曲线与曲面1PPT学习教案

1、会计学1 曲线与曲面曲线与曲面1 2021-8-42 Bzier曲线（面） 0 P 1 P 2 P 3 P B样条曲线（面） 孔斯曲面 这些曲线曲面都可以 用参数方程表示，并具 有以下的优点： 曲线曲面的形状不依赖 于 坐标系的选择 人机交互直观 易于计算 易于拼接 造型灵活 第1页/共35页 2021-8-43 工程中经常遇到的曲线和曲面有两种： n 其二是形状比较复杂，不能用二次方程描述的曲线 和曲面，称为自由曲线和曲面，如船体、水波面（见演示 ）、车身和机翼的曲线和曲面，如何表示这些自由 的曲线和曲面成了工程设计与制造中遇到的首要问 题。同时这些自由曲线和曲面构型日益艺术化也不 断地成就

2、和壮大了今天的汽车、船舶和飞机工业。 第2页/共35页 2021-8-44 构造曲面模拟帆船用曲面模拟海水 5.1 曲线、曲面的参数表示的基础知识 链接链接 第3页/共35页 2021-8-45 ( )yf x ymxb n显式表示 ( )yf x ( , )0 ( , )0 fx y z g x y z (,)0 (,)0 fxyz gxyz (,)0 (,)0 fxyz gxyz (,)0 (,)0 fxyz gxyz 第4页/共35页 2021-8-46 平面曲线隐式表示的般形式为： 三维空间曲线的隐式表示式为交面式（用两个曲面 相交的方式）: ( , )0f x y ( , )0 (

3、, )0 f x y z g x y z 曲线的三种表示方法 n隐式表示 曲线的显示和隐式表示统称为非参数表示，非参数表 示曲线存在下列问题： 与坐标系相关 会出现斜率为无穷大的情况(如垂线) 非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示 不利于计算和编程 第5页/共35页 2021-8-47 ( )( ( ), ( ), ( )tx t y t z tP0,1t 其中 ， 和 分别是参数 的显式、单值函数： )(tx)(ty)(tz t n参数表示 u形式 将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数 的函数形式 t 曲线的三种表示方法 )( )( )( tzz tyy txx 第6页/共35页 202

4、1-8-48 参数表示中，通常将参数区间规范化为0,1； 参数方程中的参数可以代表任何量，如时间、角度等； 连接 和 两点的直线段的参数方程可写为： 000 (,)xyP 111 ( ,)x yP 曲线的三种表示方法 n参数表示 u说明 0,1t 010 010 010 () , () () , xxxx t Pt yyyy t PPP 第7页/共35页 2021-8-49 曲线的三种表示方法 n参数表示 u说明 一条参数曲线的表示形式并不是惟一的 例如：在第一象限内的单位圆弧既可表 示成（右图(a)）： 又可表示成：（令t为 半角的正切) （右图(b)） 22 2 cos(1) (1) si

5、n2(1) xtt ytt (a) y 0 1 x 取角度为参数时，x和 y的关系如图(a)所示 y (b) 0 1 x 取t为参数时，x和y的关系 如图(b)所示 图中和t为等距取值 22 2 cos(1) (1) sin2(1) xtt ytt 2 0 22 2 cos(1) (1) sin2(1) xtt ytt 22 2 cos(1) (1) sin2(1) xtt ytt 0t1 第8页/共35页 2021-8-410 曲线的三种表示方法 n参数表示 u优点 曲线的边界容易确定。规格化的参数区间0,1可以很容易 地指定任意一段曲线，而不必用另外的参数去定义边界； 点动成线。当参数t从

6、0变到1时，曲线段从起点变到终点； 具有几何不变性。参数方程的形式不依赖于坐标系的选取 ，当坐标系改变时，参数方程的形式不变； 易于处理斜率为无穷大的情形。在参数表示中，变化率以 切矢量表示，不会出现无穷大的情况； 易于变换。对参数表示的曲线、曲面进行平移、比例、旋 转等几何变换比较容易； 交互能力强。参数表示具有直观、明确的几何意义，并提 高了自由度，容易自由地控制整个曲线、曲面的形状。 第9页/共35页 2021-8-411 ， 曲线上任一点的位置矢量可表示为 ： ( )( ( ), ( ), ( )tx ty tz tP 设曲线的参数方程为 , 0,1t( )( ( ), ( ), (

