概率统计的matlab求解PPT学习教案

1、会计学1 概率统计的概率统计的matlab求解求解 2021-8-62 . R ( ) 随随 量量 机机变变 简记为简记为 r.v. 定义定义 对于定义在样本空间对于定义在样本空间 上的每一个样本点上的每一个样本点 有一个实数有一个实数 与之对应，与之对应， 则称实值函数则称实值函数 ( ) ( ) 在样本空间在样本空间 上定义一种实值单值函数上定义一种实值单值函数. 第1页/共75页 2021-8-63 离散型离散型 定义定义 如果随机变量所取的可能值是有限多个或如果随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个无限可列个,并以确定的概率取这些不同的并以确定的概率取这些不同的 值，值， 则为离

2、散型随机变量则为离散型随机变量. 随机变量随机变量 连续型连续型 非离散型非离散型 其它其它 第2页/共75页 2021-8-64 1 2, , kk Pxpk 分布律也可用表格形式表示：分布律也可用表格形式表示： 设设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量是离散型随机变量 所取所取 的一切可能值，称的一切可能值，称 x1 x2 xn P p1 p2 pn 为为离散型随机变量离散型随机变量 的概率函数或分布律的概率函数或分布律. 分布律的定义分布律的定义 第3页/共75页 2021-8-65 分布函数的定义分布函数的定义 设设 是一个是一个 随机变量，称随机变量，称 ( )()F xPx

3、 )(x 为为 的分布函数的分布函数 , 记作记作 F (x) . xx o 如果将如果将 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 落在区间落在区间 内的内的 ,(x 概率概率. 第4页/共75页 2021-8-66 连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义 x F x t dt P x 连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续 R 有有 ,使得对任意使得对任意实数实数 , x 对于随机变量对于随机变量 , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 , ,x ()x 则称则称 为

4、连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 为为 的的概率密度概率密度 函数函数，简称为，简称为概率密度或密度函数概率密度或密度函数 . ( ) x 第5页/共75页 2021-8-67 n超几何分布超几何分布H(n,M,N) K M iK M i N C CC N iXP 第6页/共75页 2021-8-68 第7页/共75页 2021-8-69 n 二项分布二项分布B(n,p) knk ppkXP )1 ( k n C 第8页/共75页 2021-8-610 n 泊松分布泊松分布XP() ! k ekXP k 第9页/共75页 2021-8-611 n 正态分布正态分布XN(,2) dxexX

5、P x x 2 2 )( 2 1 2 1 第10页/共75页 2021-8-612 n 指数分布指数分布Xexp() 0 0 0 1 x xe xXP x 第11页/共75页 2021-8-613 n 均匀分布均匀分布XU(a,b) 功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值 第12页/共75页 2021-8-614 n 分布分布 ) 2 1 (,1)1(),1()( )( 0 0 0 )( )( 0 1 1 aaa dxexa x x e a x xf xa x aa 满足： 其中 密度函数： 第13页/共75页 2021-8-615 n 卡方卡方分布分布 0 0 0 ) 2

6、 (2 1 )( 2 1 2 2 2 x x ex k xf xk k 密度函数： 第14页/共75页 2021-8-616 n t t分布分布 2 1 2 )1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( )( k T k x k k k xf 密度函数： 第15页/共75页 2021-8-617 n F F分布分布 0 0 0 )( ) 2 () 2 ( ) 2 ( )( 2 1 222 x xqxpxqp qp qp xf qppqp F 密度函数： 第16页/共75页 2021-8-618 n 例例1.1某人向空中抛硬币某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为次，落下为正面的概率为0.5。这。

7、这100次中正面向上的次数记为次中正面向上的次数记为X： (1)试计算试计算x=45的概率和的概率和x45的概率；的概率； (2)绘制分布函数图象和分布列图象。绘制分布函数图象和分布列图象。 第17页/共75页 2021-8-619 p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r)；title(概率分布图概率分布图） 第18页/共75页 2021-8-620 n 例例1.2设设XN(2,0.25) (1) 求概率求概率P1X2.5； (2)绘制分布函数图象和分布密度图象绘制分布函数图象和分布密度图象; (3)画出区间画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。上的分布

