投资学第四章

1、4-1 Chapter 4 4-2 多样化降低风险多样化降低风险 Risk Reduction with Diversification Number of Securities St. Deviation 系统风险系统风险 Market Risk 非系统风险非系统风险 Unique Risk 4-3 分散投资的作用分散投资的作用 Variance of a Naively Diversified Portfolio Variance Number of Assets 4-4 风险分散风险分散国际经验国际经验 4-5 4-6 4-7 4-8 分散投资降低风险分散投资降低风险 4-9 rp =

2、W1r1 + W2r2 W1 = Proportion of funds in Security 1 W2 = Proportion of funds in Security 2 r1 = Expected return on Security 1 r2 = Expected return on Security 2 1 n 1i iw Two-Security Portfolio: Return 4-10 p2 = w12 12 + w22 22 + 2W1W2 Cov(r1r2) 12 = Variance of Security 1 22 = Variance of Security 2

3、 Cov(r1r2) = Covariance of returns for Security 1 and Security 2 Two-Security Portfolio: Risk 4-11 协方差协方差Covariance DEFINITION: a measure of the relationship between two random variables possible values: Positive（正的）（正的）: variables move together zero: no relationship Negative（负的）（负的）: variables move

4、 in opposite directions 4-12 Covariance (cont.) lCovariance between two sets of returns is l协方差的一个缺陷：当不同资产组合的规模存协方差的一个缺陷：当不同资产组合的规模存 在差异时，无法根据协方差的大小比较两个组在差异时，无法根据协方差的大小比较两个组 合之间的风险。相关系数可以解决这个问题。合之间的风险。相关系数可以解决这个问题。 n 1i iii PEyyExx)Eyy)(Exx(E)Y,Xcov( 4-13 1,2 = Correlation coefficient of returns Cov

5、(r1r2) = 1,2 1 2 1 = Standard deviation of returns for Security 1 2 = Standard deviation of returns for Security 2 Covariance (cont.) 4-14 Range of values for 1,2 + 1.0 -1.0 If = 1.0, the securities would be perfectly positively correlated(完全正相关完全正相关) If = - 1.0, the securities would be perfectly ne

6、gatively correlated（完全负相（完全负相 关）关） Correlation Coefficients: Possible Values 4-15 例子 l例题：投资者投资于加勒比海的一家生产糖的公例题：投资者投资于加勒比海的一家生产糖的公 司司X，另外考虑夏威夷的一家生产糖的公司，另外考虑夏威夷的一家生产糖的公司Y。 其中其中X的收益情况如下：的收益情况如下： 4-16 例子 l计算计算X股票的预期收益率和方差股票的预期收益率和方差 l另外，另外，Y的收益情况如下：的收益情况如下： l计算计算Y股票的预期收益率和方差股票的预期收益率和方差 4-17 例子 l此时投资收益的协方

7、差为此时投资收益的协方差为 l负的协方差保证了负的协方差保证了Y股票对股票对X股票具有套期保股票具有套期保 值作用，因为值作用，因为Y股票收益与股票收益与X股票收益呈反方股票收益呈反方 向变动。向变动。 02405. 0%)6%35%)(5 .10%25(2 . 0 %)6%5%)(5 .10%10(3 . 0%)6%1%)(5 .10%25(5 . 0)r ,cov(r YX 4-18 例子 l此时投资收益的相关系数为此时投资收益的相关系数为 l较大的负相关系数表明两种股票有很强的反较大的负相关系数表明两种股票有很强的反 方向变动趋势。方向变动趋势。 86. 0 %73.14%8 .18 0

8、2405. 0 )r ,rcov( )Y,X( Yx YX 4-19 2p = W12 12+ W22 12 + 2W1W2 rp = W1r1 + W2r2 + W3r3 Cov(r1r2) + W32 32 Cov(r1r3) + 2W1W3 Cov(r2r3) + 2W2W3 Three-Security Portfolio 4-20 rp = Weighted average of the n securities p2 = (Consider all pairwise covariance measures) In General, For an n-Security Portfol

9、io: 4-21 i N 1i ip rEwrE n i n j1 jiji 1 p r ,CovrwwrVar ji r ,Covrww2rVarwrVar jijii N 1i 2 ip 4-22 ln (n2)种资产构成的投资组合的情况 为了简化说明，下面假定：为了简化说明，下面假定： 1. 2. 3. 组合的风险则由以下公式决定：组合的风险则由以下公式决定： 22 2222 ,* 1111 111 nnnN piji ji ijii xx Cov nnn 4-23 E(rp) = W1（r1） + W2E（r2） p2 = w12 12 + w22 22 + 2W1W2 Cov(r1r

10、2) p = w12 12 + w22 22 + 2W1W2 Cov(r1r2)1/2 Two-Security Portfolio 4-24 两种证券各种组合的风险收益两种证券各种组合的风险收益 $0 IBM, $1000 DE $200 IBM, $800 DE $400 IBM, $600 DE $600 IBM, $400 DE $800 IBM, $200 DE $1000 IBM, $0 DE 0.00% 0.10% 0.20% 0.30% 0.40% 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00% 5.00%5.50%6.00%6.50%7.00%7.50

