概率统计及随机过程：2-1 随机变量的概念

1、第二章 随机变量及其分布 1 利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式 )0)()()(APABPAPABP )0)()()(BPBAPBPABP 推广 )0)( )()( 121 12112121 n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP 乘法公式乘法公式 2 内内 容容 复复 习习 B1 B2 Bn AB1 AB2 ABn ji n i i BB B 1 )( 1 ji n i i ABAB ABA A 全概率公式与全概率公式与Bayes 公式公式 3 n i i ABPAP 1 )()()()( 1 i n i i BAPBP 全概率公式 Bayes公式 )(ABP k )( )

2、( AP ABP k n i ii kk BAPBP BAPBP 1 )()( )()( A n B意义：事件组 一般是导致 发生的所有可能的“原因” A B k B意义： 发生时，其原因是 的概率.A 对 有修正作用。 4 事件的独立性事件的独立性 定义 设 A , B 为两事件，若 )()()(BPAPABP 则称事件 A 与事件 B 相互独立 q 四对事件BABABABA,;,;,;, 任何一对相互独立，则其它三对也相互独立 q 若, 0)(, 0)(BPAP 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立 5 定义定义 三事件三事件 A, B,

3、 C 相互独立相互独立是指下面的关系式 同时成立： 注：1) 不能由关系式(1)推出关系式(2), 反之亦然 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 )()()( )()()( )()()( CPBPBCP CPAPACP BPAPABP (1) )()()()(CPBPAPABCP (2) A, B, C 相互独立A, B, C 两两独立 6 常利用独立事件的性质计算它们的并事件 的概率 若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立，则 )()( 21 1 n n i i AAAPAP n i i AP 1 )(1(1 )(1 21n AAAP n i i AP 1 )(1

4、 )(1 21n AAAP )( 1 n i i AP n i i AP 1 )(1 (1 7 n 重Bernoulli 试验概型： AA,即可看作每次试验有两个可能的结果： 10,)(ppAP 设 Bernoulli 试验概型试验概型 每次试验的结果与其他次试验无关 称为 这 n 次试验是相互独立的 将随机试验重复 n 次 每次试验感兴趣的事件为 A 8 一般地，若10,)(ppAP 则nkppCkP knkk nn , 2 , 1 , 0,)1 ()( n 重Bernoulli 试验概型感兴趣的问题为： 在 n 次试验中事件 A 出现 k 次的概率，记为 )(kP n 9 第二章第二章 随

5、机变量及其分布随机变量及其分布 为了更好的揭示随机现象的规律性并利用 数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随 机试验的不同结果 例例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以 用一个变量来描述 反面向上 正面向上 , 0 , 1 )(X 例例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用 一个变量 X 来描述 ( )0,1,2X 10 2.1 随机变量的概念随机变量的概念 定义 设E是一随机试验， 是它的样本空间， 则称 上的单值实值函数 X ( )为随机 变量 随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母 , , 表示 )(X实数 按一定法则 若 随机变量的概念随机变量的概念 11 随机变量

6、是R上的映射，这个映射具有 如下的特点： 定义域 : 随机性 : 随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值 概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些 值 12 A A X A , 0 , 1 称 XA 为事件A 的示性变量 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量 随机变量的函数一般也是随机变量 可以根据随机事件定义随机变量 设 A 为随机事件，则可定义 13 如，若用X 表示电话总机在9:0010:00接到 的电话次数， 100X 或 )100(X 表示“某天9:00 10:00 接到的电

7、话 次数超过100次”这一事件 则 14 再如，用随机变量 反面向上 正面向上 , 0 , 1 )(X 描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 则 ) 1)(X 正面向上 也可以用 反面向上 正面向上 , 1 , 0 )(Y 描述这个随机试验的结果 15 例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往 需要多个指标，例如，身高、体重、头围等 = 儿童的发育情况 X ( ) 身高 Y ( ) 体重 Z ( ) 头围 各随机变量之间可能有一定的关系，也可能 没有关系 即 相互独立 16 随机变量的分类随机变量的分类 离散型随机变量 非离散型随机变量 其中一种重要的类型为 连续性随机变量 任何随机现象可 被 随机

