解三角形综合讲义

1、解三角形综合讲义-姚老师数学第1讲解三角形基础1.1正余弦定理1.2面积13判断三角形形状1.4解的个数问题1.5证明恒等式1.6实际应用第2讲最值（范围）2.1 一般最值2.2结合均值定理2.3几何法（旋转大法等）第3讲 正余弦定理的综合应用第4讲 解三角形与其它知识综合前言【高考命题规律】年份题号題型考査内容思想方法分值2011 年理17解答题利用正弦定理边化角，转化为函 数求最值函数思想方程思 想12分文15填空题二角形面积，公式选择不一样， 突破口就不同,可正弦，可余弦方程思想5分2012 年理17解答题齐次式结构，消元，两角和差以及面积公式消元思想12分文17解答题齐次式结构，两角和

2、差以及面积 公式数形结合思想12分2013 年理17填空题角的转化，以及正余弦定理方程思想12分文10选择题二倍角公式，余弦定理转化与划归5分2014 年理16填空题齐次式结构数形结合5分文16填空题实际应用，以及仰角俯角的慨念方程思想5分2015 年理16填空题可用极限极限，数形结合5分文17解答题齐次式结构特殊化12分2016 年理17解答题齐次式结枸，射影定理数形结合12分文4选择趣余弦定理5分2017 年理17解答题齐次式，面积+余弦定理转化弓划归12分文11选择题两角和差+正孩定理消元5分从全国I卷近七年的考试题来看，文理卷都是各出一个題，或选填，或解答題第i题， 整体来说难度不大。

3、考查的知识点方血，齐次式结构类塑居多，征往利用止效定理转化边角 后，求出英屮一个角或若得到一个新的关系式，从而进彳亍下一步的运算。不要轻易约分，不 要轻易约分，不要轻易约分。另外，利用-角形内幷和为1R0进行消元转化也是常用手段， 至于消谁，就看谁好消了。这节内容銀前面所学两角和差以及辅助角公式等内容结合较为 紧密,学好前面内容足学好这节的基础。另外,如果碰到较难的题H,可用给予条件较多 的的7角形突破,有时耍有方程（不等式）思想,建立未知量间的等量（不等）关系从而解 决问题。、然，将三角形建系坐标化右时也不失为种好方法。备与方啲，稳固慕础，多去 尝试，从不同的角度去看待理解问题，比较不同思考

4、角度间的优劣，该如何去做选择。 备注：本教案编写时为年级统一之方便，添有解的个数及证明恒等式等内容，高考一般不 做要求，高三复习时可删去不做讲解。另涉及均值不等式内容方面，单独分离，高二新学 此节内容时未有学及，可删去。【基础知识】一、正弦定理堆本概念,适用范憎：任恿三角形：本质：边和角的关系：作用：边和角的互换：公=2/?（2/?为外接阴的直径）（会证明）sin A sin sint变形：a 二 sin J-2/b sin J sin /? o /I 解帅形（任意：.角形）：a.b.c和/EEC六个元素中,根据已知的元素，求未知: 己知三角形两角和任您一边，求其它边角： 己知:角形两边和其中

5、一边对角,求英它边角:正弦定理可駢; 夬的两类解角形问題伯息挖拥彳4 B +=处A + B ( A + B Csin= cos,cos- = sin2 2 2 2 sin C = sin -(.4 4- ) = sin(/1 4- /?),cosC = -cos( A + B);二角形任盘两边之和大于第边，任总两边Z差小于第边:1、正弦定理的卞要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关卩边，或是角的止弦值是 否具备齐次的特征。如果齐次则可衣接进彳亍.辺化角或是角化也.杏则谨慎处理例如：(I ) sin2 + sin2 - sin Asm =sin2 Co +/r *ab = c2(2) hco

6、sC + ccosB = a n sin cos C + sincos B = sin A (恒等式be sin sin C厂2、旳平分线定理（熟悉）如图，设/Q为A/fBC中Z.BAC的角平分线，则= AC CD 简单证明：法1：过D作DE H AC交AB J-E .然后利用相似即町法2：止弦定理.自己书写3.射影址理：abcoC + ccoaB （熟悉）（其实就是个齐次加两角和丼，训图更巫观）二、余弦定理余弦定理的内容（向量证明）a2 =b: +C1 - 2bccos/1运用余弦定理可解决两类匚角形问遗T己知三边，求其二和己知两边和其夹ffj,求笫二边和其它芮个角bn/COS/1 =I、变

