灰色关联分析

1、 设设 )(,)2(,)1( 1111 dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX nkx x kx dkx, 2 , 1, 0)1(, )1( )( )( 1 为为则称则称 1 D,初值化算子初值化算子的的为为称称XXD1.初值象初值象 设设 )(,)2(,)1( 2222 dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX , )( )( 2 X kx dkx 为为则称则称 1 D,均值化算子均值化算子的的为为称称XXD1.均值象均值象 n k kx n X 1 )( 1 nk, 2 , 1 设设 )(,)2(,)1( 3333 dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxx

2、xX , )(min)(max )(min)( )( 3 kxkx kxkx dkx kk k 定义定义3 为为则称则称 3 D,区间值化算子区间值化算子的的为为称称XXD3.区间值象区间值象 nk, 2 , 1 命题命题1 、D1初值化算子初值化算子 2 D均值化算子均值化算子 3 D算子算子皆可使序列无量纲化皆可使序列无量纲化. 和区间值化和区间值化 设设 )(,)2(,)1( 4444 dnxdxdxXD ),(,),2(),1(nxxxX ),(1)( 4 kxdkx 定义定义4 为为则称则称 4 D,逆化算子逆化算子的的为为称称XXD4.逆化象逆化象 nk, 2 , 1 1 , 0)

3、( kx 设设 )(,)2(,)1( 5555 dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX , )( 1 )( 5 kx dkx 定义定义5 为为则称则称 5 D,倒数化算子倒数化算子的的为为称称XXD5.倒数化象倒数化象 nk, 2 , 1 , 0)( kx 命题命题2 , 0呈负相关关系 呈负相关关系和系统主行为和系统主行为若系统因素若系统因素XX i 4 DXX ii的逆化算子作用象 的逆化算子作用象则则 和倒数化算子作用和倒数化算子作用 . 0具 具有有正正相相关关关关系系与与X 5 DX i 象象 命题命题1, 0为增长序列 为增长序列设系统特征行为序列设系统特征行为序列X

4、 ,为相关因素行为序列为相关因素行为序列 i X则有则有: ,)1(为增长序列时为增长序列时当当 i X, 0为正相关关系 为正相关关系与与XX i ,)2(为衰减序列时为衰减序列时当当 i X. 0为负相关关系 为负相关关系与与XX i 转化为正相关关系转化为正相关关系. 负相关关系可通过负相关关系可通过逆化算子逆化算子或或倒数化算子倒数化算子 ),(,),2(),1(nxxxX 设设 则称则称 , 3 , 2),1()()1(nkkxkx ;, 1上的斜率上的斜率kk 在在为为X , 2 , 1, )()( )2(nkks ks kxsx ;,上的斜率上的斜率在在sk X为为 1 )1()

5、( )3( n xnx .的平均斜率的平均斜率为为X minxxxX iiii , 2 , 1),(,),2(),1( )(,),2(),1(nxxxX ),(),( 0 kxkx i 给定实数给定实数若若 n k ii kxkx n XX 1 00 )(),( 1 ),( 满足满足: (1) 规范性规范性, 1),(0 0 i XX ii XXXX 00 1),( (2) 整体性整体性mjijiXXXX ijji , 1 , 0,),(),( (3) 偶对称性偶对称性 jiijji XXXXXX,),(),(只有两个序列只有两个序列 (4) 接近性接近性 ,)()( 0 越小越小kxkx i

6、 越大越大)(),( 0 kxkx i ),(,),2(),1(nxxxX iiii 设设 mi, 1 , 0 ),1 , 0( 对于对于令令 )()(maxmax)()( )()(maxmax)()(minmin 00 00 kxkxkxkx kxkxkxkx i ki i i ki i ki )(),( 0 kxkx i )(, )( 1 ),( 1 00 kxkx n XX i n k i ,),( 0 满满足足灰灰关关联联四四公公理理则则 i XX .称称为为分分辨辨系系数数 ,),( 00 的的灰灰色色关关联联度度与与称称为为 ii XXXX :),( 0 的的计计算算步步骤骤 i

