有限元原理与应用11-7板壳有限元法

1、1/43 有限元原理与应用 潘文 教授，工学博士，博士生导师 E-mail: 办公室、传真昆明理工大学建筑工程学院土木工程系 云南省工程抗震研究所 云南省抗震工程技术研究中心 2/43 课程基本情况 上课地点和时间： 公教345，周四69小节，19周 教学方式：课堂讲授，专题研讨 考核方式：三次大作业（20,30,50） 第1次：第6周提交 第2次：第10周提交 第3次：第15周提交 3/43 课程资源 教材 课件 网络 4/43 课堂教授内容 1.绪论 2.杆系结构有限元法 3.杆系的若干补充问题 4.平面问题有限元法 5.轴对称问题有限元法 6.等参数单元 7.

2、板壳有限元法 8.结构动力分析有限元法 9.非线性有限元法 A. 第一次大作业 B. 有限元软件简介 C. 有限元分析要点与技巧 D. 第二次大作业 E. 相关技术： 边界元、有限条、无限元 F. 相关领域： CAE、CAM G. 第三次大作业讨论 专题研讨内容 5/43 7. 板壳有限元法 7.1 板弯曲问题的分类 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式 7.4 十二自由度矩形元(元) 7.5 十六自由度矩形单元(元) 7.6 常矩三角元(Morley元) 7.7 九自由度三角元(Zienkiewicz三角元) 7.8 二十一自由度三角元(Argyris三角元)

3、7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元) 6/43 7. 板壳有限元法 7.1 板弯曲问题的分类 1 a t 在板的分析中，常取板的中面为xoy平面。平板结构按 其厚度t与短边a的比值大小而分为: 厚板（Thick plate）和薄板（Thin plate)两种。 当 时称为薄板 平板上所承受的荷载通常有两种: 1. 面内拉压荷载面内拉压荷载。 由面内拉压刚 度承担，属平面应力问题。 2. 垂直于板的法向荷载垂直于板的法向荷载，弯扭变形 为主，具有梁的受力特征，即常说 的弯曲问题。平板在垂直于板面的 荷载作用下产生挠度W。 7/43 7. 板

4、壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 0 z 0 zx 0 zy 1) 略去垂直于中面的法向应力。（ ），即以中面上沿Z方 向的挠度W代表板的挠度) 2) 变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直 线。（法向假定 ） 3) 板弯曲时，中面不产生应力。(中面中性层假定) 上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫Kirchhoff 假 定）。 7.2.1 基本假定 8/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 以上述假定为基础，板分析中常用挠度w作为基本未知量。 、几何方程（应变 挠度关系） 弹性曲面沿x, y 方向 的倾角 从中

5、面取出一微小矩形 ABCD，设其边长为dx, dy，变形后弯曲成曲面 ABCD 9/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 x w y dx x w w y w x dy y w w 设A点挠度w, 则沿x方向倾角(绕y轴) (B点挠度 ) 沿y方向倾角(绕x轴) (D点挠度 ) 10/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 x w zu y w zv 沿x, y 方向位移 作平行于x0z平面，设中面上点A到Ai的距离为z，变形后，A点 有挠度w，同时发生弯曲，曲面 沿x方向的倾角为 根据法线假定，则A点沿x方

6、 向的位移: (负号为方向与x相反) 同理取y0z平面得： x w 11/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 Z平面的应变分量和曲、扭率 由于基本假定， 故板内任意点的应变与平面问题相同: 0 xyzxz x v y u y v x u xy y x 代入将vu. yx w z y w z x w z xy y x 2 2 2 2 2 2 12/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 Z平面的应变分量和曲、扭率 2 2 x w 2 2 y w yx w 2 为曲面在X,Y方向的曲、扭率，记为： yx w y

7、 w x w xy y x 2 2 2 2 2 2 z 13/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 xyxy xyy yxx E E E 12 1 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 D yx wEz x w y wEz y w x wEz xy y x xDz 0 2 1 00 01 01 1 2 0 E D 、物理方程（应力挠度关系） 由于忽略z 对变形的影响, 因此z平面的应力应变关系 具有与平面问题相同的形式: 14/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 、内力方

8、程（内力挠度关系） 15/43 7. 板壳有限元法 7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程 7.2.2 基本方法 、内力方程（内力挠度关系） 0 3 2 2 2 2 2 0 3 2 2 2 2 0 2 12 2 12 D t yx w y w x w D t dzDzdzz M M M F t t t t xy y x 16/43 7. 板壳有限元法 7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式 为了保证有限元解能收敛到真实解，单元假定的位移场应满足 以下条件： (1) 在单元内 连续； (2) 包括足够的刚体位移模式。这种模式有三种：沿z方向的刚 体平移和x、y轴的两个刚体型转动。为了保证这一点，假定的 单元

