晶格振动简谐震动简正坐标PPT学习教案

1、会计学1 晶格振动简谐震动简正坐标晶格振动简谐震动简正坐标 3.1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 简谐近似简谐近似:只考虑最近邻原子之间的相互作用，将原子在平只考虑最近邻原子之间的相互作用，将原子在平 衡位置的振动看成简谐振动（线性近似）衡位置的振动看成简谐振动（线性近似） )(t n 研究对象研究对象:由由N个质量为个质量为m的原子组成的晶体的原子组成的晶体 偏离平衡位置的位移矢量偏离平衡位置的位移矢量 原子的瞬时位置：原子的瞬时位置：( ) nnn RRt (1, 2, 3) i i n R 第第n个原子的平衡位置个原子的平衡位置 （格点位置）（格点位置） 3个方向上的分量个方向上

2、的分量 原子位移宗量原子位移宗量 第1页/共10页 ( ) i t N个原子的位移矢量个原子的位移矢量 共有共有3N个分量个分量 )3, 43, 2, 1(Ni i N个原子体系的势能函数个原子体系的势能函数: （用标量表示）（用标量表示）。在平衡位置按泰勒级数展。在平衡位置按泰勒级数展 开开 N ji ji ji N i i i itemsHigh VV VV 3 1, 0 2 3 1 00 )( 2 1 )( 取取0 0 V平衡位置平衡位置0)( 0 i V 不计高阶项不计高阶项 系统的势能函数系统的势能函数 23 0 ,1 1 () 2 N ij i j ij V V ( )( ) nn

3、ii VV RtV Rt 第2页/共10页 系统的哈密顿量系统的哈密顿量 N ji ji ji N i ii V mH 3 1, 0 2 3 1 2 )( 2 1 2 1 系统的势能函数系统的势能函数 N ji ji ji V V 3 1, 0 2 )( 2 1 系统的动能函数系统的动能函数 N i ii mT 3 1 2 2 1 应用上式求解系统的问题，由于存在坐标的交叉应用上式求解系统的问题，由于存在坐标的交叉 项而变得非常困难项而变得非常困难 引入简正坐标引入简正坐标 N QQQQ 3321 , （ 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 ） 第

4、3页/共10页 3 1 N iiijj j ma Q ； 系统的哈密顿量系统的哈密顿量 ： 33 222 11 11 22 NN iiii ii HQQ 为常数 拉格朗日函数：拉格朗日函数： N i ii N i i QQVTL 3 1 22 3 1 2 2 1 2 1 正则动量：正则动量： i i i Q Q L p 3 1 N jjiii i Qb m 逆 变 换 由于动能为正定的，根据线性代数理论，总可以找由于动能为正定的，根据线性代数理论，总可以找 到这样的变换，使得到这样的变换，使得 第4页/共10页 系统的哈密顿量系统的哈密顿量 N i ii N i i QpH 3 1 22 3

5、1 2 2 1 2 1 正则方程正则方程 i i H p Q 3N个独立的方程个独立的方程 2 0,1, 2, 3,3 iii QQiN 简正坐标方程解简正坐标方程解sin() 3N个独立的解 iiii QAt i i i Q Q L p 正则动量正则动量 只考察某一个振动模只考察某一个振动模 N j jijii Qam 3 1 sin() jj QAt 第5页/共10页 固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通 过过 引入简正坐标，而将系统简化为引入简正坐标，而将系统简化为3N个相互独立的震动模式。个相互独立的震动模式。 简正振动简

6、正振动 ： 晶体中所有原子参与振动，振动频率相同晶体中所有原子参与振动，振动频率相同 振动模振动模 ： 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动 )sin(tA m a Q m a j i ij j i ij i 第6页/共10页 正则动量算符正则动量算符 i i Q ip 系统薛定谔方程系统薛定谔方程 ),(),() 2 1 2 1 ( 3131 3 1 22 3 1 2 NN N i ii N i i QQEQQQp 相关量子理论相关量子理论 ),(),()( 2 1 3131 3 1 22 3 1 2 2 2 NN N i ii N i i QQEQQ

7、Q Q 第7页/共10页 任意一个简正坐标任意一个简正坐标 )()( 2 1 22 2 2 2 iiiii i QQQ Q 谐振子方程谐振子方程 能量本征值能量本征值 iii n) 2 1 ( 本征态函数本征态函数)() 2 exp()( 2 ii n i in HQ / ii Q)( i n H 厄密多项式厄密多项式 第8页/共10页 N i ii N i i nE 3 1 3 1 ) 2 1 ( N i inN QQQQQ i 3 1 3321 )(),( 系统能量本征值系统能量本征值 系统本征态函数系统本征态函数 )() 2 exp()( 2 ii n i in HQ N个原子组成的晶体个原子组成的晶体 ),(),(