11、%8.00%8.50%9.00% Std. Dev. Mean 4-25 Two-Security Portfolios with Different Correlations = 1 13% %8 E(r) St. Dev 12%20% = .3 = -1 = -1 4-26 lThe relationship depends on correlation coefficient. l-1.0 +1.0 lThe smaller the correlation, the greater the risk reduction potential. lIf = +1.0, no risk red

12、uction is possible. Portfolio Risk/Return Two Securities: Correlation Effects 4-27 1 12 22 - Cov(r1r2) W1 = + - 2Cov(r1r2) W2= (1 - W1) 2 2 E(r2) = .14= .20Sec 2 1, 2 = .2 E(r1) = .10= .15Sec 1 2 Minimum-Variance Combination 4-28 W1 = (.2)2 - (.2)(.15)(.2) (.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2) W1= .6733 W

13、2= (1 - .6733) = .3267 Minimum-Variance Combination: = .2 4-29 rp = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131 p = (.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 + 2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2) 1/2 p= .0171 1/2 = .1308 Minimum -Variance: Return and Risk with = .2 4-30 W1 = (.2)2 - (-.3)(.15)(.2) (.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(-.3

14、) W1= .6087 W2= (1 - .6087) = .3913 Minimum -Variance Combination: = -.3 4-31 rp = .6087(.10) + .3913(.14) = .1157 p = (.6087)2(.15)2 + (.3913)2(.2)2 + 2(.6087)(.3913)(.2)(.15)(-.3) 1/2 p= .0102 1/2 = .1009 Minimum -Variance: Return and Risk with = -.3 4-32 l股票E(rp)为20%，方差为15%，债券E(rB)为10%，方差为10%。假定

15、投资可细分，股票与债券的=-0.5。 l计算组合方差的公式为： -p2=w2DD2+ w2EE2+2wDwECOV(rD，rE)， l用(1-wD)来替代wE，有： -p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)COV(rD，rE) l 求出wD系数，令其等于0，有 wmin(D)= E2- Cov(rD，rE)/D2+E2-2 Cov(rD，rE) l 将前面的数据代入， l由于有：Cov(rD，rE)=DEDE， 4-33 l将2D=10，2E=15代入此式， 有Cov(rD，rE)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123 l将此值代入，有 wmin(D)=15-(

16、-6.123)/10+15-2(-6.123)=(21.123)/(37.246)=0.567 wmin(E)=1-0.679=0.433 l 这个最小化方差的资产组合的方差为 2min=(0.567210)+(0.433215)+(20.5670.433-6.123)=3.02 l该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。 l这一组合的期望收益为： E(rp)= 0.56710%+0.43320%=14.33% 4-34 lThe optimal combinations result in lowest level of risk for a given return. lThe opt

17、imal trade-off is described as the efficient frontier. lThese portfolios are dominant. Extending Concepts to All Securities 4-35 均值方差分析均值方差分析 l均值方差理论(Mean-Variance Theory) 1952年，哈里年，哈里马可维茨（马可维茨（Harry Markowitz）发表了一篇题为）发表了一篇题为 证券组合选择证券组合选择的论文，这篇的论文，这篇 论文在后来被认为是投资组合理论文在后来被认为是投资组合理 论的开端；论的开端； 关键结论：投资者应

18、该通过同时关键结论：投资者应该通过同时 购买多种证券而不是一种证券来购买多种证券而不是一种证券来 进行分散化投资，这样可以在不进行分散化投资，这样可以在不 降低预期收益的情况下，减小投降低预期收益的情况下，减小投 资组合的风险。资组合的风险。（右图为右图为19901990年诺贝尔年诺贝尔 奖获得者奖获得者Harry Markowitz ） 4-36 三种以上证券形成的可行集三种以上证券形成的可行集 可行集的两个重要性质可行集的两个重要性质 （1）只要）只要N 不小于不小于3，可行集对应，可行集对应 于均值于均值-标方标方 差平面上的区域为二维的。差平面上的区域为二维的。 （2）可行集的左边向左

19、凸。）可行集的左边向左凸。 可行集可行集 P r P 4-37 有效边界有效边界(efficient frontier) 同时满足下面两个条件的一组证券组合，被同时满足下面两个条件的一组证券组合，被 称为有效集或有效边界：称为有效集或有效边界： l在各种既定的风险水平条件下，提供最大在各种既定的风险水平条件下，提供最大 的预期收益率的预期收益率 l在各种预期收益率水平条件下，提供最小在各种预期收益率水平条件下，提供最小 风险。风险。 4-38 均值方差分析均值方差分析 l最优组合的确定最优组合的确定 可行集可行集(Feasible Set)：投资：投资 者利用金融市场上的资产所者利用金融市场上