7、式:2bc 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判rllM足钝角还足锐角 当b +c: 0 NPJ 为锐角: b2c2 =a2 （勾股定理）时，COS/4=0即昇为直角: 巧b1 + c2 a2时，cos / sinC虫妥技巧：永第二个角的上弦伯J八2、根据2si：smC = sin（/4 + B） = sm J cos + cos J sin R一角形其他面积公式：（I）S = -ah 为.角形的底.方为对应的高）2 S = *（a+0 + c）.r （r为三角形内切圆半径）5 = =2/?sinz4sinZ?sinC （R为形外接洌半径）（lIliF：弦左理可推.不记）4R(3)海伦秦九

8、昶公人 S = Jp(p-d)(p-6)(p-c)y= (d + b + c)向量方法：s冷同-(4 ” (其中乔为边伏仪所构成的向量，方向任恿)坐标衣示:心(斗)3(兀小)，则$ =四、其他1、熟记些待殊角 tan 15 =2-Q3、 tan75* =2 +sin 15= cos 75=丢二4sin 75=cos 152、两角和差的止余強公式：sin(/f B) = sin/Icos土 sin ffcosAcos (X 8) = cos Acos B + sin A sin B3、辅助角公式：r/sin A + bcosB = !a2 +/2sin(A + (p) 其中 tan = 4、在

9、A/13C 屮.sin 2A = sin 2B 2A - 28 or 2M + 2B 二 7T【近七年全国1卷髙考真题】(2017理17) MBC的内A.B.C的対边分别为Q、b、c的面积为 一3 sin/(I )求 sin B sin(II)若 6coscos= La = 3 求 MBC 的周氏(2017文11 ) MBC的内角 H 的对边分别为a、hc 已知a = 2.c=l2 ,sin R + sin /(sin一 cosC) = 0 ,则 C =(A)57T(BJ 一7t(C) 一4(D)?(2016 理 17)A/lBC的内角B、C 的对边分别为 a.b.c 已知 2cos C(ac

10、os B + bcos A) = c(I )求c(11 )岩c = 、AABC的而枳为上辽，求MBC的周长2(2016文4) MBC的内角A, B、(的対边分别为a,b、c，已知a =厉c = 2 , cos.4 =扌.则()(A) 41(B) y/3(C 2D) 3(2015理16)在平面四边形/BCD中,= ZS = ZC = 75* - BC = 2则MB的取值范因是(2015 文 17)已知分别足 ABC 内角 Ay B、C 的对边.sin2 B = 2sin Asin C(I若 a = b、求 cos B(I【)若二9() . FLa = V2 求AJZ?的面枳(2014理16)已知

11、a上工分别为MBC的三个内角 K 的对边,a = 2,II. (2 + b)(sin 4-sin B) = (c-b)sinC ,则MBC面积的咼大值为(2014文16)如图,为测啟山岛MN.选择/和另座山的山顶C为测册观测点从/点测得M点的伸角ZA/J/V = 60. C点的仰角上C仍= 45.以及ZAf/tC=75：从C点测得ZMCA = 60己知山高= 100/7?.则山高MN二mAZ( 1)0 =JU!SWA +JS03r広戦甸 yuy M M 4 - J0KV | E Jqp 商门(LI M nor )S (Cl)8 O)6(8)01 (V)()=(/価 9 =，/ = ? () =

12、 J/SOO+r ：SO3乙0 M 砒 Q 牡 M 轴 yv M M 轴 Dfiv 够般何 R ( oi x noz)VUd7 i：0l = Mr 则 AB + 2BC 的最人侑为(2011 文 IQ 2BC 中,S = 120,JC = 7,/42? = 5，则 3C 的面枳为第1讲解三角形基础1.1正余弦定理K (2017.12上海虹口区一模)在MBC中，所对的边分别是a如.若a :b:c = 2:3:4 ,则cosC =2、(2017吉林二调中,角“C所对的边分别为a、b，c,若a二厲bc = 2、则角力=()(A) (B) (C) (D 丿64323、(2017.5北京丰台测试)在A/

