随机事件与随机变量

1、2 2021-8-7 第一章 概率论的 基本概念 第一章 3 2021-8-7 1 试验试验是对自然和社会现象进行的观察和各种科学实验是对自然和社会现象进行的观察和各种科学实验. . 随机试验的随机试验的特点特点: : 随机试验随机试验是对随机现象所进行的观察和实验。是对随机现象所进行的观察和实验。 常见随机试验常见随机试验 (1) 可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行; (2) 可以弄清试验的全部可能结果可以弄清试验的全部可能结果; (3) 试验前不能预言将出现哪一个结果。试验前不能预言将出现哪一个结果。 退 出前一页后一页目 录 4 2021-8-7 E1E1 从从1010个标有号

2、码个标有号码 1, 2, 1, 2, 10 , 10 的小球中任取一的小球中任取一 个个, , 记录所得小球的号码记录所得小球的号码. . 1 2 3 10 9 8 7 65 4 ? 随随 机机 试试 验验 退 出前一页后一页目 录 5 2021-8-7 E2E2 抛一枚硬币，将会出现正面还是反面？抛一枚硬币，将会出现正面还是反面？ 随随 机机 试试 验验 退 出前一页后一页目 录 6 2021-8-7 E5 E5 检验出检验出N N件产品中的次品。件产品中的次品。 E6 E6 测量某团体人员的身高。测量某团体人员的身高。 E4 E4 测量某零件长度测量某零件长度x x和直径和直径y y所产生

3、的误差。所产生的误差。 E3 E3 仪器上某种型号的电子元件使用时间已达仪器上某种型号的电子元件使用时间已达300300小时，小时， 检测该元件还能使用多少小时？检测该元件还能使用多少小时？ 随随 机机 试试 验验 退 出前一页后一页目 录 7 2021-8-7 随机事件随机事件就是在随机试验中可能发生也可能不发就是在随机试验中可能发生也可能不发 生的事情生的事情, ,简称简称事件事件。 必然事件必然事件就是随机试验中肯定发生的事件就是随机试验中肯定发生的事件, ,记为记为 。 不可能事件不可能事件就是随机试验中肯定不发生的事件就是随机试验中肯定不发生的事件, ,记为记为。 在概率统计中用大写

4、字母在概率统计中用大写字母 A A, , B B, , C C 以及以及 A A1 1, , A A2 2, , A An n , , 等表示事件。等表示事件。 退 出 前一页后一页目 录 8 2021-8-7 E7: E7: 某电话总台一天接到的呼叫次数某电话总台一天接到的呼叫次数 . . A A = = 呼叫次数呼叫次数为偶数为偶数 ； B B = = 呼叫次数呼叫次数为奇数为奇数 ； C C = = 呼叫次数呼叫次数大于大于 3 3； A Ai = = 呼叫次数呼叫次数为为i , , i =0,1,2, =0,1,2, 等等等等; ; 都是随机事件。都是随机事件。 =呼叫次数呼叫次数不小

5、于不小于0 0 是必然事件是必然事件, , f f=呼叫次数呼叫次数小于小于0 0 是不可能事件。是不可能事件。 随随 机机 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 9 2021-8-7 E2 E2 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H H和反面和反面T T的情况。的情况。 在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球 赛的首发权，把硬币赛的首发权，把硬币“出现正面出现正面H H”和和“出现反面出现反面T T”这这 两个可能结果看成随机事件。两个可能结果看成随机事件。 故有：故有：A A=出现正面出现正面 ， B B=出现反面出现反面 。

6、 由于试验的目的，硬币沿什么方向滚动等结果将由于试验的目的，硬币沿什么方向滚动等结果将 不被看成随机试验。不被看成随机试验。 随随 机机 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 10 2021-8-7 E5 E5 检验出检验出N N件产品中的次品。件产品中的次品。 E6 E6 测量某团体人员的身高。测量某团体人员的身高。 随机事件有：随机事件有：A A=检验到正品检验到正品 ； B B=检验到次品检验到次品 ，等等。，等等。 用用X X 表示人的身高，表示人的身高， X = = x 表示表示“人的身高为人的身高为xm m ” 则有：则有： X X = = x x 0， X X 0 0 ， X X

7、 1.5 1.70 , 1.70 , 等等都是随机事件。等等都是随机事件。 随随 机机 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 11 2021-8-7 基本事件基本事件就是在在一次试验中就是在在一次试验中必发生一个且仅发生一必发生一个且仅发生一 个的最简单个的最简单事件事件。 复合事件复合事件是由若干基本事件组合而成的事件是由若干基本事件组合而成的事件。 基本事件基本事件可理解为可理解为“不能再分解不能再分解”的事件的事件。 前一页后一页目 录 退 出 12 2021-8-7 基本事件基本事件 复合复合 事件事件 复合事件复合事件 E7: E7: 某电话总台一天接到的呼叫次数某电话总台一天接到的

