高考数学(理)一轮课件：10-4圆锥曲线的热点问题汇编

1、 知 识 梳 理 1直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax ByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y) 0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一 元方程 (1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则 0直线与圆锥曲线C ； 0直线与圆锥曲线C ； 0直线与圆锥曲线C (2)当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线 C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲 线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物 线的对称轴的位置关系是平行 相交 相切 无公共点 2圆

2、锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交 点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任 意两点所得的线段)，线段的长就是弦长 感悟提升 两个防范一是在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别 注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况，如(2)； 二是中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 0或说明中点在曲线内部，如(5). 考点一直线与圆锥曲线位置关系 规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判 断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系 的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时， 要对是否有斜率不

3、存在的直线的情况进行讨论，避免漏解 规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求 解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程解此类题的 关键是设出交点的坐标，利用求根公式得到弦长，将已知弦长 的信息代入求解 【训练2】 已知点Q(1，6)是抛物线C1：y22px(p0)上异于 坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y2x2相切的两条直线 分别交抛物线C1于点A，B. 求直线AB的方程及弦AB的长 审题路线(2)写出直线BP的方程与椭圆方程联立解得P点坐 标写出直线AD的方程由直线BP与直线AD的方程联立解得M 点坐标由D、P、N三点共线解得N点坐标求直线MN的斜率 m作差：2mk为定

4、值 规律方法 求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得 到定值 考点四圆锥曲线中的范围与最值问题 【例4】 (2013浙江卷)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为 F(0,1) (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分 别交直线l：yx2于M，N两点，求|MN|的最小值 规律方法 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几 何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最 值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或 三角函数的

5、最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或 三角函数的有界性等求最值 1涉及弦长的问题时，应熟练地利用求根公式，设而不求计算 弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求 简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的 定义求解 2关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之 一，也是高考的一个热点问题这类问题一般有以下三种类 型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方 程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题其解法有代 点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变 换法等 3圆锥曲线综合问题要四重视： (1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的 作用；(3)重视求根公式在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特 征与方程的代数特征在解题中的作用 答题模板12圆锥曲线中的探索性问题 反思感悟 (1)本题是圆锥曲线中的探索性问题，也是最值问 题，求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点，通常是先 建立一个目标函数，然后利用函数的单调性或基本不等式求最 值 (2)