7、XX 第一步第一步: 求各序列的初值象求各序列的初值象(均值象均值象): )(,),2(),1( )1( nxxx x X X iii i i i mi, 1 , 0 第二步第二步: 求差序列求差序列. 记记 , )()()( 0 kxkxk ii )(,),2(),1(n iiii mi, 1 第三步第三步:求两极最大差和两极最小差求两极最大差和两极最小差.记记 ),(maxmaxkM i ki )(minminkm i ki 第四步第四步: 求关联系数求关联系数 , )( )( 0 Mk Mm k i i )1 , 0( mi, 1 nk, 2 , 1 第五步第五步:计算关联度计算关联度.

8、 , )( 1 1 00 n k ii k n mi, 1 例例1商商业业各各部部门门的的行行为为工工业业、农农业业、运运输输业业、 )4(),3(),2(),1( 11111 xxxxX :数据如下数据如下 工工业业： )9 .41, 3 .42, 4 .43, 8 .45( )4(),3(),2(),1( 22222 xxxxX 农农业业： )9 .44, 9 .43, 6 .41, 1 .39( )4(),3(),2(),1( 33333 xxxxX 运运输输业业：)5 . 3 , 5 . 3 , 3 . 3 , 4 . 3( )4(),3(),2(),1( 11111 xxxxX 商商

9、业业：)9 .41, 3 .42, 4 .43, 8 .45( 1先以先以 为系统特征序列为系统特征序列求关联度求关联度: 1 X 第一步第一步：求初值像：求初值像 ),4(),3(),2(),1()1(/ iiiiiii xxxxxXX 由由, 4 , 3 , 2 , 1 i )9138. 0 ,9235. 0 ,9475. 0 , 1( 1 X )1483. 1 ,1227. 1 ,063. 1 , 1( 2 X )0294. 1 ,0294. 1 ,97. 0 , 1( 3 X )7 . 0 ,805. 0 ,0148. 1 , 1( 4 X 第二步第二步：求差序列：求差序列 , 4 ,

10、 3 , 2; )()()( 1 ikxkxk ii 由由得得: )2335. 0 ,1992. 0 ,1155. 0 , 0( 2 )1146. 0 ,1059. 0 ,0225. 0 , 0( 3 )2148. 0 ,1185. 0 ,0674. 0 , 0( 4 得得 第三步第三步：求两极差：求两极差 )(maxmaxkM i ki 2335. 0 )(minminkm i ki 0 第四步第四步：计算关联系数：计算关联系数 有有取取, 5 . 0 , 11675. 0)( 11675. 0 )( 1 k k i i 从而从而 3333. 0)4(,3695. 0)3(,503. 0)2

11、(, 1)1( 12121212 504. 0)4(,5244. 0)3(,8384. 0)2(, 1)1( 13131313 352. 0)4(,4963. 0)3(,634. 0)2(, 1)1( 14141414 4 , 3 , 2 i 4 , 3 , 2 , 1 k 第五步第五步：求灰色关联度：求灰色关联度 551. 0)( 4 1 4 1 1212 k k 717. 0)( 4 1 4 1 1313 k k 621. 0)( 4 1 4 1 1414 k k 2对于对于 为系统特征序列，为系统特征序列， 2 X由由 , 4 , 3 , 1, )()()( 2 ikxkxk ii 得得

12、)2335. 0 ,1992. 0 ,1155. 0 , 0( 1 )1189. 0 ,0933. 0 ,093. 0 , 0( 3 )4483. 0 ,3177. 0 ,0481. 0 , 0( 4 于是于是 )(maxmaxkM i ki 4483. 0 )(minminkm i ki 0 有有取取, 5 . 0 22415. 0)( 22415. 0 )( 2 k k i i 从而从而 3333. 0)4(,3695. 0)3(,503. 0)2(, 1)1( 21212121 504. 0)4(,5244. 0)3(,8384. 0)2(, 1)1( 23232323 352. 0)4