8、呼叫次数 . . A A = = 呼叫次数呼叫次数为偶数为偶数 ； B B = = 呼叫次数呼叫次数为奇数为奇数 ； C C = = 呼叫次数呼叫次数大于大于 3 3； A Ai = = 呼叫次数呼叫次数为为i , , i =0,1,2, =0,1,2, =呼叫次数呼叫次数不小于不小于0 0 是必然事件是必然事件, , f f=呼叫次数呼叫次数为为1.2 1.2 是不可能事件。是不可能事件。 基基 本本 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 13 2021-8-7 E2 E2 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H H和反面和反面T T的情况。的情况。 在试验中，若根据硬币出现

9、正面或反面来决定球在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球 赛的首发权，把硬币赛的首发权，把硬币“出现正面出现正面H”和和“出现反面出现反面T” 这两个可能结果看成随机事件。这两个可能结果看成随机事件。 故有：故有：A=出现正面出现正面， B=出现反面出现反面。 基本事件基本事件 基基 本本 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 14 2021-8-7 注意注意: :对于同一试验而言，试验目的不同对于同一试验而言，试验目的不同, ,则则试验的基试验的基 本事件本事件就有可能不相同。我们把这称为基本事件具有就有可能不相同。我们把这称为基本事件具有 相对性相对性。 前一页后一页目 录 退 出 E

10、6 E6 测量某团体人员的身高。测量某团体人员的身高。 用用X表示人的身高，表示人的身高， X = = x 表示表示“人的身高为人的身高为x m ” 则有：则有： X = = x x x00， X 0 0 ， X 1.5 1.70 1.70 基本事件基本事件 若测量人的身高是为了判断乘车购票与否，则仅若测量人的身高是为了判断乘车购票与否，则仅 有三个基本事件：有三个基本事件： A=A=购全票购全票 ，B=B=购半票购半票 ，C=C=免票免票 。 复合事件复合事件 15 2021-8-7 例：从例：从52张扑克中任意抽取一张。张扑克中任意抽取一张。 2C.2H.HKHA2S.SKSA 2）不考虑

11、花色）不考虑花色 其基本事件集合为：其基本事件集合为： 2.KA 3）考虑花色但不考虑点数）考虑花色但不考虑点数 其基本事件集合为：其基本事件集合为： CDHS 1）考虑其点数及其花色。）考虑其点数及其花色。 基本事件集合为：基本事件集合为： 前一页后一页目 录 退 出 16 2021-8-7 基本事件基本事件A1 单点集单点集1 基本事件基本事件A2 单点集单点集2 一一对应一一对应 将联系于试验的每一个基本事件，可以用一个包将联系于试验的每一个基本事件，可以用一个包 含一个元素含一个元素的单点集来表示。的单点集来表示。 所有基本事件对应元素的全体所组成的集合所有基本事件对应元素的全体所组成

12、的集合, 称称 为试验的为试验的样本空间（样本空间（）。 样本空间的元素称为样本空间的元素称为样样 本点（本点（）。 复合事件由它所包括的基本事件对应的单点集的元复合事件由它所包括的基本事件对应的单点集的元 素组成的集合表示。素组成的集合表示。 退 出前一页后一页目 录 17 2021-8-7 E1 E1 从从 10 10个标有号码个标有号码 1, 2, 1, 2, 10 , 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, , 记录所得小球的号码记录所得小球的号码, , 这就是一个随机试验。这就是一个随机试验。 A A = = 取得的小球号码为偶数取得的小球号码为偶数 ，B = B = 号码为奇数号

13、码为奇数 , , C = C = 号码大于号码大于 3 3； A Ai = = 号码为号码为 i , , i = 1, 2, = 1, 2, , 10 , 10 等等等等; ; 都是随机事件。都是随机事件。 基本事件：基本事件：A Ai =号码为号码为i =i=i , ,i =1,2, =1,2,10,10。 复合事件：复合事件：A A = =号码为偶数号码为偶数=2,4,6,8,10=2,4,6,8,10 B B = =号码为奇数号码为奇数=1,3,5,7,9=1,3,5,7,9； C C = =号码大于号码大于3=4,5,6,7,8,9,103=4,5,6,7,8,9,10。 事事 件件