13、CP，角A.B,C对应的边长分别是d,b,C , H.x/Jsin/? -bcosA ,则和A的人小为4、(201届安徽六校一联)存心(冲，角ARC的对边分别为已知/ = 1B = -.4 cos J =,则a =()4x/23r(A) 一BJ (C) 一(D) yJ23345、(2017.12百校联盟)在MBC中，角A.B.C的对边分别为a、b、c 若sin .4 = 3sin i?.c = x/5 kcosC = ,则“=()6(A) 2V2(B) 3(C) 3V2(D) 4 6、(2017.12化州二模)己知分别是A4BC内角A, B.C的对边 a = 4 = 5,c = 6.则迴仝也=

14、sin 2/17、j2 ,则力的值为（）（A） a/3（B）（C 22（D） 2y/324、（2017.12上海虹口区一模）己知y = sinx和卩=8$.的图像的连续的个交点力、B、C枸成三角形MBC,则MBC的而枳等于1.3判断三角形形状例1、在中，bcosA=acosB .试判断MBC的形状例 2 ( MBC 中，cos/? + /cosJ = ccosC.试判断 AAHC 的形状1、（2015马鞍山模拟）在AABC中，内角AJkC所对的边长分别是a,bc ,甘c-acosB （2a-ft）cos4，则 AABC的形状为（）（A）等腰三角形（B 1角三角形IC）等腰直角三角形（D）等慢或

15、宜曲三角形2、（2012 上海）在 A/IBC4 若sin2/f + sin2S钝角三角形（B）11角三角形（C）锐角三角形（D）不确定3、（2010海）若MBC的三个内角满足sin/i:sinB:sinC = 5:ll:13,则MBC （）（A一定是锐角三角形（B）定是理角三角形（C） 一定堆钝用一角形（D可能定锐ffl-.ft形.也可能是钝角二角形 4、（2012 湖北荆州模拟）f.MBC中,若lgsin1 -lgcos5-IgsinC = Ig2,则心C的形状是（ A）直角二角形（B）等腰血角二角形（C）等边二角形（D）等腰三角形5、（2013东北三校二联）任230中.a.b,c分别是A

16、.B.C的对边，且cos2 - = 1 C .2 2c则MBC是（）（A） H角三角形（B）等腹三角形或H角三角形（C）正一角形（D）等腰直角一:角形1.4解的个数问题1、己知a 6和4求B ：有一解;2、己知a=b和求ZT处理多解问題3、已知a hsin J :两解: 为锐角 a =bsin/f:解:a 0 个（0无法确定2、在A.4BC rf, a = 80,6 = 100,J = 45则此一角形解的怙况足)（A） 解（B）两解（C） 解或两解（D）无解3、在MBC 中.ZJ = 60 a = V6 , b = 3 则 AJBC解的情况为（A）冇两解（B）冇一解（C）无解（D；不能确定4、

17、已知下列三角形中的两边及其中-边的对角,判断三角形足否有解并捋出有几解?(I) a = 7,/ = & /I = 105(2) a = 10,/ = 20,A = 80(3) = 10,c = 5屈(4) a = 2罷h = 6,/I = 301.5证明恒等式1、在MBC中，证明:cos 2 cos2B 11二a2 h2 a2 h22、在MBC中.A、B、C所对的边分别为厶b、c9求证a: -斥 _ sin(/f- B)c:sin C16实际应用埋解儿个角度槪念1. 仰角与俯角与冃标线在同-钳垂Y而内的水平视线和冃标视线的夹角.冃标观线在水平视线I：力叫仰 你 冃标视线在水平视线卜方叫俯角（如

18、图）602. 方向角相对于某正方向的水平角.如南偏东30。北偏西45。等.3. 方位角指从正北方向顺时针转到U标方向线的水半衛 如B点的方位介为久如图）例1: （2015湖北理13）如图,辆汽牟在 条水平的公路上向正西行驶,到4处时测得公路北侧山顶D在西倔北30的方向上，行驶600m后到达B处,测得此山顶往西偏北75的方向上，仰角为30r则此山的高度CD =例2：（2010陕西理17如图儿是海面匕位东曲力向相曲5（3 + 0）海电的两个观测点：现位于彳点北僞东45。, 点北偏西60的D点有艘轮册发出求救佰号.位于B点南 偏曲6（TIL与点相跑20石每里的C点的救援船立即询往营救.其血行速度为3

19、0海里/小时，该救援船到达Q点需翌多氏时何？AK (2017山西三区八校二模)为竖块广告牌.姿制造二角形支架.如图要求Z/1C5 = 60. BC的长度大丁 aClt AB长05粘 为了稳固广告牌，要求昇C越和越好，则ACRi为(A )(1+)米 B) 2米(C) (I+V3 )米(D)(2+、米A2、(2017广东佛山二模)某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图听示其zS45C = 60.ZBCZ) = 135% AB = 80nmilc, C = 40 + 30imilc , CD = 250x/6iimilc , D位于A的北偏东75方向现在有 儀轮船从A山发以50nmile/h的速度向

