麦克斯韦气体分子速率分布律汇编

1、 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 2 2. .总分子数为总分子数为NN，在，在 vv v区间内的分子数为区间内的分子数为 NNv 例如速率间隔取例如速率间隔取100m/s ， 101200m/s的分子数为的分子数为 NNv2 2 出现的概率为出现的概率为 任一速率区间内分子出现的概率为任一速率区间内分子出现的概率为 所取速率区间越小，对分布情况的描述也越精确。所取速率区间越小，对分布情况的描述也越精确。 N N 1v N N 2v N N vi 1. .将速率从将速率从 0 0 分割成很多相等的速率区间。分割成很多相等的速

2、率区间。 一、速率分布函数一、速率分布函数 0100m/s的分子数为的分子数为 NNv1 1出出 现的概率为现的概率为 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 3 若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将 速率区间尽可能取小，当速率区间尽可能取小，当 v00时，即取时，即取d dv为分子速为分子速 率区间，其相应分子数为率区间，其相应分子数为dNv。 这概率在各速率区间是不同的，它应是速率这概率在各速率区间是不同的，它应是速率 v 的函数，的函数， 并且与区间的大小并且与区间的大小d d

3、v成正比成正比 其中其中 f f( (v) ) 称为称为分子的速率分布函数分子的速率分布函数。 vv v d)( d f N N 则任一速率区间（则任一速率区间（vvdv）间内的分子出现的概率）间内的分子出现的概率 为为 N N v d 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 4 分子的速率分布函数分子的速率分布函数: : v v v d d )( N N f 速率在速率在 v 附近的单位速率区间内的附近的单位速率区间内的分子数占分子分子数占分子 总数的百分比。总数的百分比。 或：在某一速率区间（或：在某一速率区间（vvd dv）

4、间内的分子出现的）间内的分子出现的 概率（概率（概率密度概率密度）。）。 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 5 分子速率分布图分子速率分布图 N ：分子总数分子总数 dNv 为速率在为速率在 v vdv 区间的分子数区间的分子数. o vvvv d Sd N N S v d d 表示速率在表示速率在v vdv 区间的分子数区间的分子数 占总数的百分比占总数的百分比 . v v v d d )( N N f 单位速率区间单位速率区间 分子的百分比分子的百分比 )(vf 速率分布函数速率分布函数 第七章第七章 气体动理论气体动理

5、论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 6 kT m e kT m f 2 2 2/3 2 2 4)( v vv T T：气体热力学温度；：气体热力学温度； 二、麦克斯韦速率分布规律二、麦克斯韦速率分布规律 o )(vf v 对于不同气体有不同的分布函数。对于不同气体有不同的分布函数。18601860麦克斯韦首麦克斯韦首 先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。 麦克斯韦速率麦克斯韦速率 分布曲线分布曲线 mm：一个气体分子的质量；：一个气体分子的质量； k k：玻尔兹曼常量：玻尔兹曼常量. . 第七章第七

6、章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 7 2. .曲线下宽度为曲线下宽度为 d dv 的的 小窄条面积就等于在小窄条面积就等于在 该速率区间内分子出该速率区间内分子出 现的概率现的概率 vv v df N dN )( vd )(vf o )(vf v 3.3.在在v vv速率区间速率区间 内分子出现的概率内分子出现的概率 vvv vv vv v v d)(f N N 1. 1. f f( (v)v曲线曲线 讨论讨论: : v0 0时，时， f f( (v) )0 0 v时，时，f f( (v)0)0 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-

7、6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 8 4. .在整个曲线下的面积为在整个曲线下的面积为 1（ 归一化条件）。归一化条件）。 00 d d d d)(v v vv v N N f 分子在整个速率区分子在整个速率区 间内出现的概率为间内出现的概率为 1(100%) 。 N N N 0 d 1 1 N N o )(vf v 5. .可以看出，按麦克斯可以看出，按麦克斯 韦速率分布函数确定的韦速率分布函数确定的 速率很小和速率很大的速率很小和速率很大的 分子数都很少，且有一分子数都很少，且有一 个速率分布概率极大值。个速率分布概率极大值。 p v 第七章第七章 气体动理

8、论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 9 利用麦克斯韦速率利用麦克斯韦速率 分布率可计算最概然速分布率可计算最概然速 率、方均根速率、平均率、方均根速率、平均 速率等物理量。速率等物理量。 1. .最概然速率最概然速率 vP P 最概然速率也称最概然速率也称 最可几速率，表示在最可几速率，表示在 该速率下分子出现的该速率下分子出现的 概率最大。概率最大。 p v o )(vf v 将将 f f( (v ) ) 对对 v 求导，令一次导数为求导，令一次导数为 00 d )(d v vf 三、三种统计速率三、三种统计速率 第七章第七章 气体动理论气体动理

9、论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 10 0 )( v v d df kTm e 2/ 2 2 v v 0 2 2 2/2 2 kT m e kTm v v v kT m e kT m f 2 2 2/3 2 2 4)( v vv 0 2 1 2 kT mv m kT m kT p 41. 1 2 v最概然速率最概然速率 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 11 讨论：讨论： vp p与温度与温度T T 的关系的关系 m kT p 2 v p Tv 曲线的峰值右移，由曲线的峰值右移，由 于曲