14、的的 集集 合合 表表 示示 退 出前一页后一页目 录 18 2021-8-7 =号码不超过号码不超过10 =1,2,3,4,5,6,7,8,9,1010 =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10此此 即为样本空间，是一个必然事件。即为样本空间，是一个必然事件。 f f=号码等于号码等于0 0 ， 它不包含任何基本事件它不包含任何基本事件 ，从而，从而 不包含任何样本点，是不可能事件。不包含任何样本点，是不可能事件。 .02,4,6,8,1 A 号码为偶数号码为偶数 .1,3,5,7,9 B 号码为奇数号码为奇数 退 出前一页后一页目 录 19 2021-8-7 E2 E2 抛一枚硬币，观察

15、其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H H和反面和反面T T的情况。的情况。 A A=出现正面出现正面 ， B B=出现反面出现反面 。 基本事件基本事件 我们可以令我们可以令A A=出现正面出现正面=H H ， B B=出现反面出现反面=T T 。 而样本空间而样本空间=H H，T T 。 退 出前一页后一页目 录 20 2021-8-7 一次试验之后一次试验之后, 必定出现基本事件中的一个必定出现基本事件中的一个, 假定它对应的样本点是假定它对应的样本点是, 对任意事件对任意事件A, 若若A, 称事件称事件A 发生发生, 否则称否则称 A没有发生。没有发生。 复合事件是样本空间的一个子集。

16、复合事件是样本空间的一个子集。 样本空间样本空间对应的事件是必然事件对应的事件是必然事件, 空集空集对应的事件是不可能事件。对应的事件是不可能事件。 为了能运用数学的手段研究随机现象为了能运用数学的手段研究随机现象, 需进一步将需进一步将 所有的元素所有的元素(即样本点即样本点) 数量化。即数量化。即 ( ( ) )v vX Rn 退 出前一页后一页目 录 21 2021-8-7 E5 E5 检验检验N件产品中的次品数。件产品中的次品数。 E4 E4 测量某零件长度测量某零件长度x和直径和直径y所产生的误差。所产生的误差。 E2 E2 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H H

17、和反面和反面T T的情况。的情况。 若用若用X X 表示抛一次硬币时出现正面的次数，则表示抛一次硬币时出现正面的次数，则 X X( (H H )=1)=1，X X( (T T )=0)=0。 若用若用Y表示检查表示检查N件产品中的次品数，我们有件产品中的次品数，我们有 Y(k)=k 。 ,),( yxyx yx 则 和直径所产生的误差，分别表示测量零件长度和用 退 出前一页后一页目 录 22 2021-8-7 这些变量都定义在样本空间上，具有以下特点：这些变量都定义在样本空间上，具有以下特点： （1） 变量的取值由随机试验的结果来确定变量的取值由随机试验的结果来确定 （2） 它们取某值的可能性

18、大小有确定的规律性它们取某值的可能性大小有确定的规律性。 这种变量的取值变化情况由试验结果确定这种变量的取值变化情况由试验结果确定, 称之称之 为为随机变量随机变量, 它可以完整地描述试验结果，从而用量它可以完整地描述试验结果，从而用量 化分析方法来研究随机现象的统计规律性。化分析方法来研究随机现象的统计规律性。 三、三、 随机事件的关系及运算实际上就是集合的关系及运随机事件的关系及运算实际上就是集合的关系及运 算。不过随机事件的关系有其特有的提法。算。不过随机事件的关系有其特有的提法。 退 出前一页后一页目 录 23 2021-8-7 (1) 包含关系包含关系 A B，即事件，即事件A发生必

19、然导致事件发生必然导致事件B 发生发生, 称事件称事件B 包含事件包含事件A，或，或A是是B 的子事件。的子事件。 从集合的角度：若从集合的角度：若AB 如果两个事件互相包含如果两个事件互相包含, 称为事件相等。称为事件相等。 对任意事件对任意事件A, 有有 A 。 退 出前一页后一页目 录 B A 24 2021-8-7 例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。记录所得小球的号码。 A = 球的号码为球的号码为4的倍数的倍数=4，8, B = 球号码为偶数球号码为偶数=2，4，6，8，10。 则：则： B.A 包包 含含

20、 关关 系系 退 出前一页后一页目 录 25 2021-8-7 (2) 和事件和事件 AB = |A 或或B 称为称为 事件事件A与与B 的和，的和， 即当且仅当即当且仅当A与与B中中至少至少有一个发生。有一个发生。 退 出前一页后一页目 录 B A 26 2021-8-7 . , 21 1 21 这一事件至少有一个事件发生 中表示 n n i in AAAAAAA 21 1 . ,A,AA i i 这这一一事事件件生生 中中至至少少有有一一个个事事件件发发事事件件列列表表示示 退 出前一页后一页目 录 27 2021-8-7 例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中的