20、D白线航行.60min后,轮船由F天(原冈收到指令改向城市C悅线航行,收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏術度则sin =3. (2016.01东莞高二期末质检)南沙群胡门山以來都是中国领土。南沙海域有B两个岛磁相距100海里，从/岛砥望C岛礁和B岛確成60的视角，从B岛磴理C岛確和昇岛礁成75的视角我国七州号牛:坝巡航在/1岛雄处时接岛礁处指挥部的命令，前 住岛粧处护赶某国入2军舰，则我军舰此时离骷維快离是()(A) l()()(x/J + l)海里 B： 5()(/3 + 1)海里 (C5()曲海堪 (D) 5()扁海里4、（2017.12青浦区一模）如图，某大型厂区仔三个值班空/I.

21、B、C.值班空M在值班 室B的正北方向2米处,值班室C在値班室的正东方向2馆米处（1保安甲沿C4从值班宋CUJ发行至点处.此时FC = I,求PB的跑离n保安甲沿C4从值班电C出发前往值班窒A ,保安乙沿AB从值班室M出发帕往值 班京，甲乙同时出发.甲的速度为1 t米卜时，乙的速度为2 r米卜时.若甲乙两人通 过对讲机联系,对讲机在厂区内的最人通话距离为3千米（含3干米）,试问有参长时间两 人不能通话？5、（2017. 4福建质检如图,冇码头P和三个甜屿PC = 3屈nmidPH = 90 n mile AH = 30 n mile ZPCB = 120, A ARC = 90（1 ）求B、C

22、两个岛屿间的ft!离11某游船拟荻游客从码头P的往这个岛屿游玩.然后返回码9、P 问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求岀最短航程2.1 一敵最值问题 例1：已知锐角二角形的边长分别为2、3、X,则X的収值范用是（ A） x5（B） V5xvT3（C） 0x45D） Vl3x -丄56781、（ 2017.10天一联二测MBC中.角A.C的对边分别为abc 若（2c-a）sinC = （/+y-亍）进色，且b = 2爲,则N4BC周氏的収值范田为 2、2017.03 通二调）在 MRC 中，C 知/f 二2,/fC =6,则 knC 的最大俏 足3、（2017安徽马簌山二模）在边长为2

23、的正三角形ABC的边/!从/1C上分别取M. Ni点，点为关T线段MN的刘称点正好落在边BC J 则4W长度的呆小值为4、（2016.10 天一联二测文）在MBC V.若3AB = 2AC，点分别AC.AB 的屮RF点，则弟的取值范困足Cr硕二就，则的取值5、（2017.12上海虹口区一模己知RZBC中.ZJ = 90 .力二4AC = 6在一角形所在的半面内冇两个动点M和N ,满足AM = 2 ,范屈是（） |3迈丽(C) 2佢(B)4,6(D| 6372 近、-763 + 1272 j、32.2结合均值不等式I、（2017.03 黄冈调研）己知在屮.ZACff = 90 , C = 3,/

24、fC = 4. P 是线段上的点，则P到AC.BC的距离的乘积的彊人值为（）（A） 3（B） 2（C） 2、厅（D） 92、（2018.01河南郑州一模）在MBC中，角儿/人所对的边长分别为abc IL2ccos B = 2a + b 若ABC的面枳为S =则ab的最小伯是3、（2017江西上饶一模）已知心（7外接岡半径是2, BC=2j3，则 WC的面枳最大值为4、（20!7.0南昌一调）己知AABC的而积为2命，ffj A.B.C所对的边长分別为a、b、c ,A=,则“的鼓小值为5、（2017.11福建泉州一中高二上期中考）在MBC中.冷儿B,C的对边分别为“4.C，Tin /I J已知

25、= 3,1 + -=,则b + c的最人值为_tan B b6、咖广一粉在WC中,ZM心虫+右当的周长呆短时.的长楚23几何法平几定理（如托勒密定理），旋转大法.阿斯圆凸四边形 /IBCDN AB = LBC=&4C 丄 CQJC二CD, ZABC 变化时，HD比的扱大值为2、在半面四边形ABCD中,4B=IBC = 2, ACD为止一角形.则ABCD面积的最大值为3、（2017.04 r二模）在平面四边形ABCD屮，连接对用线 Q,已加CD二9.BDJ6.4Z8DC = 90 sin / = f则対角线AC的彊人:值为4、Mi-MBC, /?C = 3,/f = |,边 I.靠近点的个：等分