20、的资产所 构成的所有可能投资组合的构成的所有可能投资组合的 风险收益状况都可以在可行风险收益状况都可以在可行 集中找到对应的点。集中找到对应的点。 有效组合有效组合(Efficient Portfolio）: 对每一风险水平，提供最大的对每一风险水平，提供最大的 预期收益率（图预期收益率（图a中的中的BCD部部 分）分） 对每一预期收益率水平提供最对每一预期收益率水平提供最 小的风险（图小的风险（图a中的中的ABC部分）部分） 4-39 均值方差分析均值方差分析 l最优组合的确定最优组合的确定 有效集（有效集（Efficient Set）： 所有有效组合对应的风所有有效组合对应的风 险险收益点

21、连接起来的收益点连接起来的 轨迹。（图轨迹。（图a中的中的BC部分）部分） 有效集是外凸的（如图有效集是外凸的（如图B）：）： 4-40 均值方差分析均值方差分析 l最优组合的确定最优组合的确定 在在MV理论中，投资者的最优投资组合由其理论中，投资者的最优投资组合由其 无差异曲线与有效边界的唯一的切点确定。无差异曲线与有效边界的唯一的切点确定。 4-41 The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets E(r) Efficient frontier Global minimum variance portfolio Minimum variance

22、frontier Individual assets St. Dev. 4-42 Portfolio Selection & Risk Aversion E(r) Efficient frontier of risky assets More risk-averse investor U U U Q P S St. Dev Less risk-averse investor 4-43 均值方差分析均值方差分析 lMV理论的缺陷理论的缺陷 这个模型假定所有的投资者都是风险规避的，这个模型假定所有的投资者都是风险规避的， 这与实际情况不相符；这与实际情况不相符； 该模型忽视了信息成本和投资者处理信

23、息的该模型忽视了信息成本和投资者处理信息的 能力；能力； 这一理论无法解释单个资产的均衡价格或收这一理论无法解释单个资产的均衡价格或收 益率最终是由什么因素决定的；益率最终是由什么因素决定的； 该理论模型只是一种规范性的研究，很难在该理论模型只是一种规范性的研究，很难在 实际中用真实数据检验。实际中用真实数据检验。 4-44 lThe optimal combination becomes linear. lA single combination of risky and riskless assets will dominate. Extending to Include Riskless

24、 Asset 4-45 风险资产组合与无风险资产形成的可行集、风险资产组合与无风险资产形成的可行集、 有效集有效集 P P r A C 5 f r 4-46 l 资产分配线B l E(rp) l 15% B 资产分配线A l A l 6.5% l 机会集合线（有效边界） l 0 l 4-47 l两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。 lA点代表了在股票与债券的=-0.5时具有最小方差组合A，该组合 债券比例为56.7%，股票比例为43.3%。它的E(r)为14.33%(风险溢 价为7.88%)， 为1.74%。 l由于TB利率为6.5%，酬报与波动性比率，即资本分配线的斜率 为:

25、SA=E(rA)-rf/A=(14.33-6.5)/1.74=4.5 lB点，=-0.5,债券股票各50%，E(r)=15%(风险溢价为8.5%)， =1.79%。斜率为： lSB=E(rB)-rf/B=(15-6.5)/1.79=4.75 l由于B的斜率大于A，B更优。相同方差更高收益。 l我们知道，两条线切点所对应的组合P最优。 lwD=E(rD)-rf E2-E(rE)-rfCov(rD,rE)/E(rD)- rf E2+E(rE)-rf D2-E(rD)-rf+E(rE)-rfCov(rD,rE) lwE=1-wD 4-48 l把上例中的数据代入，得到的解为 lwD=10-6.515-

26、20-6.5(-6.123)/10-6.515+20-6.510- 10-6.5+20-6.5(-6.123)= 46.7% lwE =1-0.46.7=53.3% l这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为 lE(rP)=(0.46710)+(0.53320)=15.33% l2min=(0.467210)+(0.533215)+(20.4670.533-6.123) =3.39% l这个最优资产组合的资本分配线的斜率为 lSP=E(rB)-rf/B=(15.33-6.5)/1.84=4.80 4-49 Alternative CALs M E(r) CAL (Global minimu

27、m variance) CAL (A) CAL (P) P A F PP&FA&FM A G P M 4-50 lE(rp) 资产分配线 l l 全部资产最优组合 l P l 最优风险资产组合 l C l l 6.5% l 机会集合线 l l 0 4-51 Efficient Frontier with Lending & Borrowing E(r) F rf A P Q B CAL St. Dev 4-52 l风险资产与无风险资产的比率为：风险资产与无风险资产的比率为：y y* *=E(rE(rp p)-r)-rf f/ A/ A2 2p p， l假定假定A=4A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为投资者投资于风险资产组合的投资比例为 l y=E(ry=E(rp p)-r)-rf f/0.01A/0.01A2 2p p= (15.33%-6.5%)/(4= (15.33%-6.