机械控制PPT学习教案

1、会计学1 机械控制机械控制 二二、频率特性概述 1 1、频率响应与频率特性、频率响应与频率特性 频率响应与频率特性的概念 22 )( )( )( )( )( )()()( s X sN sM sX sN sM sXsGsX iio )()( )( )( )( )( 21n pspsps sM sN sM sG 考虑线性定常系统： 当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为： 对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此 时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改 变，因此，可认为系统处于零初始状态。 第1页/共75页 n n o ps A ps A ps A js A js A sX

2、2 2 1 1 )( 假设系统只具有不同的极点，则： AA,其中为一对待定共轭复常数 Ai(i = 1, 2, , n)为待定常数。 )0( )( 21 21 t eAeAeAeAAetx tp n tptptjtj o n 从而： ) 1, 2, 1, 0( jj tpk rket jj 如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有类似 ： 的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋 于无穷大都趋近于零。 第2页/共75页 因此，系统的稳态响应为： tjtj o eAAetx )( j jXG js s X sGA js 2 )( )()( 22 )()( )()()( jj

3、ejGejGjG j jXG js s X sGA js 2 )( )()( 22 其中： )(Re )(Im )()()()( )( jG jG arctgjGejGjG j 由于： j ee jGXtx tjtj o 2 )()( )()( 因此： )()(sin )(sin)( jGXYtY tjGX 第3页/共75页 上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下的稳 态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出与输入的 幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。 显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随频 率而变化。 q 频率响应：系统对谐波输入信号的稳态响应 。 q 频率特性：系统在不同频率的正弦

4、信号输入 时，其稳态输出随频率而变化 ( 由0变到)的特性。 q 幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变化特 性，记为A()。 q 相频特性：当由0到变化时，G(j)的变 化特性称为相频特性，记为()。 第4页/共75页 幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性 。 2 2、频率特性与传递函数的关系、频率特性与传递函数的关系 js sGjG )()( 3 3、频率特性求解、频率特性求解 频率响应-频率特性 22 )(, 1 )( ws wX sX Ts K sG i i 例：系统传递函数 )arctansin( 1 )( )()()( 22 22 1 Twwt wT KX tx ws wX

5、 sGLtx i o i o 频率响应，则稳态输出解： 第5页/共75页 Twj i o e wT K Tww wT K X wX wA arctan 22 22 1 arctan)( 1 )( )( 或 故系统的频率特性为： 传递函数-频率特性 正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应 。 1 )( Ts K sG求一阶系统的频率特性及在 1 )()( jT K sGjG js 解解： 22 1 )()( T K jGA TarctgjG)()( 第6页/共75页 )sin( 1 )( 22 Tarctgt T XK txo 对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：

6、由上式可见，当T1时， A() 1/T () -90 第7页/共75页 几点说明 q 频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴 上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传 递函数一样反映了系统的固有特性。 q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特 性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态 结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于 其中。 q 应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表 示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶 积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于 正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在 任意周期信号或

7、非周期信号作用下的运动情况。 第8页/共75页 q 频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性； q ()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。 t x(t), y1(t), y2(t) x(t)y1(t)y2(t) 0 1()2() 4 4、频率特性表示方法、频率特性表示方法 解析表示（包括幅频相频，实频虚频） 第9页/共75页 第10页/共75页 图示法: Nyquist图(极坐标图，幅相频率特性图) Bode图(对数坐标图，对数频率特性图) 5 5、频率特性的特点、频率特性的特点 q 频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型。 q 频率特性是系统

8、单位脉冲函数w(t)的Fourier变换 。 )()( )()(, 1)()( )()()()( ),()()()()()( jwGtwF jwGjwXtFjwX twtxttx jwXjwGjwXsXsGsX oi oi ioio 即 ，故且 时，而当 ，有由 q 分析方便。 q 易于实验提取。 第11页/共75页 二二、频率特性的图示方法 1、频率特性的极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图 ） )()( )()( )()()(Im)(Re)( jjGj eAejG jQPjGjjGjG )( )( )( )()()( 22 P Q arctg QPA ， 其中，P()、Q()分别称为