13、(,4963. 0)3(,634. 0)2(, 1)1( 24242424 于是于是 670. 0)( 4 1 4 1 2121 k k 766. 0)( 4 1 4 1 2323 k k 643. 0)( 4 1 4 1 2424 k k 关联公理中的关联公理中的整体性整体性。 联系联系1中结果中结果 ，551. 0 12 显然显然 这正是灰色这正是灰色 2112 3广广义义灰灰色色关关联联度度 一、灰色绝对关联度一、灰色绝对关联度 命题命题4.1 设行为序列设行为序列 )(,),2(),1(nxxxX iiii 记折线记折线 )1()(,),1()2(),1()1( iiiiii xnxx

14、xxx 令令为为),1( ii xX n iii dtxXs 1 )1( 则则1当当 为增长序列时，为增长序列时， i X; 0 i s 2当当 为衰减序列时，为衰减序列时， i X; 0 i s 3当当 为震荡序列时，为震荡序列时， i X.符号不定符号不定 i s 定义定义4.1设行为序列设行为序列),(,),2(),1(nxxxX iiii D为序列算子，且为序列算子，且 )(,)2(,)1(dnxdxdxDX iiii 其中，其中，nkxkxdkx iii , 2 , 1),1()()( ，则称，则称D 为始点零化算子，为始点零化算子， ii XDX为为的始点零化像，的始点零化像，记为

15、记为 )(,),2(),1( 0000 nxxxX iiii 命题命题4.2设行为序列设行为序列 )(,),2(),1(nxxxX iiii )(,),2(),1(nxxxX jjjj 的始点零化像分别为的始点零化像分别为 )(,),2(),1( 0000 nxxxX iiii )(,),2(),1( 0000 nxxxX jjjj 令令 n jiji dtXXss 1 00 )( 则则; 0 ji ss 3若若, 00 相交相交与与 ji XX.符号不定符号不定 ji ss 1当当 恒在恒在 上方，上方， 0 i X 0 j X ; 0 ji ss 2当当 恒在恒在 下方，下方， 0 i X

16、 0 j X (4.1) 定义定义4.2称序列称序列 各个观测数据间时距之和为各个观测数据间时距之和为 i X i X的长度的长度. 定义定义4.3 长长度度相相同同，与与设设序序列列 i XX 0 1 . 4, 0 如命题如命题 i ss 所示，所示，则称则称 ii i i ssss ss 00 0 0 1 1 为为 与与 的灰色绝对关联度，的灰色绝对关联度， i X 0 X简称简称绝对关联度绝对关联度。 注：注： 对于长度不同的序列，对于长度不同的序列， 可采取删去较长序列可采取删去较长序列 过剩数据过剩数据或用灰色系统或用灰色系统GM(1,1)进行预测，进行预测，补齐补齐 较短序列不足数

17、据等措施，较短序列不足数据等措施，化成长度相同的序列。化成长度相同的序列。 但这样一般会影响灰色绝对关联度的值。但这样一般会影响灰色绝对关联度的值。 定理定理4.1灰色绝对关联度灰色绝对关联度 ii i i ssss ss 00 0 0 1 1 满足灰色关联公理中规范性、满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，偶对对称性与接近性， 但不满足整体性。但不满足整体性。 命题命题4.3的的长长度度相相同同，与与设设序序列列 i XX 0 令令 bXXaXX ii , 00 为常数。为常数。其中其中ba,，的灰色绝对关联度为的灰色绝对关联度为与与若若 ii XX 00 ii00 则则 定义定义4

18、.4若序列若序列 各对相邻观测数据间时距相同，各对相邻观测数据间时距相同，X 则称则称 为为等时距序列。等时距序列。X 引理引理4.1设设 为等时距序列，为等时距序列，X，1 l若其时距若其时距 则时则时 间轴变换间轴变换 TTt: ltt/ 可将可将 化为化为1-时距序列。时距序列。X 引理引理4.2的的长长度度相相同同，与与设设序序列列 i XX 0 且皆为且皆为1-时距时距 序列，而序列，而 )(,),2(),1( 0 0 0 0 0 0 0 0 nxxxX )(,),2(),1( 0000 nxxxX iiii 的的始始点点零零化化像像，与与分分别别为为序序列列 i XX 0 则则 )