7、)tx ty tz tP 参数曲线的位置矢量 P (t) P(t+t) y x z P P(t) S 1位置矢量 第10页/共35页 2021-8-412 设 和 是曲线上的两点，记 ( ) tP()ttP()( )ttt PPP 参数曲线的切矢 P (t) P(t) P(t+t) y x z P S 当 时，导数矢量 的方向趋近于P点处的切线方 向，记为 = 亦称为P点的切矢量 0t t P ( )dt dt P ( ) tP 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 2切矢量 第11页/共35页 2021-8-413 在极限情况下，弦长 和弧长 相等，即： Ps T 称为 处切线方向的单位矢量

8、。上式说明：如果以 弧长为参数，曲线在任意点的切线为单位矢量 ( ) tP 参数曲线的单位切矢 x P (t) P(t) P(t+t) y z P S dt dP dt ds 0 lim s d sds PP T 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 2切矢量 第12页/共35页 2021-8-414 0 ( )( ) t tt dt SP 1 1 () n ii i n LPP 从微积分的意义讲，上式是曲线从 到 的折 线长度的极限，令： (0)P( ) tP n ( )( )ntLS当时 对于正则曲线 ，从点 到点 的弧长定义为(0)P( ) tP( ) tP 参数曲线的切矢量、弧长、法矢

9、量和曲率 3弧长 第13页/共35页 2021-8-415 设以弧长s为参数，曲线上的点 和点 处的单 位切矢量分别为 和 。 ( ) sP()ssP ( ) sT()ssT P(s) T(s) P(s+s) T(s+s) 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 4曲率 记两单位切矢的夹角为 ，其改变量 ()( )sss TTT 而 是弧长的改变量，所以通常用 与 比的绝对值 来度量弧 的弯曲程度。 s s| s |( ) ()|sss PP T(s+s) T(s) T s 第14页/共35页 2021-8-416 当 时 , 曲线在点 处的曲率 为： ( ) sP( ) sK 0s 0 ( )

10、lim/ s ss K 当 时， 称为曲线在点 的曲率半径 ( )0s K 1 ( ) ( ) s s K ( ) sP 0 lim | 1 T 由于 和 都是单位长度 ，( ) sT()ss T因此 ： 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 4曲率 00 ( )lim |lim | | ss d s ssds TT K 0 lim s d sds PP T 2 2 ( ) | d s ds P K 第15页/共35页 2021-8-417 对于一条空间三维曲线，任何垂直于切矢量T的矢量都 称为法矢量。 T是单位切矢量且|T|=1，两边对s求导得矢量dT/ds，且 dT/ds垂直于单位T，与T

11、垂直的矢量很多，但我们： 称与矢量dT/ds同方向的单位矢量N为单位主法矢量，有 以下式子（其中K为曲率(曲率非矢量）) ： 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 5主法矢量和副法矢量 称KN称为曲线的曲率矢量 dd dsds TT NKN dddsds dtds dtdt TT KN 矢量 垂直于T 和N B T N B称为单位副法线矢量 第16页/共35页 2021-8-418 过曲线上任一点有三个两两垂直的单位矢量T、N、 B，即满足 、 、 。 TN BNB T BTN 密切平面：通过给定点且包含切矢量T和主法矢量N的平面 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 6密切平面、法平面、化直

12、平面和密切圆 法平面 密切平面 N ： 参数曲线的密切平面 T B 化直平面 ： R M Q R 密切圆 第17页/共35页 2021-8-419 法平面：通过给定点且包含主法矢量N和副法矢量B的平面 化直平面：通过给定点且包含副法矢量B和切矢量T的平面 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 6密切平面、法平面、化直平面和密切圆 法平面 密切平面 N ： 参数曲线的密切平面 T B 化直平面 ： R M Q R 密切圆 第18页/共35页 2021-8-420 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 6密切平面、法平面、化直平面和密切圆 密切圆：设曲线上三点R 、 M 、Q分别对应参数：、 和

13、，则R点的密切圆是指当 时，经过三 点M、R、Q的圆 tt t tt 0t 法平面 密切平面 N ： 参数曲线的密切平面 T B 化直平面 ： R M Q R 密切圆 第19页/共35页 2021-8-421 密切圆所在的平面包含了直线段 和 ，又RMRQ ()( ) ()( )tttttt RQRMPPPP 22 2323 22 () () 22 dddd tttttt dtdtdtdt PPPP 2 34 2 () dd tt dtdt PP 和副法矢量B同向 RMRQ 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 6密切平面、法平面、化直平面和密切圆 第20页/共35页 2021-8-422 过