9、系统 的实频特性和虚频特性。显然： 在复平面上，随（0 ）的变化，向量G(j)端点的 变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。 得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。 第12页/共75页 易知，向量G(j)的长度等于A(j)（|G(j)|）；由 正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方 向的角度等于()(G(j)）。 2、波德(Bode)图（对数频率特性图，包括对数幅频 特性图和对数相频特性图） q 对数幅频特性图 横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率 单位 rad/s或Hz 纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20 倍，即： L()=20logA() 单位 分贝（dB）

10、 第13页/共75页 特别： 当L()=0，输出幅值 输入幅值； 当L(w)0时，输出幅 值输入幅值(放大) ； 当L(w)0时，输出幅 值输入幅值(衰减) 。 q 对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特 性图相同。 纵坐标：线性分度， 频率特性的相角() 单位 度() 第14页/共75页 q 几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度 ，因此=0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表 示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 此外，横 坐标一般只标注的自然数值； 在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比 其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念 ：频率变化十倍的区间称为一个

11、十倍频程，记为 decade或简写为 dec；频率变化两倍的区间称为一个 二倍频程，记为octave或简写为oct。它们也用作频率 变化的单位。 可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距 的，等于一个单位。 第15页/共75页 通常用L()简记对数幅频特性，也称L() 为增益；用()简记对数相频特性。 对数坐标的优点 幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图 ； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围 两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数 幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关 于零度线对称 可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频特性曲线； 将实验获得的频率特性数据绘制成对数频率特

12、性 曲线，可以方便地确定系统的传递函数； 第16页/共75页 1 1、比例环节、比例环节 三、典型环节的频率特性图 传递函数：G(s) = K 频率特性：G(j) = K = Kej0 实频特性：P() = K 虚频特性：Q() = 0 对数幅频特性：L() = 20lgK 对数相频特性：() = 0 幅频特性：A() = K 相频特性： () = 0 第17页/共75页 比例环节的频率特性图： Bode Diagram (rad/sec) () L()/ (dB) -20 0 20 40 60 10 -1 10 0 10110 2 -180 -90 0 90 180 20lgK K 0 Re

13、 Im Nyquist Diagram 第18页/共75页 2 2、惯性环节、惯性环节 传递函数： 1 1 )( Ts sG 频率特性： jarctgT e T Tj jG 22 1 1 1 1 )( 相频特性： () = - arctgT 幅频特性： 22 1 1 )( T A 第19页/共75页 实频特性： 22 1 1 )( T P 虚频特性： 22 1 )( T T Q 注意到： 2 2 2 2 1 )( 2 1 )( QP 即惯性环节的奈氏图 为圆心在(1/2, 0)处， 半径为1/2的一个圆。 0 Re Im 1/21 =0 = 45 =1/T Nyquist Diagram G(

14、j) 惯性环节的Nyquist图 第20页/共75页 惯性环节的Bode图 q 低频段( 1/T ) lg20lg20T 即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称 为高频渐近线。 TTLlg201lg20)( 22 第21页/共75页 转折频率 -30 -20 -10 0 10 -90 -45 0 1/T L()/ (dB) () Bode Diagram (rad/sec) 实际幅频特性 渐近线 -20dB/dec q 转折频率（ 1/T ) 低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点 1/T，称为转折频率（截止频率）。 第22页/共75页 在转折频率处，L() -3dB，()-45

15、 。 惯性环节具有低通滤波特性。 q 渐近线误差 TTT TT L /1,lg201lg20 /1,1lg20 )( 22 22 -4 -3 -2 -1 0 0.1110 T 转折频率 惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线 第23页/共75页 3、一阶微分、一阶微分环节环节 对数相频特性： () = arctg 传递函数：1)( ssG 频率特性： jarctg ejjG 22 11)( 对数幅频特性： 22 1log20)(L 幅频特性： 22 1)(A 相频特性： () = arctg 第24页/共75页 一阶微分环节的Nyquist图 0 Re Im =0 = 22 1 arctg 1 实

