A的秩为n时，也称A为满秩矩阵满秩矩阵， 否则称A为降秩矩阵降秩矩阵。 注注 (2)n阶方阵A不可逆 0A(1)n阶方阵A秩为n ( )R An (3)n阶方阵A不可逆 0A 证明不等式 例例 3设A，B都是 nm型矩阵，令 )( 2 BAC nm )()()()(),(max(BRARCRBRAR 例例2 试证对任意矩阵A，总有 ( )() T R AR A 定理定理2 矩阵经初等变换后其秩不变 先证明: 若 A 经一次初等行变换变为B ,有证明证明: 即 R(A) R(B). 设 R(A) = r, 则 A 有某个 r 阶子式记为 r D 当BA ji rr i

4、kr AB 或时, 相对应的r 阶子式则在 B 中总能找到与 r D r D ,rr rr DDDD 或 因此,D r0 从而 二：利用初等变换求矩阵的秩二：利用初等变换求矩阵的秩 0 r D 且 (1) ,r r DkD或 ( )rR B 满足 当BA ji krr 时, (2) 由于对换 ij rr 时结论成立, 12 r kr AB 这一特殊情况. （） （） r D 0 rr DD ( )rR B 若 含第A第1行, 这时 r D也是B 的r阶非零子式,故 r D不含第A第1行, 1212 , ppp r rr qqq rkrrr rrr DkDkD rrr 2p 则 2p 若也是B

5、r D的r阶子式, 0r rr DkDD由 知 r DrD与不同时为0. 总之B 中存在的r阶非零子式 r DrD或,( )rR B 故只需考虑 故 以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B , 则 R(A) R(B). 由于 B 亦可经一次初等行变换变为A 故也有 R(B) R(A). 行变换矩阵的秩仍不变. . 因此 R(A) = R(B). 经一次初等行变换矩阵的秩不变, 即可知经有限次初等 故矩阵经初 推论推论1 一个矩阵的阶梯形中非零行的个数就是原矩阵的秩。 为了计算矩阵A的秩，只要用初等行变换把A变成阶梯 形即可。 对列变换同理可证明. 等变换后其秩不变 例例3 求矩阵A的秩，已知 1200 1011 2401 1034 A 解解: 法二法二 1200 1011 2401 1034 A 21 rr 21 2rr 31 rr 1200 0211 0001 0234 42 rr 1200 0211 0001 0023 1200 0211 0023 0001 43 rr 故 ( )4R A 例例4 已知阶方阵( 1)n abbb bbab bbba A ( )R A求 A 1k rr 2,3,kn 00 00 00 abbb baa b baa b baa b 解解: 1 2 n j j cc (1) 000 000 000 anbbbb a