14、M、R、Q的圆一定在密切平面上，并且其法 线方向与 的方向相同 RMRQ 密切圆表示曲线在点R处的弯曲程 度 在曲线上点R的密切圆的半径等于该点的曲率半 径，密切圆心是曲率中心 密切平面的几何意义是：在所有和曲线上的点R 相切的平面中，密切平面是在R附近和曲线贴的最紧 的平面。 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率 6密切平面、法平面、化直平面和密切圆 第21页/共35页 2021-8-423 样条原指通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带，使 用这种方式绘制的曲线、曲面称为样条曲线、样条曲面。 在计算机图形学中，样条曲线指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件；样

15、条曲 面则是利用两组正交的样条曲线进行描述的。 第22页/共35页 2021-8-424 cbxaxx 2 )( 321 ,xxx 321 ,yyy 使抛物线 在结点 处与 在 处的值相等(见下图（b）) )(x) 3 , 2 , 1( ixi)(xf i x 样条表示 1插值、拟合、逼近和特征多边形 x y o 1 y 2 y )(xfy )(xy 1 x 2 x x y o 1 y 2 y )(xfy )(xy 1 x 2 x 3 x 3 y （a） （b ） 第23页/共35页 2021-8-425 2曲线的连续性 样条曲线是由各个多项曲线段连接而成，为了保证各个 曲线段在连接点处是光滑

16、的，需要满足各种连续性条件。这 里讨论两种意义下的连续性：参数连续性和几何连续性。并 基于以下的假设：样条曲线由m段如下所示的参数多项式曲 线连接而成： Pi=Pi(t), t0,1，i=1m n 参数连续性 则将这类连续性称为n阶参数连续性，记为Cn dkPi(t) dtk t=1 dkPi+1(t) dtk t=0 k=0,1,2n， i=1,2,m-1 第24页/共35页 2021-8-426 n 参数连续性 (a) C0 (c) C2 (b) C1 2曲线的连续性 第25页/共35页 2021-8-427 n 几何连续性 如果只要求两条相邻参数曲线段在连接点处的n阶导 矢成比例，而不要

17、求必须相等，则将这类连续性称为n阶 几何连续性，记为Gn ： 2曲线的连续性 第26页/共35页 2021-8-428 参数曲线的形式多种多样，其中最简单实用 的就是参数样条（多项式）曲线。样条曲线的次 数可能有高有低，次数太高会导致计算复杂，存 储量大。而次数太低则会导致控制曲线的灵活性 降低，曲线不连续。三次参数样条曲线在计算速 度和灵活性之间提供了一个合理的折中方案，通 常用于建立物体的运动路径或设计物体的外观形 状。三次Hermite插值曲线是三次参数样条曲线 的基础。 第27页/共35页 2021-8-429 三次参数多项式曲线 的代数表示形式是 改写成矢量的形式 其中 ， 是多项式

18、的i次系数矢量。 ( ) tP 32 3210 32 3210 32 3210 ( ) ( ) ( ) x tX tX tX tX y tY tY tY tY z tZ tZ tZ tZ 0,1t 32 3210 ( ) ttttPAAAA (,) iii X Y Z i A0,1,2,3i n代数形式 第28页/共35页 2021-8-430 对于三次多项式曲线，常用四个几何条件进行描述。 0 (0)PP 1 (1)PP 0 (0) PP 1 (1) PP 两端点的位置 和 两端点的切矢量 和 (0)P(1)P (1)P (0)P 参数曲线的代数形式和几何形式 n几何形式 这样描述的三次多项

19、式曲线，称为Hermite曲线， 它是以法国数学家Charles Hermite命名的 第29页/共35页 2021-8-431 32 3210 ( ) ttttPAAAA又由 得: 参数曲线的代数形式和几何形式 n几何形式 00 01 10123 1123 23 PA PA PAAAA PAAA 0 1013 0 1012 11 00 22 233 PPPPA PPPPA PA PA 32 3210 ( ) ttttPAAAA代入式 00110011 ( )( )( )( )( )tF tF tG tG tPPPPP则有 为0,1区间上的三次Hermite基函数，也称调和函数。 3232 0

20、1 3232 01 ( ) 231, ( )23 ( )2, ( ) F tttF ttt G ttttG ttt 其中 式()是参数曲线的几何形式， ， ， 为其 0 P 0 P 1 P 1 , P 几何系数 （） 第30页/共35页 2021-8-432 Hermite基函数 H(t) t10.20.40.60.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2 32 0( ) 231 F ttt 32 1( ) 23F ttt 32 0( ) 2G tttt 32 1 ( )G ttt 参数曲线的代数形式和几何形式 n几何形式 第31页/共35页 2021-8-433 ( ) tPTA ( ) tPFB 32 3210 ( ) ttttPAAAA 00110011 ( )( )( )( )( )tF tF tG tG tPPPPP 写成矩阵形式分别是: AB 32 3210