16、频特性： 1)(P 虚频特性： )(Q 一阶微分环节的Bode图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数 ( = T )，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环 节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称， 相频特性曲线关于零度线对称。 第25页/共75页 显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐 近线近似描述。 0 10 20 30 90 45 0 1/T L()/ (dB) () Bode Diagram (rad/sec) 0.1/T10/T 转折频率 实际幅频特性 渐近线 20dB/dec 第26页/共75页 4、 积分积分环节环节 传递函数： s sG 1 )( 频

17、率特性： 2 11 )( j e j jG 幅频特性： 1 )(A 相频特性： () = -90 实频特性：0)(P 虚频特性： 1 )(Q 对数幅频特性：log20)(L 对数相频特性： () = -90 第27页/共75页 积分环节的Nyquist图 0 Re Im =0 = 积分环节的Bode图 -40 -20 0 20 0 -45 -90 -135 -180 0.1110100 L()/ (dB) () Bode Diagram (rad/sec) 20dB/dec 第28页/共75页 5、理想微分、理想微分环节环节 传递函数：ssG)( 频率特性： 2 )( j ejjG 实频特性：

18、0)(P 对数相频特性： () = 90 虚频特性： )(Q 对数幅频特性：log20)(L 幅频特性：)(A 相频特性： () = 90 理想微分环节的Nyquist图 0 Re Im =0 = 第29页/共75页 -20 0 20 40 0 45 90 135 180 0.1110100 L()/ (dB) () Bode Diagram (rad/sec) 20dB/dec 理想微分环节的Bode图 第30页/共75页 6、振荡、振荡环节环节 传递函数： 10, 212 1 )( 22 2 22 nn n ssTssT sG 频率特性： nn nn n j j jG 21 1 2 )(

19、222 2 2 2 2 21 1 )( nn A 幅频特性： 相频特性： 2 1 2 )( n n arctg 第31页/共75页 实频特性： 2 2 2 2 21 1 )( nn n P 虚频特性： 2 2 2 21 2 )( nn n Q 振荡环节的Nyquist图 1)0()( AA0)0()( q = 0时 2 1 )()( n AA90)()( n q = n时 0)()( AA 180)()( q = 时 第32页/共75页 Nyquist Diagram =0 = =0.1 =0.2 =0.5 =1 =0.7 Re Im -3-2-10123 -6 -5 -4 -3 -2 -1

20、0 2 1 =0.3 =n 第33页/共75页 00.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.82 0 1 2 3 4 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00 /n A() q 谐振现象 第34页/共75页 又振荡环节的幅频特性曲线可见，当 较小 时，在 = n附近，A()出现峰值，即发生 谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率r 称为谐振 频率。 由于： 2 2 2 21 1 )( nn A n uuuuf ,)2()1 ()( 222 A()出现峰值相当于其分母： 取得极小值。 第35页/共7

21、5页 令：0844)( 23 uuuuf 解得： 2 21u即： 2 21 nr 显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐 振的条件为： 707. 022 谐振峰值： 2 12 1 )( rr AM 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Mr (dB) Mp () Mr Mp 第36页/共75页 振荡环节的Bode图 2 2 2 21lg20)( nn L q 对数幅频特性 低频段( n) 2 2 2 21lg20)( nn L 第37页/共7

22、5页 即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线 。 两条渐近线的交点为n。即振荡环节的 转折频率等于其无阻尼固有频率。 2 1 2 )( n n arctg q 对数相频特性 90)( n 180)( 0)0(易知： 第38页/共75页 -180 -135 -90 -45 0 0.1110 /n () / (deg) = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 = 0.3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 L()/ (dB) -40dB/dec = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 渐近线 Bode Diagram 第39页

23、/共75页 7、 二阶微分二阶微分环节环节 传递函数： 10, 12)( 22 sssG 频率特性： 21)( 22 jjG 幅频特性： 2222 )2()1 ()(A 相频特性： 22 1 2 )( arctg 实频特性： 22 1)(P 2)(Q虚频特性： 第40页/共75页 二阶微分环节的Nyquist图 1)0()( AA0)0()( q = 0时 2)(A 90)( q = 1/T时 )(A180)( q = 时 2222 )2()1 ()(A 22 1 2 )( arctg 第41页/共75页 G(j) =0 10 = Re Im = 1/ 2， Nyquist Diagram 第

