随机变量及其分布考点总结

1、第二章随机变量及其分布复习一、随机变量1. 随机试验的结构应该是不确定的 试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值， 可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散 型随机变量若E是一个随机变量，a, b是常数则 a b也是一个随机变量一般地，若E是随机变量， 是连续函数或单调函数，则也是随机变量 也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量3. 分布列：设离散型随机变量E可能取

2、的值为：xX2,必，E取每一个值xi(i 1,2,)的概率P( Xi) pi，则表称为随机变量E的概率分布，简称E的分布列 P有性质 pi 0,i1,2,； pi p2 Pi 1 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型例如：0,5即 可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数典型例题：1、 随机变量的分布列为P( k),k 1,2,3，则P(13) k(k 1)12、 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一7球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用表示取球X表示三哥信箱中放有信件的

3、次数。(1 )求 的分布列(2)求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等, 树木的最大值，求X的分布列。4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计5 0已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 .5(1 )请将上面的列联表补充完整；(2) 是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关说明你的理由；(3) 已知喜爱打篮球的10位女生中，A, A As, At, A还喜欢打羽毛球，B1, B2, b3还喜欢打乒乓1名进行球，C1, C2还喜欢踢足球

4、，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出其他方面的调查，求和不全被选中的概率.F面的临界值表供参考:(参考公式：K2(ad)，其中 9 b C d)p(K2 k)k二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性(1 ) B|A与AB的区别：(2) P(B|A)的计算公式 ,注意分子分母事件的性质相同(3) P(AB)的计算公式 注意三点：前提，目标，一般情况 (4) P( A+B)的计算公式 注意三点：前提，目标，一般情况 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%,乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概

5、率是多少2、把一副扑克52张随即均分给赵钱孙李四家，A=赵家得到六章草花,B=孙家得到3张草花，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5张假钞的20张百兀钞票中任取两张，将其中 1张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假 钞的概率。4、有外形相同的球分装在三个盒子，每个盒子10个，其中第一个盒子 7球标有字母A, 3个球标有字母B;第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒子八个红球，两个白球；在如下规则下：先在第一个盒子取一 个球，若是A球，则在第二个盒子取球；如果第一次取出的是B球，则在第三个盒子中取球，如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。(2) 2人中恰有1人射中目标的

6、概率;(4) 2人至多有1人射中目标的概率1次，5、在图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上 时，电路畅通的概率是6、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击(1) 2人都射中目标的概率；(3) 2人至少有1人射中目标的概率;三、几种分布1独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：p(三k) C：pkqnk其中k 0,1, ,n,q 1 p 于是得到随机变量E的概率分布如下：我们称这样的随机变量E服从二项分布，记作B (n p),其中n, p 为参数，并记 C：pkqn k b

7、(k;n p).二项分布的判断与应用. 二项分布，实际是对n次独立重复试验关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列2. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件 A发生记为，事A不发生记为 Ak，P(Ak) q，那么P( E k) P(A,A2 AAk).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(E k) P(A1)P(A2)P(Ak 1)P(Ak)

8、qk 1p (k 1,2,3,)于是得到随机变量E的概率分布列123kPqqpk 1,2,3件次品，我们称E服从几何分布，并记g(k, p) qk 1p，其中q 1 p.3超几何分布：一批产品共有 N件，其中有M (M v N) k n k数E是一离散型随机变量，分布列为p(e k) CM CnN M (0C Nk M,0今抽取n(1 n N)件，则其中的次品n k N M).分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m v r时Cmr 0，则k的范围可以写为k=0, 1，, n.超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取 门件(K nW a+

9、b),则次品数k n kE的分布列为 p(三k) a - k 0,1, n.Ca n超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数E服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有(a b)n个可能结果，等可能：(n k)k k n k含 C：akbnk 个结果，故 P(n k) na bn Ck(丄)k(1 )nk,k 0,1,2, ,n，即 B( n 亠).我们先为(a b)a b a ba bk个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法可以证明：当产品总数很大而抽取个

10、数不多时，P(E k) P(n k),因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.典型例题：1、某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两个有效数字)：(1) 5次预报中恰有4次准确的概率；(2) 5次预报中至少有4次准确的概率,2、在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个 实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响 的。(1) 求蜜蜂落入第二实验区的概率；(2) 若其中有1

11、0只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；(3) 记为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量的数学期望。3、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中两只服用A,两只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠只数比服用 B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为2/3，服用B有效的概率为1/2.(1) 求一个试验组为甲类组的概率。(2) 观察3个试验组，用表示3个试验组中甲类组的个数，求分布列4. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p ( 0p(x )某班同学共有 48人，数学测验的分数服从

12、正态分布在7090分之间的约有人.2 、设两个正态分布 N( !,! )( !0)和N( 2,2.正态分布与正态曲线： 如果随机变量E的概率密度为：f (x)12e 2 . ( x R,为常数，且)，称E服从参数为的正态分布，用时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.越小，曲线越 当一定时，曲线的形状由确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;“瘦高”，表示总体的分布越集中.3.标准正态分布：如果随机变量E的概率函数为x2)，则称E服从标准正态分(a v gw b )的计算则是S 阴=0.5Sa=0.5+S布.即 N(0,1)有 (x) P

13、( x) ,(x) 1( x)求出，而 PP(a b) (b)(a).注意：当标准正态分布的的X取0时，有 (x) 0.5当的X取大于()0.0793 0.5则05 必然小于0，如图.正态分布与标准正态分布间的关系：若N( , 2)则E的分布函数通常用表示，且有 P(E x) F(x) ( _ ).(T4. “ 3 ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服 从正态分布N(,2).确定一次试验中的取值a是否落入范围(3 ,3 ).做出判断：如果a ( 3 , 3 )，接受统计假设.如果a ( 3 , 3 )，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“ 3 ”原则的应用：若随机变量E服从正态分布N( , 2)则E落在(3 ,3 )内的概率为 亦即落在(3 ,3 )之外的概率为，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格(即E不服从正态分布) 典型例题：，其平均分是80分，标准差是10,则该班同学中成绩22)( 20)的密度函数图像如图所示。则有()A.1 2, 12 B. 12, 1 2