第1章1-07分段插值

1、2 1 1 )( x xf 10 10 0 01110 01110 ( )( ) ( ) ()()()() ( ) ()()()() ii i ii i iiiiii Lxf x l x xxxxxxxx l x xxxxxxxx 解： 画出的图形如图所示。 1.7 分段插值法 1.7.1 高次插值的龙格(Runge)现象 给定 (x-5,5)。取等距节点xi=- 5+i(i=0,1,10), 试建立插值多项式L10(x), 并作图形, 观察L10(x) 对f(x)的逼近效果。 龙格龙格(Runge(Runge) )现象现象 随着节点的加密随着节点的加密, ,采用高次插值采用高次插值, , 虽

2、然插值函数虽然插值函数 会在更多的点上与所逼近的函数取相同的值会在更多的点上与所逼近的函数取相同的值, ,但从整但从整 体上看体上看, ,并不一定能改善逼近的效果。并不一定能改善逼近的效果。 当次数增大时当次数增大时, ,插值函数在两端会发生激烈的震插值函数在两端会发生激烈的震 荡荡-龙格龙格(Runge(Runge) )现象。现象。 在大范围内使用高次插值，逼近的效果往往不在大范围内使用高次插值，逼近的效果往往不 理想。理想。 1.7.2 分段插值的概念 为了避免为了避免RungeRunge现象的发生现象的发生, , 很自然地会想到把很自然地会想到把 区间区间-5, 5-5, 5等分为等分为

3、1010个小区间个小区间, , 在每一个小区间在每一个小区间 内应用内应用低次插值低次插值。但由于每个小区间只有两个端点。但由于每个小区间只有两个端点 （插值节点）（插值节点）, , 按照已知的方法按照已知的方法, , 得到的将是一个得到的将是一个 分段线性插值函数分段线性插值函数。 用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种 “化整为零化整为零”的处理方法称作的处理方法称作分段插值法分段插值法。 如果插值的范围比较小（在某个局部），则运如果插值的范围比较小（在某个局部），则运 用低次插值往往就能奏效。用低次插值往往就能奏效。 分段插值的概念 将被插值函数逐段

4、多项式化。分两步： 1）将所考察的区间a,b作一分划分划： 并在每一个子段xi,xi+1上构造插值多项式； 2) 将每个子段上的插值多项式装配（拼接）装配（拼接）在一起， 作为整个区间上的插值函数。得到一个分段多项式分段多项式。 bxxxa n .: 10 1.7.3 分段线性插值分段线性插值 已知：已知：,max, 0,10,)( 1i i iiiiii hhxxhxnixfx 互异，），（ 且且。bxxxa n 10 故有分段线性插值函数故有分段线性插值函数： niyxfxS iii ,.,1 , 0,)()( 1 在每个子段在每个子段xi,xi+1上上S1(x)都是一次式，且满足插值条件

5、：都是一次式，且满足插值条件： )()()()( 10 10 n n xfxfxfxf xxxx 或函数表或函数表： 求作具有分划求作具有分划 的分段一次式的分段一次式S1(x), 使成立使成立 1111 )(,)( iiii yxSyxS 11 11 1 1 ,)( iii ii i i ii i xxxy xx xx y xx xx xS 分段线性插值分段线性插值 已知：已知：,max, 0,10,)( 1i i iiiiii hhxxhxnixfx 互异，），（ 且且。bxxxa n 10 故有分段线性插值函数故有分段线性插值函数： niyxfxS iii ,.,1 , 0,)()( 1

6、 11 11 1 1 ,)( iii ii i i ii i xxxy xx xx y xx xx xS 求作具有分划求作具有分划 的分段一次式的分段一次式S1(x), 使成立使成立 xxxx y h xx y h xx xS i i i i i i )(,1)( )()()( 10 1101 或用基函数表示： 分段线性插值余项分段线性插值余项 已知：已知：,max, 0,10,)( 1i i iiiiii hhxxhxnixfx 互异，），（ 且且。bxxxa n 10 故在子段故在子段xi,xi+1上有插值余项上有插值余项： niyxfxS iii ,.,1 , 0,)()( 1 )( m

