材料力学第6章

1、 刚度设计奠定基础 刚度设计刚度设计 目的目的：就是根据零件和构件的不同工艺：就是根据零件和构件的不同工艺 要求，将最大的位移限制在一定范围内要求，将最大的位移限制在一定范围内 因为杆件的内力一般不是均匀的，选择因为杆件的内力一般不是均匀的，选择 微段使问题简化；微段使问题简化； 是研究整体变形的基础是研究整体变形的基础 微段变形：拉压杆 dx+dux EA F Ex u xNx x x x , d d xd EA F dx E dxud Nxx xx P d d GI M x x 微段变形-扭转杆 ,dx EI M d , EI M dx d y y y y y y y 1 微段变形:弯曲梁

2、微元 xd EA F ud Nx x dx EI M d y y y 微段变形 整体变形-微段变形累加的结果 xd EA F ud Nx x lNx l x xd EA F dul 0 0 整体变形-微段变形累加的结果 整体变形- -弯曲变形弯曲变形 整体变形 挠度挠度 w：轴线上任一点有：轴线上任一点有 沿铅垂方向位移沿铅垂方向位移(截面形心截面形心). 整体变形 转角位移转角位移 ：变形后横截面：变形后横截面 相对于变形前位置绕中性轴相对于变形前位置绕中性轴 转角转角. 转角位移转角位移 与挠度 与挠度w是否有是否有关系关系? 整体变形整体变形 转角转角 ：截面绕中性轴转角：截面绕中性轴转

3、角 定义定义角角 1 1: :挠曲线切线与挠曲线切线与x x轴夹角轴夹角. . x w x w d d tan d d 1 11 由 没有约束无法确定绝对位移没有约束无法确定绝对位移 连续光滑曲线；铰支座对位移的限制 z p z z z EI aF EI M 1 aFp aFp 连续光滑曲线；固定端对位移的限制 z z z EI M1 aFp aFp )(xww 研究弯曲梁曲率半径表达式研究弯曲梁曲率半径表达式: : 1 xd wd 2 EI M x w 2 2 d d EI M x w 2 2 d d EI M x w 2 2 d d EI M x w 2 2 d d 0 d d 0 2 2

4、 x w ,M 0 d d 0 2 2 x w ,M EI M x w 2 2 d d DCxdx EI )x(M w Cdx EI )x(M dx dw )( 1P 3 0 44 l MxF xx 2PP 3 444 ll MxF xFxxl 2 1 1P 2 d3 0 d44 wl EIMxF xx x 2 2 2PP 2 d3 d444 wll EIMxF xFxxl x 1 2 P1 8 3 CxFEI 11 3 P1 8 1 DxCxFEIw 2 2 P 2 P2 42 1 8 3 C l xFxFEI 22 3 P 3 P2 46 1 8 1 DxC l xFxFEIw 4 0 l

5、 x lx l 4 x0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; 1= 2 D1D2 =0 2 P21 128 7 lFCC 得到得到4个积分常数个积分常数 22 P 37 8128 F xxl EI xlx EI F xw 23P 128 7 8 1 2 22 P 317 824128 Fl xxxl EI xl l xx EI F xw 2 3 3P 128 7 46 1 8 1 EI lF wB 3 P 256 3 2 P 7 128 A F l EI 2 P 5 128 B F l EI 奇异函数法求解梁位移中的应用 n n阶阶 0 0阶阶 1 1阶阶 2 2阶阶 弯曲梁

6、弯矩方程如何用奇异函数表示 P1 F P2 F Pn F 弯矩方程如何用奇异函数表示? 每个力偶单独作用的结果每个力偶单独作用的结果 每个集中力单独作用的结果每个集中力单独作用的结果 各个力偶和集中力作用的结果叠加各个力偶和集中力作用的结果叠加 -弯矩用奇异函数表示 单个力偶作用的情形 弯矩方程的奇异函数表示 单个集中力作用的情形 j 1 PP )( jjj bxFFM 弯矩方程的奇异函数表示 弯矩方程的奇异函数表示 一般情形: m个力偶和n个集中力共同作用 例题2 用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角 已知：已知：FP、EI、l 例题2 （1）弯矩

7、方程（只需考虑左端约束力3FP/4 和载荷FP) 例题2 （2）挠度微分方程 例题2 （4）利用约束条件确定积分常数 （3）微分方程的积分 例题2 （5）挠度与转角方程 例题2 （5）挠度与转角方程 l针对受复杂载荷梁的位移计算针对受复杂载荷梁的位移计算, 不必不必 用积分法或用积分法或 l充分利用已知结果进行叠加充分利用已知结果进行叠加,可利用的资可利用的资 源包括挠度表等源包括挠度表等(1版版152-154页页,2版版237- 239页页) 目的目的: : 简化计算简化计算 第一类叠加法 梁在多个载荷作用的情形 已知：q、l、EI 求：wC ,B 例题2 分解为几种简单载荷作用 下的情况(