8、密度曲线下方区域。 第19页/共75页 2021-8-621 00.511.522.533.54 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Probability Between Limits is 0.26209 Density Critical Value 第20页/共75页 2021-8-622 n 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 1.统计数据的平均值统计数据的平均值-Y=mean(X) 功能：当功能：当X为向量时，输出一个平均数；当为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为矩阵时，输出 为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有为行向量，对应

9、于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有 数的平均值，应用嵌套：数的平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或或m=mean(X(:) 与此类似的有：求和与此类似的有：求和(sum),最大最大(max),最小最小(min)等等 2.离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P) 功能：计算随机值向量功能：计算随机值向量X与对应概率向量与对应概率向量P的乘积之和的乘积之和 3.连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b) 功能：用积分计算期望功能：用积分计算期望 第21页/共75页 2021-8-623 n 例例1.4设随机变量设随机变量X的分

10、布列，求期望。的分布列，求期望。 X-1023 P1/81/43/81/4 第22页/共75页 2021-8-624 n 例例1.5设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为： 且且EX=3/5，求常数，求常数a,b的值。的值。 其他 10 0 )( 2 xbxa xf 第23页/共75页 2021-8-625 n 例例1.6设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为： 求随机变量求随机变量Y=|X|的期望。的期望。 其他 0 5 . 0 5 . 0 )( x e e xf x x dxxfxgEY)()( 第24页/共75页 2021-8-626 n 随机变量的方差随机变量的方差

11、 1.统计数据的方差统计数据的方差-D=var(X,flag) 功能：当功能：当X为向量时，输出一个标量；当为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为为矩阵时，输出为 行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数 的方差值，应用嵌套：的方差值，应用嵌套：var(var(X)或或var(X(:) flag=0时，计算：时，计算： X的样本方差的样本方差 flag=1时，计算：时，计算： X的简单方差的简单方差 2.统计数据的标准差统计数据的标准差-S=std(X,flag) 功能：功能：flag的解释同上的解释同上 3. 一般随机变量的方

12、差一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2 功能：用积分计算功能：用积分计算 n i i xx n S 1 22 )( 1 1 n i i xx n S 1 22 )( 1 第25页/共75页 2021-8-627 n 例例1.7设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为： 求随机变量求随机变量X的期望和方差。的期望和方差。 其他 2 | 0 2cos 2 )( xx xf 第26页/共75页 2021-8-628 n 常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差 1.二项分布二项分布-E,D=binostat(n,p) 说明说明:n,p可以是标量可以是标量,向量向量,矩阵矩阵,则则

13、E,D是对应的标量是对应的标量,向量向量,矩阵矩阵 2.超几何分布超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K) 3.泊松分布泊松分布-E,D=poissstat(lambda) 4.均匀分布均匀分布-E,D=unifstat(a,b) 5.指数分布指数分布-E,D=expstat(lambda) 6.正态分布正态分布-E,D=normstat(mu,sigma) 其他：其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等等等 第27页/共75页 2021-8-629 n 协方差与相关系数的计算协方差与相关系数的计算 1.随机变量的随机变量的协方差协方差-co

14、v(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY) 2.随机变量的随机变量的相关系数相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY) 3.统计数据的协方差统计数据的协方差 cov(X)-当当X为向量时为向量时,cov(X)=var(X);当当X为矩阵时为矩阵时,结果结果 为为X的协方差矩阵的协方差矩阵.对角线是对角线是X每列的方差每列的方差,Xij为为X的第的第i 列和第列和第j列的协方差值。列的协方差值。 cov(X,Y)-计算向量计算向量X和和Y的协方差值的协方差值 4.统计数据的相关系数统计数据的相关系数 corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与说明与用法与cov()相