9、位移场中应包含x、y的完全一次多项式： (3) 能够描述任何一种常曲率状态。为实现这一点，假定的单 元位移场w中还应包含x、y的三个二次项： 从(2)和(3)可知：w应至少包括x、y的完全二次多项式 (4) 协调条件 yx 321 2 65 2 4 yxyx 2 65 2 4321 yxyxyxw y w x w w ， 17/43 (4) 协调条件 四阶问题要求穿过单元边界时连续。但如果沿边界 的局部坐标系n-s考察，若穿过单元边界时w连续，则 一定连 续。故协调条件更恰当的提法应是：穿过单元边界时w(位移) 和(转角)连续。 7. 板壳有限元法 7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式 y w x

10、 w w ， 18/43 上述四个条件为有限元解收敛到真实解的充分条件，其中条件 (1)(3)为必要条件。不满足条件(4)的单元，只有能够通过分片 检验时才能保证收敛性。 为了同时保证位移和转角的协调性，一般采用Hermite型插值。 这样至少可以保证节点处的协调性。既便如此，实现协调性仍 然是一件困难的事。下面介绍几种典型的单元。以说明构造平 板单元的方法。 7. 板壳有限元法 7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式 19/43 7. 板壳有限元法 7.4 十二自由度矩形元(元) 3 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 65 2 4321 xyyxyxyyxx yxyxyxw 单

11、元：边与x、y轴平行的矩形。 取矩形的四个角点为节点。 取 为节点参数。 单元位移场取 )41()()( i y w x w w iii 、 20/43 7. 板壳有限元法 7.4 十二自由度矩形元(元) 收敛性分析 上述位移场为x、y的四次多项式， 完全到x、y的三次项，故收敛条件 (1)(3)可以满足。 下面分析协调性，以2-3边为例。 沿2-3边： x = 常数。位移w是y的三次多项式，可以完全被节 点2、3处的四个节点参数 所决定，故沿2-3 边位移w是协调的。沿2、3边转角 是y的三次函数，不能 仅由节点2、3处剩下的两个节点参数 所决定。故 沿2-3 不协调。对其它各边可得到类似的

12、结论。 3 )()( y w y w ww 、 x w n w n w 3 )()( x w x w 、 21/43 7. 板壳有限元法 7.5 十六自由度矩形单元（元） 实现协调条件的一个办法是引入 高阶导数做为节点参数 单元：边与x、y轴平行的矩形。 取矩形的四个角点为节点。 取 为节点参数。 单元位移场取 )41( )()()( 2 i yx w y w x w w iiii 、 33 16 32 15 23 14 3 13 22 12 3 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 65 2 4321 yxyxyxxy yxyxyxyyxx yxyxyxw 22/43 沿2-3边x=常

13、数，w是y的三次函数， 也是y的三次函数。沿2-3 边，w完全由 所决定； 完全由 所决定 ，故沿2-3边w和 都满足协调要求。对 其它边，可得到相同的结论。 7. 板壳有限元法 7.5 十六自由度矩形单元（元） 收敛性分析 上述位移场是x、y的六次多项式， 完全到x、y的三次项。对于x和y 每一个变量而言，次数不超过三， 这16项刚好构成x、y的双三次多项 式。显然，收敛条件所要求的 (1)(3)得到满足。 3 )()( y w y w ww 、 x w n w n w x w 、 )()( x w x w 、 )()( x w yx w y 23/43 7. 板壳有限元法 我们看到，适当引

14、入高阶导数为节点参数，可以解决协调性问 题，但在节点处不能保证高阶导数连续（例如板的材料、厚度 有突变）的情况下，这种方法遇到了困难。 此外，在强制边界条件的边界上与高阶导数有关的节点参数如 何处理也缺少一般性的方法。这些困难在构造三角元时也会出 现。 同矩形单元相比，三角形单元要灵活得多，但满足协调条件的 困难也要大些。对于板单元而言，一味追求协调未必得到多少 好处。 7.5 十六自由度矩形单元（元） 24/43 7. 板壳有限元法 7.6 常矩三角元(Morley元) 在节点1、2、3取位移wi (i=13)为节 点参数； 在节点4、5、6取转角 ）（6 , 5 , 4)( i n w i

15、 为节点参数。单元位移场取 2 65 2 4321 yxyxyxw 在单元内曲率和扭率为常数，故称为常矩三角元 25/43 7. 板壳有限元法 7.7 九自由度三角元（Zienkiewicz三角元） 在节点1、2、3取 位移wi (i=13)为节点参数； 单元位移场取 )31( )()( i y w x w w iii 、 3 9 22 8 3 7 2 65 2 4321 )(yxyyxx yxyxyxw yyxxyyxx yyxx NNwNNNwN NNwNw 3322 11 26/43 7. 板壳有限元法 7.8 二十一自由度三角元(Argyris三角元) 在节点1、2、3取 为节点参数；