7、ax 8 )()( 1 2 1 xf h xSxf ii xxx i 求作具有分划求作具有分划 的分段一次式的分段一次式S1(x), 使成立使成立 故在整个区间故在整个区间a,b上有插值余项上有插值余项： i i bxa hh xf h xSxf max )(max 8 )()( 2 1 几何意义：几何意义：相邻两节点相邻两节点间的函数为一次线性函数间的函数为一次线性函数, 图象为线段。图象为线段。 结论：结论：设设 ，由，由Taylor 展展)(xf,baC 注：注：由图象可知，由图象可知， 在节在节 点处的光滑性较差，为了提高点处的光滑性较差，为了提高 光滑性，讨论光滑性，讨论分段三次埃尔

8、米分段三次埃尔米 特插值。特插值。 )( 1 xS 开式开式有有， )()(lim 1 0 baxxfxS i h ， 即即 一致收敛于一致收敛于 。)( 1 xS)(xf 在整个区间在整个区间 a，b 上为折线上为折线。 0 xa bx n 1 x 2 x1 n x 0 xa bx n 1 x 2 x1 n x 注：注：由图象可知，由图象可知， 在节在节 点处的光滑性较差，为了提高点处的光滑性较差，为了提高 光滑性，讨论光滑性，讨论分段三次埃尔米分段三次埃尔米 特插值。特插值。 )( 1 xS 1.7.4 1.7.4 分段三次插值分段三次插值 求作具有分划求作具有分划 的分段的分段 一次式一

9、次式S S3 3(x),(x),使成立使成立 ni yxSyxS iiii ,.,1 , 0 , )( ,)( 33 在每个子段在每个子段xxi i,x,xi+1 i+1 上 上S3(x) 都是三次式，且满足插值都是三次式，且满足插值 条件：条件： )( , )( )(,)( 1133 1133 iiii iiii yxSyxS yxSyxS 即在每个子段即在每个子段S3(x) 都是两点三次埃尔米特插值多项都是两点三次埃尔米特插值多项 式。式。 分段三次插值分段三次插值 求作具有分划求作具有分划 的分段一次式的分段一次式S S3 3(x),(x),使成立使成立 niyxSyxS iiii ,.

10、,1 , 0, )( ,)( 33 在每个子段在每个子段xxi i,x,xi+1 i+1 上 上的两点的两点三次埃尔米特多项式为：三次埃尔米特多项式为： )1()(,)1()( )23()()12()1()( )()()()()( 2 1 2 0 2 1 2 0 1 1101103 xxxxxx xxxxxx xxh h xx yh h xx yh h xx y h xx yxS iii i i i i i ii i i i i i i ， 分段三次插值余项分段三次插值余项 求作具有分划求作具有分划 的分段一次式的分段一次式S S3 3(x),(x),使成立使成立 niyxSyxS iiii

11、,.,1 , 0, )( ,)( 33 分段三次插值余项为：分段三次插值余项为： i i bxa hh xf h xSxf max )(max 384 )()( )4( 4 3 分段三次埃尔米特插值比分段线性的逼近效果有分段三次埃尔米特插值比分段线性的逼近效果有 明显的改善明显的改善 分段插值法的利弊分段插值法的利弊 是一种显式算法，算法简单，收敛性能得到保证是一种显式算法，算法简单，收敛性能得到保证; ; 只要节点间距充分小，分段插值法总能获得所要只要节点间距充分小，分段插值法总能获得所要 求的精度，而不会像高次插值那样发生龙格现象求的精度，而不会像高次插值那样发生龙格现象; ; 如果修改某个数据，仅仅影响某个局部范围的插如果修改某个数据，仅仅影响某个局部范围的插 值曲线，而代数插值却会影响整个