24、42页/共75页 二阶微分环节的Bode图 2222 )2()1 (lg20)(L 22 1 2 )( arctg 注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性 互为倒数( 1/n )，根据对数频率特性图 的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅 频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲 线关于零度线对称。 第43页/共75页 8、延迟环节、延迟环节 传递函数： s esG )( 频率特性： j ejG )( 幅频特性： 1)(A 相频特性： )(3 .57)()(rad 对数幅频特性：0)(L 第44页/共75页 0 1 =0 Re Im Nyquist Diagram -600 -500 -40

25、0 -300 -200 -100 0 0.1110 (rad/s) () / (deg) 10 L() / (dB) 0 -20 -10 第45页/共75页 四、频率特性图绘制 1、系统开环、系统开环Nyquist图的绘图的绘 制制 基本步骤基本步骤 q 将开环传递函数表示成若干典型环节的串 联形式： )()()()( 21 sGsGsGsG n )()( 2 )( 1 )( )()()( )()( 21 n j n jj j eAeAeA eAjG q 求系统的频率特性： )()()( 21 21 )()()( n j n eAAA 第46页/共75页 )()()()( )()()()( 2

26、1 21 n n AAAA 即： q 求A(0)、(0)；A()、() q 补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根 据A()、() 的变化趋势，画出Nyquist 图 的大致形状。 示例示例 q 例1：已知系统的开环传递函数如下： ) 1)(1)(1( )()( 321 sTsTsT K sHsG 试绘制系统的开环Nyquist图。 第47页/共75页 解解： ) 1)(1)(1( )()( 321 TjTjTj K jHjG 2 3 22 2 22 1 2 111 )( TTT K A 221 )(arctgTarctgTarctgT 0： A(0)K ： A()0 (0)0 ()270

27、0 Re Im K =0 第48页/共75页 解解： q 例2：已知系统的开环传递函数如下： ) 12 . 0)(15 . 0( 10 )()( sss sHsG 绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。 ) 12 . 0)(15 . 0( 10 )()( jjj jHjG )04. 01)(25. 01 ( 10 )( 22 A 2 . 05 . 090)(arctgarctg 0： A(0) ： A()0 (0)90 ()270 第49页/共75页 0 ) 11 . 0(49. 0 ) 11 . 0(10 )( 223 2 Q Nyquist图与实轴相交时： 解得：16. 310 j

28、 10（ 舍去） 222 ) 11 . 0(49. 0 7 )( P 又： 解得： 43. 1 7 10 )( j P -7 -1.43 0 Re Im 0 第50页/共75页 q 例3：已知系统的开环传递函数如下： ) 1( ) 1( )()( 2 2 1 sTs sTK sHsG 绘制系统的开环Nyquist图。 )1 ( )1 ( )( 22 2 2 22 1 T TK A 解解： ) 1( ) 1( )()( 2 2 1 Tj TjK jHjG 21 180)(arctgTarctgT 0： A(0)(0)180 ： A()0()180 第51页/共75页 Nyquist图的一般形状图

29、的一般形状 考虑如下系统： )( )1 ()1)(1 ()( )1 ()1)(1 ( )( 21 21 mn TjTjTjj jjjK jG vn v m q 0型系统（v = 0） 0： A(0)K ： A()0 (0)0 ()(nm)90 Re Im 0 K n=1 n=2 n=3 n=4 只包含惯性环节的0型系统Nyquist图 0 第52页/共75页 q I型系统（v = 1） 0： ： (0)90 ()(nm)90 A()0 A(0) Re Im 0 n=2 n=3 n=4 0 n=1 第53页/共75页 q II型系统（v = 2） ：()(nm)90A()0 0：(0)180A(

30、0) Re Im 0 n=2 n=3 n=4 0 第54页/共75页 q 开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线 起 自幅角为v90的无穷远处。 q n = m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一 有 限远点，且止于实轴上的某一有限远点。 q n m时，Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而 相 角为(nm)90。 n-m=1 n-m=2 n-m=3 n-m=4 Re Im 0 第55页/共75页 2、系统开环、系统开环Bode图的绘制图的绘制 考虑系统：)()()()( 21 sGsGsGsG n )( )()( j eAjG )()()( 21 21 )()()( n j n eA