19、( 2 1 )( 0 0 2 0 00 nxkxs n k )( 2 1 )( 0 1 2 0 nxkxs i n k ii i ss 0 )()( 2 1 )()( 0 0 0 1 2 0 0 0 nxnxkxkx i n k i 定理定理4.2的的长长度度相相同同，与与设设序序列列 i XX 0 当它们时距不当它们时距不 同或至少有一个非等时距序列时，同或至少有一个非等时距序列时， 若通过均值生成若通过均值生成 填补相应空穴使之化成时距相同的等时距序列，填补相应空穴使之化成时距相同的等时距序列， 则则 此时灰色绝对关联度此时灰色绝对关联度 不变。不变。 i0 注：注： 对于序列中两个行为数

20、据之间有多个空穴的情形，对于序列中两个行为数据之间有多个空穴的情形， 可采取分层逐次进行可采取分层逐次进行均值生成均值生成依次填补空穴，依次填补空穴，亦可亦可 通过作图，通过作图， 将空穴左邻第一个数据与右邻第一个数据将空穴左邻第一个数据与右邻第一个数据 连成直线，连成直线，按照时序在直线上依次填补空穴。按照时序在直线上依次填补空穴。同理同理 可证，可证，这样不会改变灰色绝对关联度的值。这样不会改变灰色绝对关联度的值。 例例1设序列设序列 )7(),5(),4(),3(),2(),1( 0000000 xxxxxxX )98,70,46()7(),3(),1( 1111 xxxX )16,14

21、,14,15, 9 ,10( . 01 试求其绝对关联度试求其绝对关联度 解：解：时时距距相相同同的的序序列列。化化为为与与将将 01 XX1令令 )7()3( 2 1 )5( 11 xxx1 84)9870( 2 1 )3()1( 2 1 )2( 11 xxx1 58)7046( 2 1 )5()3( 2 1 )4( 11 xxx1 77)8470( 2 1 于是有于是有 )7(),5(),4(),3(),2(),1( 1111111 xxxxxxX )98,84,77,70,58,46( 2化化为为等等时时距距序序列列。将将 10,X X令令 15)7()5( 2 1 )6( 000 xx

22、x 91)7()5( 2 1 )6( 111 xxx 于是有于是有 )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1( 00000000 xxxxxxxX )16,15,14,14,15, 9 ,10( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1( 11111111 xxxxxxxX )98,91,84,77,70,58,46( 已皆为已皆为1-时距序列。时距序列。 3求始点零化像，得求始点零化像，得 )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xxxxxxxX )6 , 5 , 4 , 4 , 5 ,

23、1, 0( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 xxxxxxxX )52,45,38,31,24,12, 0( 4 0110 ,ssss 和和求求 )7( 2 1 )( 0 0 6 2 0 00 xkxs k 20 )7( 2 1 )( 0 1 6 2 0 11 xkxs k 176 )7()7( 2 1 )()( 0 0 0 1 6 2 0 0 0 1 xxkxkx k 01 ss 156 5计算灰色绝对关联度计算灰色绝对关联度 1010 10 01 1 1 ssss ss 353 197 5581. 0 定

24、理定理4.3 灰色绝对关联度灰色绝对关联度 具有下列性质：具有下列性质： i0 1; 10 0 i 2，XX ii 的的几几何何形形状状有有关关和和只只与与 00 而与其空间而与其空间 相对位置无关。相对位置无关。或者说，或者说，平移不改变绝对关联度的值；平移不改变绝对关联度的值； 3 任何两个序列都不是绝对无关的，任何两个序列都不是绝对无关的， 不为零；不为零； 即即 恒恒 i0 4几几何何上上相相似似程程度度越越大大，与与 0 XX i 越越大大； i0 5平平行行，与与当当 0 XX i 摆摆动动，围围绕绕或或 0 0 0 XX i 在在且且 0 i X ，之之下下部部分分的的面面积积相