10、线下面积为于曲线下面积为1不不 变，所以峰值降低。变，所以峰值降低。 12 TT 1p v o )(vf v 2p v 1 T 2 T 最概然速率最概然速率 参考课本参考课本P197P197图图7-97-9（NN2 2气体的速率分布曲线）。气体的速率分布曲线）。 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 12 p mv 曲线的峰值左移曲线的峰值左移, ,由由 于曲线下面积为于曲线下面积为1不不 变，所以峰值升高。变，所以峰值升高。 12 mm 1 m vp p与与分子质量分子质量mm 的关系的关系 1p v o )(vf v 2p

11、v 2 m 讨论：讨论： m kT p 2 v 最概然速率最概然速率 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 13 由由 A N R k m kT p 2 v 和和mNM A A mN RT2 M RT2 M RT 41. 1 m kT m kT p 41. 1 2 v最概然速率最概然速率 有有 即即 讨论：讨论： M RT m kT p 22 v 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 14 假设：速度为假设：速度为v1 1的分子有的分子有 NN1 1个，个， 速度

12、为速度为v2 2的分子有的分子有 NN2 2 个，个， 则平均速率为：则平均速率为： N NNN nnv vv v 2211 2. .平均速率平均速率v n i ii N N 1 v 三、三种统计速率三、三种统计速率 0 d)(vvvf N N N 0 dv v NN00 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 15 代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数： 0 3 2 2/3 2 2 4vvv v de kT m kT m 设设 2kT m a 0 32/3 2/3 24 vvv v dea a

13、则则 2. .平均速率平均速率v 0 d)(vvvvf 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 16 利用积分公式利用积分公式 2 3 0 2 12 a dxex ax 2 2/3 2/1 2 14 a a v a 2 m kT 8 M RT M RT m kT 59. 1 88 v 得：得： 0 32/3 2/3 24 vvv v dea a 由由 A N R k 和和mNM A 平均速率平均速率 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 17 3. .方均根速率方均

14、根速率 2 rms vv 三、三种统计速率三、三种统计速率 m kT3 2 rms vv kTm 2 3 2 1 2 v M RT m kT33 2 rms vv 由由 A N R k 和和mNM A 得：得： 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 18 p v 2 v v 4. .三种速率的比较：三种速率的比较： m kT 8 v M RT 8 M RT3 M RT2 l气体的三种速率都与成正比，与（或气体的三种速率都与成正比，与（或 ） 成反比。成反比。 T mM m kT3 2 v m kT p 2 v o )(vf v

15、l数值上，最大；次之；最小。数值上，最大；次之；最小。 2 v vp v 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 19 p v 2 v v 4. .三种速率的比较：三种速率的比较： m kT 8 v M RT 8 M RT3 M RT2 m kT3 2 v m kT p 2 v o )(vf v 应用：应用：最概然速率最概然速率 表征了气体分子按速率分布表征了气体分子按速率分布 的特征；平均速率的特征；平均速率 运用于气体分子的碰撞；方运用于气体分子的碰撞；方 均根速率均根速率 用于计算分子的平均平动动能。用于计算分子的平均平动动

16、能。 p v v 2 v 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 20 表示在速率表示在速率v1 1v2 2速率区间内，速率区间内， 分子出现的概率。分子出现的概率。 表示在速率表示在速率v1 1 v2 2速率区间内，速率区间内， 分子出现的个数。分子出现的个数。 N N df 2 1 v v vv)() 3( NdNf vv 2 1 v v )() 4( N N df d )() 1 (vv 表示在速率表示在速率v附近，附近，d dv 速率区间速率区间 内分子出现的概率。内分子出现的概率。 表示在速率表示在速率v附近，附近，d

17、dv速率区间速率区间 内分子的个数。内分子的个数。 dNdNfvv)() 2( 补充例题：补充例题：试说明下列各式的物理意义。试说明下列各式的物理意义。 ,)() 2(vv dNf ,)() 3(vv 2 1 v v df ,)() 4(vv 2 1 v v dNf ,)() 1 (vv df 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 21 麦克斯韦在麦克斯韦在 1860 年年 从理论上预言了理想气从理论上预言了理想气 体的速率分布律。体的速率分布律。60 年年 后，也就是后，也就是 1920 年斯特年斯特 恩通过实验验证了这一恩通

18、过实验验证了这一 规律，后来密勒和库将规律，后来密勒和库将 实验进一步完善。实验进一步完善。 麦克斯韦速率分布律的实验麦克斯韦速率分布律的实验 验证验证 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 22 实验装置实验装置 通常，实际气体速率的分布与麦氏速率分布律相符，通常，实际气体速率的分布与麦氏速率分布律相符， 但密度大的情况不符合。但密度大的情况不符合。 L L v v 2 L Hg 金属蒸汽金属蒸汽 显示屏显示屏 狭狭 缝缝 接抽气泵接抽气泵 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气

19、体分子速率分布律 23 根据根据实验实验数据列表数据列表分布表分布表 在在0 0时氧气分子速率的分布情况时氧气分子速率的分布情况 可以看出：低可以看出：低 速和高速运动的分速和高速运动的分 子较少，多数分子子较少，多数分子 以中等速率运动。以中等速率运动。 对于任何温度对于任何温度 下的任一气体，大下的任一气体，大 体上都是如此。体上都是如此。 本节本节 结束结束 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 24 第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 25 麦克斯韦是麦

20、克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、世纪英国伟大的物理学家、 数学家。数学家。1831年年11月月13日生于苏格兰的爱丁堡，日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克 斯韦从小受到良好的教育。斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡岁时进入爱丁堡 中学学习，中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发 表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显 露出出众的才华。露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习年进入爱丁堡大学学习 数学和物理。数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数年转入剑桥大学三一学院数 学