21、小球中 任取一个任取一个, 记录所得小球的号码。记录所得小球的号码。 A=球的号码是不大于球的号码是不大于3的奇数的奇数=1，3, B=球的号码是不大于球的号码是不大于4的偶数的偶数=2，4 C=球的号码不超过球的号码不超过4 = 1，2，3，4。 则：则： CBA 和和 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 28 2021-8-7 例例 对某一目标进行射击。对某一目标进行射击。 设：设：,2, 1,Aii i 次击中目标第 A = 击中目标击中目标； B = 前前k次击中目标次击中目标。 则则 1 AA i i k 1 AB i i 和和 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 29 2021

22、-8-7 (3) 积事件积事件 AB = |A 且且B 称为称为事件事件A与与B 的积事件，的积事件， 即当且仅当即当且仅当A和和B同时同时发生。也记为发生。也记为AB。 退 出前一页后一页目 录 A B 30 2021-8-7 . , 21 1 21 这一事件发生 同时表示 n n i in AAAAAAA ., 21 1 这这一一事事件件同同时时发发生生事事件件列列表表示示 AAA i i 退 出前一页后一页目 录 31 2021-8-7 例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任的小球中任 取一个取一个, 记录所得小球的号码。记录所得小球的号码。 A=球的号码是奇

23、数球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码大于球的号码大于5=6，7，8，9，10 C=球的号码是球的号码是7或或9 = 7，9。 则：则： CBA 积积 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 32 2021-8-7 例例 对某一目标进行射击，直至命中为止。对某一目标进行射击，直至命中为止。 设：设：D = 进行了进行了k次射击次射击； Ai = 第第i次射击命中目标次射击命中目标，i=1,2 Bi = 第第i次射击未命中目标次射击未命中目标, i=1,2 则则 D=B1B2Bk-1Ak 积积 事事 件件 退 出前一页后一页目 录 33 2021-8-7 (4) 互不相容事件互不相容

24、事件 若若 AB = , 称称 A、B为互不相容或互斥事件为互不相容或互斥事件, 即事即事 件件 A、B不可能同时发生。不可能同时发生。 显然显然, 与任何事件互不相容。与任何事件互不相容。 A1, A2, , An中任意两个互不相容中任意两个互不相容, 称称 n个事件个事件 A1, A2, , An两两互不相容（两两互斥）。两两互不相容（两两互斥）。 事件列事件列 A1, A2, 互不相容是指其中任意有限个事互不相容是指其中任意有限个事 件互不相容。件互不相容。 性质：性质：同一试验的基本事件互不相容。同一试验的基本事件互不相容。 退 出前一页后一页目 录 34 2021-8-7 事件的互斥

25、事件的互斥 A B 例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小记录所得小 球的号码。球的号码。 A=球的号码是奇数球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码是不大于球的号码是不大于4的偶数的偶数=2，4。 则：则： A与与B是互不相容的事件。是互不相容的事件。 退 出前一页后一页目 录 35 2021-8-7 例例 对某一目标进行射击，直至命中为止。对某一目标进行射击，直至命中为止。 设：设：Dk = 进行了进行了k次射击次射击，k=1,2 Ai = 第第i次射击命中目标次射击命中目标，i=1,2 Bj = 第第j次射击未命中

26、目标次射击未命中目标, j=1,2 则：则： Dk ， ，k=1,2 是互不相容的事件列。 是互不相容的事件列。 Ai、Bi， i=1,2 是互不相容的事件列。是互不相容的事件列。 事件的互斥事件的互斥 退 出前一页后一页目 录 36 2021-8-7 (5) 对立事件对立事件（逆事件逆事件） 若若 AB = , 且且 AB = , 称称 A、B 互为对立事互为对立事 件（逆事件）件（逆事件）, 记为记为 B = 。A 从随机事件角度从随机事件角度:是事件是事件 A不发生不发生。A 显然显然, 在一次试验中在一次试验中, 与与 A 必发生且仅发生一个必发生且仅发生一个, 非此即彼。非此即彼。

27、A 从集合的角度从集合的角度:A,A 退 出前一页后一页目 录 A AB 37 2021-8-7 对对 立立 事事 件件 例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球的小球 中任取一个中任取一个, 记录所得小球的号码。记录所得小球的号码。 A=球的号码是奇数球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码是偶数球的号码是偶数=2，4，6，8，10。 则：则：A与与B是对立事件。是对立事件。 退 出前一页后一页目 录 38 2021-8-7 (d): 甲未命中或乙命中甲未命中或乙命中 A =( ) (c): 甲未命中甲未命中 (b): 甲乙均命中甲乙均命中 (a): 甲未命中且乙命中甲未命中且乙命中 甲乙两人向同一目标射击甲乙两人向同一目标射击, , 设设A=A=甲命中目标甲命中目标, ,乙未命中目标乙未命中目标 则其对立事件则其对立事件 退 出前一页后一页目 录 39 2021-8-7 (6) 差事件差事件 事件事件