15、同相同 第28页/共75页 2021-8-630 n 矩的计算矩的计算 1.随机变量的随机变量的k阶原点矩阶原点矩-E(Xk) 2.随机变量的随机变量的k阶中心矩阶中心矩-E(X-EX)k 3.统计数据的统计数据的k阶原点矩阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X) 4.统计数据的统计数据的k阶中心矩阶中心矩-Bk=moment(X,k) k n i ik xx n B 1 )( 1 k n i ik x n A 1 )( 1 第29页/共75页 2021-8-631 n 常用分布的参数估计常用分布的参数估计 1.正态分布的参数估计正态分布的参数估计 格式：格式：muhat,sigm

16、ahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha) 功能：数组功能：数组X服从正态分布服从正态分布,给定显著水平给定显著水平alpha,缺省时为缺省时为0.05, 前二项给出点估计，后二项给出区间估计。前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时为矩阵时,针针 对列进行计算。对列进行计算。 2.二项分布的参数估计二项分布的参数估计(n已知已知,p未知未知) 格式：格式：phat,pci=binofit(X,n,alpha) 3.泊松分布的参数估计泊松分布的参数估计 格式：格式：lbdhat,lbdci=poissfit(X, alpha) 4.均匀分布的参数估计均匀分布的

17、参数估计 格式：格式：ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha) 第30页/共75页 2021-8-632 5.指数分布的参数估计指数分布的参数估计 格式：格式：lbdhat, lbdci=expfit(X,alpha) 6.通用命令通用命令mle() 格式：格式：输出参数项输出参数项=mle(分布函数名分布函数名,X,alpha ,N) 说明：分布函数名有：说明：分布函数名有：bino(二项二项),geo(几何几何),hyge(超几何超几何) poiss(泊松泊松),uinf(均匀均匀),unid(离散均匀离散均匀),exp(指数指数) norm(正态正态),t(T分

18、布分布),f(F分布分布),beta(贝塔贝塔),gam(伽吗伽吗) N仅当二项分布时需要，其他没有（因为二项分布的参数估计仅当二项分布时需要，其他没有（因为二项分布的参数估计 需要需要n已知）。已知）。 第31页/共75页 2021-8-633 n 例例1.8设生成一组均值为设生成一组均值为15,方差为方差为2.52的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参数估计。的参数估计。 第32页/共75页 2021-8-634 n 例例1.9设从一大批产品中抽取设从一大批产品中抽取100个产品，经检验知有个产品，经检验知有60个一级品，求这

19、批产品的一级品率个一级品，求这批产品的一级品率(置信度置信度95%)。 第33页/共75页 2021-8-635 1.参数检验参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出 的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验. 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出 明 确的判断. 对总体X的分布或分布参数作某种假设，根据 抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检 验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假 设. 2.非参数检验非参数检验：如果观测的分布函数类型未知，所检验的假设 不是对某个参数作出明确的判断，此时必须要求构造出的 检验统计量的分布函数不依赖于观测值的分布函

20、数类型， 这种检验叫非参数检验. 如：要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验. 1.4 假设检验假设检验 第34页/共75页 2021-8-636 假设检验的一般步骤是假设检验的一般步骤是： 第35页/共75页 2021-8-637 （一）单个正态总体均值检验（一）单个正态总体均值检验 1.4.11.4.1参数检验参数检验 设取出一容量为 n 的样本，得到均值X和标准差 s，现要 对总体均值是否等于某给定值 0 进行检验.记 00 :H； 01 :H 称 H0为原原假假设设，H1为备备择择假假设设，两者择其一：接受 H0；拒绝 H0， 即接受 H1. 第36页/共75页 2021-8-638

21、 用 u检检验验，检验的拒绝域为 2 1 uzW 即 2 1 2 1 uzuzW或 用样本方差 2 s代替总体方差 2 ，这种检验叫 t检检验验. 1、总总体体方方差差 2 已已知知 2总总体体方方差差 2 未未知知 第37页/共75页 2021-8-639 （二）单个正态总体方差检验（二）单个正态总体方差检验 设 X1，X2，Xn是来自正态总体),( 2 N的样本，欲检验假设： 2 0 2 0 :H 2 0 2 1 :H（或 2 0 2 或 2 0 2 ） 这叫 2 检验检验. 第38页/共75页 2021-8-640 （三）两个正态总体均值检验（三）两个正态总体均值检验 构造统计量 2 2