8、挠度表) 梁简单载荷作用下的挠度和转角可通过查表(1版152页,2版 237-238)得到 第一类叠加法: 归纳： 当梁上有几种不同载荷作用时如何确定梁的挠度 和转角? 可首先考虑各个载荷单独作用的情形,由挠度 表(书152页)查得各个载荷单独作用下的挠度 和转角,再将结果进行迭加(代数值相加),可得到 所有载荷共同作用的总结果。 第一类叠加法 例 题 3 例 题 3 第二类叠加法(逐段钢化) 可应用于简单刚架结构的位移计算 用叠加法求 AB梁上E处的 挠度 wE wE 1 wE 2 B wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 2 例 题 4 wE = wE 1+ wE 2= w

9、E 1+ wB/ 2 第三类叠加法斜弯曲梁的自由端位移 zy w,w 22 zy www 第三类叠加法斜弯曲梁的位移 z p z py y EI l )cosF( EI lF w 33 33 y p y pz z EI l )sinF( EI lF w 33 33 tan I I w w tan y z y z = 简单的超静定问题 简单的超静定问题 简单的超静定问题 拉压超静定问题 E2A2 l2 E3A3 l3=E2A2 l2 E1A1 l1 简单的超静定问题 A BCD 例题5 FP 拉压超静定问题 E2A2 l2 E3A3 l3=E2A2 l2 E1A1 l1 简单的超静定问题 y x

10、A BCD 例题5 FP FP FN3FN2 FN1 A 拉压超静定问题例题5 3-2=1 简单的超静定问题 0sinsin 3N2N FF 0coscos P3N2N1N FFFF y x FP FN3FN2 FN1 例题5 l1 l3 coscoscos 11132 llBAAlll 简单的超静定问题 E2A2 l2 E3A3 l3=E2A2 l2 E1A1 l1 BCD A FP l2 A B B1 1 D D1 1 简单的超静定问题 简单的超静定问题 P 3 11 22 2 11 22 N3N2 3 11 22 P N1 cos 2 1 cos , cos 2 1 F AE AE AE

11、 AE FF AE AE F F 由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解 出 简单的超静定问题 例题5 E2A2 l2 E3A3 l3=E2A2 l2 E1A1 l1 A BCD FP 0, 321 NNpN FFFF P 3 11 22 2 11 22 N3N2 3 11 22 P N1 cos 2 1 cos , cos 2 1 F AE AE AE AE FF AE AE F F P 3 2211 2 22 N3N2 P 3 2211 11 N1 cos2 cos , cos2 F AEAE AE FF F AEAE AE F P 3 11 22 2 11 22 N3N2 3 11 2

12、2 P N1 cos 2 1 cos , cos 2 1 F AE AE AE AE FF AE AE F F E2A2 l2 E3A3 l3=E2A2 l2 E1A1 l1 A BCD FP cos2 , 0 321 p NNN F FFF P 3 2211 2 22 N3N2 P 3 2211 11 N1 cos2 cos , cos2 F AEAE AE FF F AEAE AE F A BCD FP FP A B D A BCD FP FP A B D 简单的超静定问题 简单的超静定梁 l A B q FAy FAx MA 4-3=1 简单的超静定问题 l A B q FAy FAx

13、MA FB 532 633 简单的超静定问题 l A q FAy FAx MA B B FBx l A q FAy FAx MA FBy FBx MB FBy 通过对静定梁附加多余约束得到了通过对静定梁附加多余约束得到了 2,3次超静定梁次超静定梁, 求解一定很繁琐求解一定很繁琐? 求解求解 简单的超静定问题 FBxFAx l A q FAy MA B FBy FAx FBx= 0 应用对称性分析可以推知某些未知量 FAx= FBx= 0,FAy= FBy= q l / 2 ,MA=MB 简单的超静定问题 l A q B FAxFBx MAMB FByFAy 简单的超静定问题 例 题 6 梁的

14、约束力 梁的外载q,弯曲刚度为EI、长度为l l A B q FAy FAx MA l A q FAy FAx MA FB B 解除约束解除约束 l A q FAy FAx MA l A B q FAy FAx MA B FBy wB=wB(q)+wB(FBy)=0 例 题 6 FAy+FBy - ql=0 FAx=0 -MA-FAyl+ql2/2=0(MB=0) wB=wB(q)+wB(FBy)=0 wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - FByl 3 /3EI 简单的超静定问题 l A B q FAy FAx MA FBy 例 题 6 结果：由平衡方程、变形协调方程、物性关系 联立解出 FBy =3ql /8 , FAx=0 , MA= ql 2/8 FAy =5ql /8 , 简单的超静定问题 l A B q FAy FAx MA 位移与变形的相依关系 比较两梁的受力、变形与位移比较两梁的受力、变形与位移 杆件杆件 FP 0 BBByBBB MFP 0 BBByBBB MwFwPww l AB l AB MB FBy 0 BA 和 0 BAAAAA MMP l AB MA l AB MB 0 BBABBB MMP l A q B