16、 在节点4、5、6取转角 ）（6 , 5 , 4)( i n w i 为节点参数。单元位移场取 5 21 4 20 32 19 23 18 4 17 5 16 4 15 3 14 22 13 3 12 4 11 3 10 2 9 2 8 3 7 2 65 2 4321 xxyyxyxyxxy xyyxyxxyxyyx xyxyxyxw )31( 2 22 2 2 i y w yx w x w y w x w w iiii i i 、 27/43 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 在节点1、2、3取 为节点参数； 在节点4、5、6取转角 ）（6 , 5 , 4)( i

17、n w i 为节点参数。 )31( i y w x w w i i i 、 基本单元(LCCT-12) 单元共有12个自由度（外自由度），习惯上称为LCCT12。 28/43 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 基本单元(LCCT-12) 为了构造位移场，在单元内再取一个内节点0，线段0-1、0-2、0- 3将原三角形分成三个子三角形。内点0的节点参数取为 29/43 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 基本单元(LCCT-12) 每个三角形共有10个节点参数，对于三角形它们是： 0 0 0 4 y w x w w n w y w x w w y

18、 w x w w、 30/43 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 基本单元(LCCT-12) 在每个子三角形内可以假设位移w是x、y的完全三次多项式。可 以直接用x、y描述，也可以用每个子三角形的面积坐标描述。 这样的位移场可以描述每个子三角形的任何一种刚体位移和常 曲率状态,因而整个单元的刚体位移和常曲率条件也可以得到 满足。 31/43 设点7、8、9分别为1-0、2-0、3-0的中点。沿1-0边 是s的二 次函数，子三角形与在1和0两点处转角已经协调，若再 强制在点7处 协调，则沿1-0将完全满足协调条件。对 于2-0和3-0边可做类似的处理，可得到三个约束方程

19、 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 基本单元(LCCT-12) 约束条件和内自由度凝聚 n w 0 0 0 9 )3( 9 )2( 8 )2( 8 )1( 7 )3( 7 )1( n w n w n w n w n w n w n w n w 32/43 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 基本单元(LCCT-12) 我们可以对LCCT12单元的位移场的特行征归纳如下： （i）在每个子三角形内w是x、y的三次多项式； （ii）单元之间以及子单元之间满足w和的协调条件； （iii）可以描述任何一种刚体位移和常曲率状态。从而保证了 有限元解的收敛性

20、。 n w 33/43 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 可以人为地限定沿LCCT12单元的一边（例如1-3边） 按线性 变化。要做到这一点只需在LCCT12的单元位移场中将 以 代替即可实现。这时的单元仅包括11个节 点参数，称为LCCT11单元。 n w 6 n w 31 2 1 n w n w 34/43 7. 板壳有限元法 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) Q-19 (4个LCCT11) 4个LCCT9 35/43 1. 基本假设 将中厚板板视为三维弹性体，但附加以下假定：变形前垂直于中面 的直线（即中面法线），变形后仍然保持为直线，长度不变，但不 一定

21、与变形后的中面垂直。因而，在假设中考虑了横向剪切变形。 7. 板壳有限元法 7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元) 36/43 1. 基本假设 设中面上 点的横向位移为w，过这一点的中面法线绕x、y轴的转 角为 则中面外一点 处的位移为 7. 板壳有限元法 7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元) 、),(yx x ),(yx y ),( zyx M ),(),( ),(),( ),(),( 1 1 yxwzyxw yxzzyxv yxzzyxu x y 37/43 1. 基本假设 7. 板壳有限元法 7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元) x w x

22、w z u y w y w z v xy z x v y u y z x v x z x u yxz xyz x y xy x y y x z )( 0 1 1 1 )( )1 (2 )( )1 (2 )( )1 (2 )( 1 )( 1 0 1 1 2 1 2 x wE y wE xy z E xy z E yx z E yxz xyz x y yxxy y x y x y x z 应变 应力 38/43 1. 基本假设 7. 板壳有限元法 7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元) 弯矩 D xy y x Et M M M M x y x y xy y x 2 )1 ( 00 01 01 )1 (12 2 3 可见，只要知道了中面上各点的 即可定出板的曲 率、弯矩、横向剪切变形和剪切力。而这三个基本参数是相互而这三个基本参数是相互 独立的。独立的。在曲率和应变表达式中只出现它们的一阶导数，与二 阶问题相同，因而可以利用等参数单元。 yx w、 39/43 2. 母体单元和形函数 7. 板壳有限元法 7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元) 母体单元：边长为2的正方形。 节点个数：四九或四十六。 形函数的构造方法和具体表达式与第6章相同。 以下的讨论中以八节点单元为例，形函数为。 ),(),(