收敛数列的性质之欧阳语创编

1、2收敛数列的性质时间：2021.03.01创作：欧阳语I 教学目的与要求1理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不 等式性,并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理，会利用其求数列极限.3掌握数列极限迫敛性定理、数列与其子列的收敛关 系，会利用其讨论数列的收敛性.n.教学重点与难点：重点:收敛数歹啲性质.难点收敛数列的性质的证明及其应用.m.讲授内容收敛数列有如下一些重要性质:走理22（唯一性）若数列心收敛，则它只有一个极 限.证设是aj的一个极限我们证明：对任何数川心不 是的极限事实上/若取,则按定义1 ,在 u（“；匂）之外至多只有中有限个项，从而在U（

2、也）内至 多只有仏中有限个项;所以b不是的极限这就证明了 收敛数列只能有一个极限.一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一 个数.我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大 小.以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实.走理23（有界性）若数列“收敛,则“”为有界数列，即 存在正数M ,使得对一切正整数有证 设lima” 取 = 1 ,存在正数N z对一切N有I an - l 1 即a an a+ .记M = maxI ax I,I a2 L I 么斗 I,I a 1 LI a + 11,则对一切正整数“都有I” | 0 （或水（或0取 = “-（0）,则存在正数N，使得当心N时

3、有6 ,这就证得结果对于0的情形，也可类似地证 明注 在应用保号性时，经常取走理25（保不等式性）设仏与和均为收敛数列若存在 正数M）,使得当叫时/有aoc证 设lim a” = a, lim化=b任给 0,分别存 在正数与“2,使得当nN时,有G-W /( 1 )当心M时有bn N时,按假设及不等式和 有由此得到 a h + 2s.由的任意性推得a b ,即lim a 请学生思考:如果把定理2.5中的条件“”纺”换成严格 不等式55 ,那么能否把结论换成linqvlin心？,并给出理 由例丄设 0(/1 = 1,2,.)证明:若lime” =“.则 lim Ja =航(3 )noo v证由定

4、理2.5可得心o.若“ =0 ,则由lim = 0 ,任给0 ,存在正数N ,使得 当”N时有,从而&7 即|J” -。0 ,则有nr 力一九一“一国任给0 /由lim an = a ,存在正数N，使得当心N时有从而|曲-呦式得证走理2.7(迫敛性)设收敛数列仏,阳都以“为极限,数列仏 满足：存在正数叫,当样叫时有% x证 任给0 ,由Um a = lim hn = a ,分别存在正数必与心,” toon-x使得当2N、时有a-an ,(5)当“十时有bn a +s (6)取Nm，nE，,则当心N时，不等式、(5)、(6)同时 成立z即有a- an c,t bn 0(n 1),则有由上式得0几

5、 1),从而有V 7? - 1数列1 +二是收敛于1的，因对任给的0 ,取N = 十二 贝（J 当 nN为1 ,故由迫敛性证得lim亦=1Il-X.于是，不等式(7)的左右两边的极限皆在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则走理27(四则运算法则)若仏与0”为收敛数列，则 仏+ /-饥 /也都是收敛数列/且有塑仏土化)=塑土恕冲，特别当久为常数c时有若再假设乞工0及,则仏;也是收敛数列，且有虫blim = lim an /lim bn 证 由于an b =a +(-lX及牛 ,因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.设lim an = a lim bn = b、则对任给的 0,分别

6、存在正数N】与an-bnN时上述两不等式同时成立,从而1 |(色 + 仇)一( + 可 M an-a + b -v 2w n Um(a + bn) = a+b.2 anbn -码=包 一+ a(btl -b) an -abn +1叭-b.(8)由收敛数列的有界性定理，存在正数M ,对一切有阳M于是，当心N时由(8)式可得必仇一| x3由于immm,根据收敛数列的保号性,存在正数N 则当“3时有|訥取M = maxN2，N3,则当时有 厶由2的任意性，这就证得Um二=；例3求恤 G” +d”Ll“T + +d + do“T* bkn +bk_xnk + +bln + b()其中z am 0,bk

7、 0 .解以/同乘分子分母后,所求极限式化为恤 5严 +“”“严1 +如严+w严戈 +/TJ +如严 +切严当a 0时有lim na = 0 于是,n-x当加从时，上式除了分子分母的第一项分别为与一外，期于各项的极限皆为0 ,故此时所求的极限等于护；b,n当加VA时，由于niTO(TS),故此时所求的极限等于0.综上所述,得到例4求叱1具中此解若归，则显然有辄需专;若|4 1贝例 5 求 lim、万（J” +1/l-*X由1 +丄T 1 T s）及例1得 n若 a 1 / 则由 lim a11 = 0 得皿）最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要 定理.走义1设仏为数列，価为正整数集M的无限子集,且厲n2 - 0 , noc存在正数W ,使得当时有ak -a k ,故当 &N时更有nk N ,从而也有|仏-彳X x；-x(9)式与(10)式给出所以由上节例7可知仏收敛由走理28的证明可见,若数列仏的任何非平凡子列 都收敛，则所有这些子列与仏必收敛于同一个极限于 是,若数列仏有一个子列发散,或有两个子列收敛而极限 不相等Z则数列僦一定发散例如数列4 1)”,其偶数项组 成的子列 2收敛于1,而奇数项组成的子列41严收敛 于一 1 ,从而(-1)泼散再如数列sin響,它的奇数项组成 的子列骚彳即为一1尸,由于这个