25、相等等时时在在 0 0 0 XX i ；1 0 i 之上部分的面积与之上部分的面积与 0 0 X 定理定理4.3 灰色绝对关联度灰色绝对关联度 具有下列性质：具有下列性质： i0 6 7长长度度变变化化， i XX 0 8, 1 00 9 中中任任一一观观测测数数据据变变化化时时或或当当 0 XX i 亦亦变变； i0 将随之变化将随之变化 i0 ; 1 ii . 00ii 定义定义4.5长长度度相相同同，与与设设序序列列 i XX 0 且初值皆不且初值皆不 等于零等于零, 00 的的初初值值像像分分别别为为 ii XXXX i X 与 与则称则称 0 X 的的灰灰色色绝绝对对关关联联度度为为

26、, 0 的的灰灰色色相相对对关关联联度度与与 i XX简简 称为称为相对关联度相对关联度,. 0i r记记为为 命题命题4.4等等于于为为长长度度相相同同且且初初值值皆皆不不与与设设 i XX 0 ,零零的的序序列列,0, 0 为常数为常数其中其中若若 ccXX i . 1 0 i r则则 命题命题4.5等等于于为为长长度度相相同同且且初初值值皆皆不不与与设设 i XX 0 ,零零的的序序列列则其相对关联度则其相对关联度 i r 0i0 与绝对关联度与绝对关联度没没 有必然联系有必然联系,较大时，较大时，当当 i0 可能很小；可能很小； i r 0 很小时，很小时， i0 . 0 也可能很大也

27、可能很大 i r 例例2设序列设序列 )7(),5(),4(),3(),2(),1( 0000000 xxxxxxX )98,70,46()7(),3(),1( 1111 xxxX )16,14,14,15, 9 ,10( 试求二者的相对关联度。试求二者的相对关联度。 解：解： 1 由由例例1知，知，的的等等时时距距序序列列为为与与 10 XX )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1( 00000000 xxxxxxxX )16,15,14,14,15, 9 ,10( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1( 11111111 xxxxxxxX )98,91,84,

28、77,70,58,46( 2初初值值像像与与求求 10 XX )6 . 1 , 5 . 1 , 4 . 1 , 4 . 1 , 5 . 1 , 9 . 0 , 1( 0 X )13. 2 ,98. 1 ,83. 1 ,67. 1 ,52. 1 ,26. 1 , 1( 1 X 3的始点零化像的始点零化像求求 10,X X )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xxxxxxxX )6 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 , 4 . 0 , 5 . 0 , 1 . 0, 0( )7(),6(),5(),4(),3(

29、),2(),1( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 xxxxxxxX )13. 1 ,98. 0 ,83. 0 ,67. 0 ,52. 0 ,26. 0 , 0( 4 0110 ,ssss 和和求求 )7( 2 1 )( 0 0 6 2 0 00 xkxs k 6 . 0 2 1 5 . 04 . 04 . 05 . 0)1 . 0( 2 )7()7( 2 1 )()( 0 0 0 1 6 2 0 0 0 1 xxkxkx k 01 ss 925. 1 )7( 2 1 )( 0 1 6 2 0 11 xkxs k 828. 3 5计算灰色相对关联度计算灰色相对关联度 1010 10 01 1 1 ssss ss r 75. 8 825. 6 78. 0 命题命题4.6等等于于为为长长度度相相同同且且初初值值皆皆不不与与设设 i XX 0 ,零零的的序序列列为为非非零零常常数数，ba,的相对关联度的相对关联度与与 i bXaX 0 , 0i r 为为. 00ii rr 则则或者说，或者说，数乘不改变相对关联度数乘不改变相对关联度。 定理定理4.5 1; 10 0 i r 2 灰色相对关联度灰色相对关联度 具有下列性质：具有下列性质： i r 0 率率的相对于始点的变化速的相对于始点的变化速和和只与只与 ii XXr 00 有关，有关，而