31、AA )()()( )(lg20)(lg20)(lg20 )(lg20)( 21 21 n n LLL AAA AL )()()()( 21 n 第56页/共75页 例1 已知系统的开环传递函数如下： )10010)(12( ) 15 . 0(1000 )()( 2 ssss s sHsG 试绘制系统的开环Bode图。 解解： 10010 100 12 11 15 . 010)()( 2 ssss ssHsG 易知系统开环包括了五个典型环节： 第57页/共75页 10)( 1 sG s sG 1 )( 3 15 . 0)( 2 ssG 转折频率：2=2 rad/s 12 1 )( 4 s sG

32、 转折频率：4=0.5 rad/s 10010 100 )( 2 5 ss sG 转折频率：5=10 rad/s 第58页/共75页 1001 10 25 . 090 1001 10 2905 . 00 )()()()()()( 2 2 54321 arctgarctgarctg arctgarctgarctg 100100 1lg2041lg20 lg2025. 01lg2010lg20 )()()()()()( 2 2 2 2 2 54321 LLLLLL 开环对数幅频及相频特性为： 第59页/共75页 Bode Diagram -60 -40 -20 0 20 40 0.1 -270 -

33、180 -90 0 90 1100 () / (deg) L()/ (dB) (rad/sec) L1 L2L3 L4 L5 L() () 1 2 3 4 5 -20dB/dec -40 -20 -60 2 4 5=10 第60页/共75页 Bode图特点 q 最低频段的斜率取决于积分环节的数目v， 斜率为20v dB/dec。 q 注意到最低频段的对数幅频特性可近似为 ： lg20lg20)(vKL 当1 rad/s时，L()=20lgK，即最低频 段的对数幅频特性或其延长线在1 rad/s时的数值等于20lgK。 第61页/共75页 q 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示 ， 则对数幅频

34、特性为一系列折线，折线的转 折点为各环节的转折频率。 q 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点 ， 其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前 转折频率对应的环节决定。 对惯性环节，斜率下降 20dB/dec；振荡环 节，下降 40dB/dec；一阶微分环节，上升 20dB/dec；二阶微分环节，上升 40dB/dec。 第62页/共75页 Bode图绘制步骤 q 将开环传递函数表示为典型环节的串联： ) 12)(1() 1( ) 12)(1() 1( )()( 11 22 11 11 22 11 sTsTsTsTs ssssK sHsG qqqq v pppp q 确定各环节的转折频率： , 21

35、21 TT 并由小到大标示在对数频率轴上。 q 计算20lgK，在1 rad/s 处找到纵坐标等 于 20lgK 的点，过该点作斜率等于 -20v dB/dec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折 频 率之左，得到最低频段的渐近线。 第63页/共75页 q 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折 频率改变一次渐近线斜率。 q 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。 q 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 。 例2 已知系统的开环传递函数如下： ) 101. 0)(105. 0)(15( ) 15 . 0(100 )()( sss s sHsG 试绘制系统的开环Bode图。 第64页/共7

36、5页 解解：开环增益K100，20lgK40 各环节转折频率分别为： sradsrad sradsrad TT T /100,/20 /2,/2 . 0 32 11 Bode Diagram -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 -180 -135 -90 -45 0 45 90 (rad/sec) () / (deg) L()/ (dB) 0.2220100 0 -20 0 -20 -40 第65页/共75页 五、频率特性的特征量 1、零频幅值、零频幅值A(0) 它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值 与输入的幅值之比。A（0）越接近于1，系统的稳态 误差越小，反映了系统的稳态精度。 2、复现频率、复现频率wm与复现带宽与复现带宽0-wm 若事先规定一个 作为反映低输入信号的允许误 差，那么wm就是幅频特性值与A(0)的差第一次达 到时的频率值，称为复现频率。 3、谐振频率、谐振频率wr与相对谐振峰值与相对谐振峰值Mr 谐振频率A(w)出现最大值Amax时的频率称为谐振频率 第