圆的一般方程

1、教学目标教学目标 1 1、掌握圆的一般方程及一般方程的特点、掌握圆的一般方程及一般方程的特点 2 2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程、能将圆的一般方程化为圆的标准方程 3 3、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程、能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 4 4、培养学生数形结合思想、培养学生数形结合思想, ,方程思想方程思想, ,提高学提高学 生分析问题及解决问题的能力生分析问题及解决问题的能力. . 重点重点:圆的一般方程及一般方程的特点圆的一般方程及一般方程的特点 难点难点:圆的一般方程的特点及用待定系数法求圆的一般方程的特点及用待定系数法求 圆的方程圆的方程. r byax 2 )( 2

2、 )( 2 ba , 圆的标准方程的形式是怎样的？ 从中可以看出圆心和半径各是什么？ r 【课前练习】 1.1.圆心在（圆心在（-1,2-1,2），与），与 y 轴相切的圆的方程轴相切的圆的方程. . (x+1)2+(y-2)2=1 2.2.已知圆经过已知圆经过P(5,1),(5,1),圆心在圆心在C(8,3),(8,3),求圆方程求圆方程 (x-8)2+(y-3)2=13 3.3.已知两点已知两点A(4,9)(4,9)、B(6,3), (6,3), 以以AB为直径为直径 的圆的方程是的圆的方程是 (x-5)2+(y-6)2=10 (x-2)2+(y-2)2=4 或或 (x+2)2+(y+2)

3、2=4 20 2 C(2,2) C(-2,-2) x y -2 -2 y=x 4.4.求圆心在直线求圆心在直线y = = x上上, ,与两轴同时相切与两轴同时相切, ,半径为半径为2 2的圆的方程的圆的方程. . 小结小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径. 二、导入新课 1、同学们想一想，若把圆的标准方程、同学们想一想，若把圆的标准方程 展开后，会得出怎样的形式？展开后，会得出怎样的形式？ r byax 2 )( 2 )( 2 0 222 22 22 rba byaxy x 2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？、那么我们能否将以上形

4、式写得更简单一点呢？ 0 22 FEyDxy x 3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？ 0 22 FEyDxy x 4 4 22 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 F EDE y D x 2 , 2 ED 4、将、将 左边配方，得左边配方，得 （1）当）当时时, 可以看出它表示以可以看出它表示以 为圆心为圆心, 以以 为半径的圆为半径的圆; D2+E2-4F0 2 4 22 FED r 22 22 22 12610 (2)26100 (3)26130 xyxy xyxy xyxy 判断以下方程是不是圆的方程? （） 是是 不是不是 不

5、是不是 例例1： 下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?若是圆则若是圆则 求出圆心、半径求出圆心、半径. 0112422)1 ( 22 yxyx 22 (2)20(0)xyaxa 22 222 (2)20 )0 xyax xaya 由 得（ 22 (1) 224121 0 xyxy 解：由 22 1 260 2 xyxy得 22 21 1)(3) 2 xy即：（ 13故它表示以（， ）为圆心, 42 2 为半径的圆. a ,0a故它表示以（） 为圆心， 为半径的圆 例例2： _, 4),3 , 2( 0) 1 ( 22 FED FEyDxyx 则半径为 的圆心为已知圆 巩固：巩固： 4

6、 -6 -3 _ ,02)2( 22 的取值范围是则 表示圆 a ayaxyx 2 1 ,aRa _, 024)3( 222 b xbbyxyx 则切 轴相与圆 2或或-2 (1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系: 一般方程 配方 展开 标准方程 小结一: FED ED 4 2 1 ), 2 , 2 ( 22 半径圆心 例例3：求过三点：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程 圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点 x y O E A( (5, ,1) ) B( (7,-,-3) ) C( (2,-,-8

7、) ) 几何方法几何方法 方法一： 方法二：待定系数法方法二：待定系数法 待定系数法待定系数法 解：设所求解：设所求圆的方程为圆的方程为： 222 ()()(0)x ay br r 因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上 222 222 222 (5)(1) (7)( 3) (2)( 8) abr abr abr 2 3 5 a b r 22 (2)(3)25xy 所求所求圆的方程为圆的方程为 例例3：求过三点：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式: 若知道或涉及

8、圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用 圆的标准方程圆的标准方程较简单较简单. 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用我们常常采用 圆的一般方程圆的一般方程用待定系数法求解用待定系数法求解. 小结二: ( (特殊情况时特殊情况时, ,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单) ) 练习： 求过三点O（0,0）， 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆 心坐标。 )2 , 4(),1 , 1 ( 21 MM 例4： 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）， 端点A在圆 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。 4) 1( 22 yx 练习： 已知点P在圆C： 上

9、运动，求线段OP的中点M的 轨迹方程。 02168 22 yxyx 小结小结 1.圆的一般方程圆的一般方程: X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(+Dx+Ey+F=0(其中其中D D2 2+E+E2 2-4F0).-4F0). 2.2.圆的一般方程与圆的标准方程的关系圆的一般方程与圆的标准方程的关系: : (1)(1) (2)(2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径, ,而而 一般方程突出了方程形式上的特点一般方程突出了方程形式上的特点. . 3.3.圆的标准方程与二元二次方程圆的标准方程与二元二次方程AxAx2 2+B

10、xy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的关的关 系系: : (1)(1)A=CA=C0,(2)B=0,(3) D D2 2+E+E2 2-4AF0-4AF0时时, ,二元二次方程才表示圆的二元二次方程才表示圆的 一般方程一般方程. . 4.4.圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点: : (1)(1)x x2 2和和y y2 2的系数相同且不等于的系数相同且不等于0.0. (2)(2)没有没有xyxy这样的二次项这样的二次项, ,因此只要求出了因此只要求出了D,E,FD,E,F就求出了圆的就求出了圆的 一般方程一般方程. . , , , , D DE E a ab br rD DE EF F 22 1 222 4 课堂检测：课堂检测： 1.已知圆过点已知圆过点P(4，3)，圆心在直线圆心在直线 2xy10上，且半径为上，且半径为5，求这个，求这个 圆的方程圆的方程 变式变式1 求满足下列条件的各圆求满足下列条件的各圆C的方程：的方程： (1)和直线和直线4x3y50相切，圆心在直相切，圆心在直 线线xy1=0上，半径为上，半径为4； (2)经过两点经过两点A(1，0)，B(3，2)，圆心圆心 在直线在直线x2y0上上 的内部，求实数的内部，求实数a