22、 2 1 2 1 nn YX z .1、 2 1 与与 2 2 已知时已知时 2、 2 1 与与 2 2 未未知知但但相相等等时时 构造统计量 21 2121 2 22 2 11 )2( ) 1() 1( nn nnnn snsn YX t ， 第39页/共75页 2021-8-641 （四）两个正态总体方差检验（四）两个正态总体方差检验 设样本 X1，X2，Xn1与 Y1，Y2，Yn2分别来自正态总体),( 2 11 N与 ),( 2 22 N，检验假设： 2 2 2 10 :H 2 2 2 11 :H（或 2 2 2 1 或 2 2 2 1 ） 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 0

23、)( 1 )( 1 n i i n i i Y n X n F ， 2 2 2 1 s s F （设 2 2 2 1 ss ） 第40页/共75页 2021-8-642 n 单正态总体均值的假设检验单正态总体均值的假设检验 1).方差已知方差已知(u检验或检验或z检验检验) 格式：格式：H,P,ci,Zval=ztest(X,Mu,sigma,alpha,tail) 功能：对正态分布总体的采样功能：对正态分布总体的采样X进行进行Z检验，判断采样的均值检验，判断采样的均值 在已知的标准差在已知的标准差sigma下是否等于假设值下是否等于假设值Mu；给定显著水；给定显著水 平平alpha,缺省时为

24、缺省时为0.05；tail是假设的备选项是假设的备选项(即备择假设即备择假设 ) ，有三个值：，有三个值：tail=0是默认值，可省略是默认值，可省略,说明备选项为说明备选项为均值均值 不等于不等于 M； tail=1,说明备选项为说明备选项为均值大于均值大于 M； tail=-1, 说明备选项为说明备选项为均值小于均值小于 M。H=0说明接受原假设，说明接受原假设，H=1 拒绝原假设；拒绝原假设；P为假设成立的概率，为假设成立的概率，P值非常小时对假设置值非常小时对假设置 疑；疑；ci给出均值的置信；给出均值的置信；Zval给出统计量的值。给出统计量的值。 第41页/共75页 2021-8-

25、643 n 例例1.10某面粉厂的包装车间包装面粉，每袋面粉的重量服某面粉厂的包装车间包装面粉，每袋面粉的重量服 从正态分布，机器正常运转时每袋面粉重量的均值为从正态分布，机器正常运转时每袋面粉重量的均值为50kg ，标准差，标准差1。某日随机的抽取了。某日随机的抽取了9袋，重量分别为：袋，重量分别为： 49.7，50.6，51.8，52.4，49.8，51.1，52，51.5，51.2 机器运转是否正常？机器运转是否正常？ 程序：程序： clear;x=49.7,50.6,51.8,52.4,49.8,51.1,52,51.5,51.2; sigma=1;mu=50; h,p,ci,z=zt

26、est(x,mu,sigma) 结果：结果：h=1 %拒绝原假设即认为机器不正常拒绝原假设即认为机器不正常 p =7.6083e-004 %p=0.00076083很小，对假设置疑很小，对假设置疑 ci = 50.4689 51.7755 %均值偏高均值偏高 z =3.3667 第42页/共75页 2021-8-644 n 单正态总体均值的假设检验单正态总体均值的假设检验 2.方差未知方差未知(t检验检验) 格式：格式：H,P,ci,stats=ttest(X,Mu, alpha,tail) 功能：对正态分布总体的采样功能：对正态分布总体的采样X进行进行t检验，检验， 对对H,Mu,alpha