8、变量描述 借助微积分方法 深入讨论 引入随机变 量重要意义 17 定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量 X 的分布函数，记为F ( x ) ,即 定义定义 设 X 为随机变量, 对每个实数 x , 随机事件 )(xX 的概率 )(xXP xxXPxF),()( 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 18 分布函数的性质分布函数的性质 q F ( x ) 单调不减，即 )()(, 2121 xFxFxx q 1)(0 xF 且 0)(lim, 1)(lim xFxF xx q F ( x ) 右连续，即 )()(lim)0( 0 xFtFxF xt （为什么） 19 利用分布函数可以计算 )

9、()( )()()( aFbF aXPbXPbXaP )(1)(1)(aFaXPaXP （ ab （ )0()()(aFaFaXP )0()(aFbF )()0(aFbF )0()0(aFbF )(bXaP )(bXaP )(bXaP 请 填 空 20 )(xF 2/ 103/ 1xx 00 x 2/ 11x 设 随机变量 X 的分布函数： 计算 ) 0(XP) 4/ 1(XP ) 4/ 1(XP ) 3/ 10 (XP ) 3/ 10 (XP ) 00 () 0 () 0(FFXP ; 3/ 103/ 1 例1 解 21 ; 012/712/7 (1/4)P X (1/4)P X (1/4)

10、 1(1/4)P XF (01/3)PX (01/3)PX . 3/23/ 13/ 1 (1/4)(1/40)FF (1/4)(1/4)P XP X 1 7/12 5/12 (1/3)(0)2/3 1/31/3FF (0)(01/3)P XPX 22 2.3 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即 , 2 , 1,)(kpxXP kk 离散型随机变量的概念离散型随机变量的概念 X k xxx 21 P k ppp 21 或 23 概率

11、分布的性质 q , 2 , 1, 0kpk 非负性 q 1 1 k k p 规范性 24 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点， 在间断点处有跃度 pk 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 1 ()( )(0) ( )() kkkk kk pP XxF xF x F xF x ) )()()( xx k k xXPxXPxF xx k xx k kk pxXP)( 25 1 2 k k+1 o 1 o o o 1 p 2 p k p F(X) 26 例例1 设一汽车在开往目的地的途中需经过 4 盏 信号灯，每盏信号灯独立地以概

12、率 p 允许 汽车通过。令 X 表示首次停下时已通过的 信号灯的盏数，求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数。 出发地目的地 3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXP k 解解 4,)4( 4 kpXP 27 0 1 2 3 4 x x , 4 . 06 . 06 . 021 x , 6 . 010 x , 0 0 x ,4 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0 2 32 x ),4 . 04 . 04 . 01 (6 . 0 32 43 x 14x )(xF k pk 0 1 2 3 4 0.6 0.40.60.420.60.430.60.44 当4 . 0

13、p 28 0 1 2 3 4 x F( x) o o 1 o o o 29 概率分布或分布函数可用来计算有关事件的 概率 例例2 在上例中，分别用概率分布与分布函数计 算下述事件的概率： (13),(2)PXP X 1344. 06 . 04 . 06 . 04 . 0 32 1344. 06 . 04 . 06 . 04 . 0 32 )31 ( XP)3()2(XPXP解解 )31 ( XP) 1 ()3(FF或 30 (2)1(2) 1 (0)(1) 1 0.840.16 P XP X P XP X (2)1(2) 1(2)(2) 1(20)1 0.840.16 P XP X P XP X F 或 此式应理解为极限)(lim 2 xF x 31 例例3 一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须 被击中r 次才能被摧毁。若每次击中目标的 概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立， 一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需 轰击次数 X 的概率分布。 解解P ( X = k ) = P ( 前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标) pppC rkrr k )1 ( 11 1 rkrr k ppC )1 ( 1 1 , 1, rrk 32 注1)1 ( 1 1 rk rkrr k ppC 利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质 x x k k 1 1