26、点，则/Q 的覆夬值为5、（20（18江苏）满足条件AB = 2C = &BC的AJBC的而积的显大值为第3讲解三角形综合解上角形间题.是岛考考査的虫点，多为边和角的求他问题这就需要根据止、余兹定 理结合已片I条件灵活转化边和角Z间的关系，从向达到解决问题的口的.开基木步骤是： 第步：定条件，即确定三角形中的已知和所求,住图形屮标出來,然后确定转化的方向: 第：步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的I ,实施边角之间的互化，注邃齐次 式结构，儆篡根掘止弦定理把边转化为角a = 2/?sin A.b = 2/Csin B.c = 2/?sinC ,或足 a : ： c = sin / :sin

27、 B : sin:第二步：出结果，打步骤解决三角形中的角边何题时，耍根折所给条件选抒正余弦定理，将问题转化统一为边的 问题或角的问题，利用-角屮两角和寿等公式处理，特别注总内角和怎理的运用，涉及一.角 形面枳最ttl问题时，注总均值不等式的利用，恃别求角的时候，耍注总:分析角的范国.才能 吗出角的大小1、（2017.12百校联盟）在代佃中,内角A、B、C的对边分别为abc .已知2 壬 cos =23sin A. = 2sin 彳sin B cos C（1 ）求/的大小（II求。的依C2、（2017.12化州二模）设4ABC二个内角4B,C所对应的边分别为uJkc. AABC的面 积 S 满足

28、 4 3Sa2+b2-c2I ；求角的值11）求sin 一cos/的取值范围3、(2017.12 r州调研)的内角儿乩C的対边分别为a.b.c . H.満足a = 2 acos3 = (2c-b) cos A(1)求角/I的人小II)求AABCn长的最人值4、(2017.12福建华安一中MBC的内角A、B、C的对边分别为abc 已知sin(/I + () = Ssin I )求 cos11) a + c = 6r .4BC 的而积为 2,求 b(2017.12福建华安一中月考)如图，4：RtABC中，乙4CB =AC = 3.BC = 2fP是MBC内的一点.C1)若P足等腰逬和加形P3C的宜

29、角顶点,求以的长II)若ZBPC = .设Z.PCB = 0 ,求PBC的面枳S(0)的解忻式并求$(0)的说 3大值6、(2017.04武汉调研)L1知的二个内他AbC的对边分别为gb、c,山满足a = V2T , 3b - 2c = 7、A = 6() 1 )求6的值 /2a-b)sinB(I) 求角的大小(II) 求的面枳的最大值9.(2017江西九江三/I A/IBC屮.内角A.B.C所对的边分别为uhc、口.满足 sin* B + sin2C = sinM + 2sinsinCsiii (B + C)(I )求角力的大小(11 ) li i7 = 2 ,求MBC而积的最人債IOx (

30、2()18湖北甕阳调研)(+ABC屮.内角儿 所对的边长分别是a.b.c , U知 asin B =bcos A.cosB =(1 )求cosC的值(II)若a = 15, D为/IB边上的点.且2AD = BD.求CD的长11. (2017.03 广一模)如図L 点/13C 罠 点 P ( BC 边上，ZPJC = 60；PC = 2AP+AC=4(1)求 ZMP(II ) i 2D的而积足,求sin BAP o12、（2017.03苏锡常镇四市一调）在A仙C中.4血C分别为角 “C的对边若 a cos B = 3,bcos J = L El A-B -6(I )求边c的长(II)求角的大小13、（ 2017.03南京盐城二模如图.在 MBC中.）为边C I. 一点AD 二 6.BD 二 3、DC 二 2（佟 12(I)若HD丄BC ,求AC的大小(II )若 Z.ABC = - 求ADC 的面积414、（2017云南师大附中月考）在AJC屮.角佔 C的对边分别为abc 已知仍2 .2 A 3a cos + ncos = c2 2 2（I ）证明：ABC为钝角三角形（II）若MBC的面枳为3皿,求6的值15、（2017届河北衡水六调）如图.（V MBC屮.B = ZaC = 2躬./丿是边AB 16点（1 ）求枳的最大值