27、,tail,P,ci的解释同上；的解释同上；stats是个结构，包含三是个结构，包含三 个元素：个元素：tstat(统计值统计值)、df(自由度自由度)和和sd(样本标准差样本标准差)。 n 例例1.11某灯泡厂出厂的标准是寿命不少于某灯泡厂出厂的标准是寿命不少于2000小时，现随机的小时，现随机的 从该厂生产的一批灯泡中抽取了从该厂生产的一批灯泡中抽取了20只，寿命分别为：只，寿命分别为： 1558，1627，2101，1786，1921，1843，1655，1675 1935，1573，2023，1968，1606，1751，1511，1247 2076，1685，1905，1881 假设

28、灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到了出厂标准假设灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到了出厂标准 ？ (a=0.01) 第43页/共75页 2021-8-645 原假设原假设H0：mu2000 备择假设备择假设H1：mu2000 程序：程序：clear; x=1558,1627,2101,1786,1921,1843,1655,1675,1935,1573, 2023,1968,1606,1751,1511,1247,2076,1685,1905,1881; alpha=0.01;mu=2000; h,p,ci,stats=ttest(x,mu,alpha,-1) 结果：结果：h=1

29、%拒绝原假设即认为不符合出厂标准拒绝原假设即认为不符合出厂标准 p =5.9824e-005 %p很小，对假设置疑很小，对假设置疑 ci = 1.0e+003 * -Inf 1.8895 %均值偏低均值偏低 stats = tstat: - 4.8176 df: 19 sd: 216.8973 第44页/共75页 2021-8-646 n 双正态总体均值的假设检验双正态总体均值的假设检验 比较两个方差相等的正态总体的均值是否相等比较两个方差相等的正态总体的均值是否相等(T检验检验) 格式：格式：H,P,ci,stats=ttest2(X,Y, alpha,tail) 功能：对两个正态分布总体的

30、采样功能：对两个正态分布总体的采样X、Y进行进行T检验，对检验，对H, P,alpha的解释同上；的解释同上； tail是假设的备选项是假设的备选项(即备择假设即备择假设 )， 有三个值：有三个值：tail=0是默认值，可省略是默认值，可省略,说明备选项为说明备选项为均值不均值不 相等相等； tail=1,说明备选项为说明备选项为X的均值大于的均值大于Y的均值的均值； tail=-1,说明备选项为说明备选项为X的均值小于的均值小于Y的均值的均值。ci给出均值给出均值 差的置信区间；差的置信区间； stats是个结构，包含三个元素：是个结构，包含三个元素：tstat(统统 计值计值)、df(自由

31、度自由度)和和sd(标准差标准差Sw)。 2 ) 1() 1( 21 2 22 2 11 nn SnSn Sw 第45页/共75页 2021-8-647 原假设原假设H0：mu2mu1 备择假设备择假设H1：mu2F Columns 55.5471 5 11.1094 3.5254 0.0214 Error 56.7225 18 3.1512 Total 112.2696 23 stats = gnames: 6x1 char n: 4 4 4 4 4 4 source: anova1 means: 5.4500 5.4250 7.4500 7.9000 8.8250 9.3750 df: 1

32、8 s: 1.7752 %总体标准差的无偏估计总体标准差的无偏估计 第67页/共75页 2021-8-669 第68页/共75页 2021-8-670 n 1.22将四种工艺下生产的灯泡进行寿命测试，得到数据表：将四种工艺下生产的灯泡进行寿命测试，得到数据表： 工艺 试验 A1A2A3A4 11620158014601500 21670160015401550 31700164016201610 4175017201680 51800 试检验工艺对寿命有无显著影响。试检验工艺对寿命有无显著影响。(=0.05) 第69页/共75页 2021-8-671 程序：程序：clear;X=1620,1670,1700,1750,1800,1580,1600,1640,1720,1460,1540,1620,1500,1550,1610,1680; group=1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4; p,tab,stats=anova1(X,group,on) 结果：结果：p = 0.0331 %p很小，拒绝原假设，很小，拒绝原假设， 即工艺对寿命有影响即工艺对寿命有影响 tab = Source SS df MS F ProbF Groups 62820 3 20940 4.0608 0.0331 Error 61880 12 5.1567