选修4-4平面直角坐标系

1、第一讲坐标系第一讲坐标系 1 平面直角坐标系平面直角坐标系 1、建立平面直角坐标系、建立平面直角坐标系 2、设点、设点（点与坐标的对应）（点与坐标的对应） 3、列式、列式（方程与坐标的对应）（方程与坐标的对应） 4、化简、化简 5、说明、说明 坐坐 标标 法法 一平面直角坐标系的建立一平面直角坐标系的建立 P B C A r 信息中心信息中心 l 以接报中心为原点以接报中心为原点O，以，以BA方向为方向为x轴，建立轴，建立 直角坐标系直角坐标系.设设A、B、C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点， 设设P（x,y）为巨响发生点，由）为巨响发生点，由B、C同时听同时听 到巨响声，得到巨

2、响声，得|PC|=|PB|，故，故P在在BC的垂直平分的垂直平分 线线PO上，上，PO的方程为的方程为y=x，因，因A点比点比B点晚点晚4s 听到爆炸声，听到爆炸声， y y x x B B A A C C P P o o 则则 A(1020,0), B(1020,0), C(0,1020) 故故|PA| |PB|=3404=1360 由双曲线定义知由双曲线定义知P点在以点在以A、B为焦点的为焦点的 双曲线双曲线 上，上， 1 2 2 2 2 b y a x )0(1 3405680 34056801020 1020,680 2 2 2 2 222222 x yx acb ca 故双曲线方程为

3、 10680),5680,5680( ,5680,5680 POP yx 故即 答：巨响发生在接报中心的西偏北答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心距中心 处处. m10680 用用y=x代入上式，得代入上式，得 ， |PA|PB|, 5680 x 例例1.已知已知ABC的三边的三边a,b,c满足满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边分别为边AC,AB上上 的中线，建立适当的平面直角坐标系的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究探究BE与与CF的位置关系。的位置关系。 (A)FB C E O y x 以以ABC的顶点为原点的顶点为原点， 边边AB所在的直线所在的直线x轴，建立直角轴，

4、建立直角 坐标系，由已知，点坐标系，由已知，点A、B、F的的 坐标分别为坐标分别为 解：解： A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ). 2 c C x y 设点 的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 2 222222 5|5|bcaACABBC由，可得到， 22222 5().xycxcy即 222 22250.xyccx整理得 (,),(,), 222 xyc BEcCFxy 因为 2 ()()0. 222 xcy BE CFcx 所以 因此，因此，BE与与CF互相垂直互相垂直. 根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：根据几何特点选择适当的直角

5、坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。 11 . 1 8 习题习题P 二二. .平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换 思考：思考： （1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲 线线y=sin2x? x O 2 y=sinx y=sin2x 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)

6、，保持纵坐，保持纵坐 标不变，将横坐标标不变，将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，就得到正弦，就得到正弦 曲线曲线y=sin2x. 1 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换， 即：设即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，保持保持 纵坐标不变，将横坐标纵坐标不变，将横坐标x缩为原来缩为原来 ，得到点得到点 P(x,y).坐标对应关系为：坐标对应关系为： 1 2 x= x y=y 1 2 1 通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。的一个压缩变换。 1 坐标对应关系为：坐标对应关系为：

7、（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲 线线y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换。 设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y) x=x y=3y 2 通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。的一个坐标伸长变换。 2 在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），）， 保持横坐标保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原不变，将纵坐标伸长为原 来的来的3倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinx。 （3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲 线线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标

8、变换。 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐，保持纵坐 标不变，将横坐标标不变，将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，在此基础上，在此基础上， 将纵坐标变为原来的将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 1 2 设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y) x= x y=3y 1 2 3 通常把通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐叫做平面直角坐标系中的一个坐 标伸缩变换。标伸缩变换。 3 定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中是平面直角坐标系中 任意一点，在变换任意一点，在变换 (0) : (0)

9、xx yy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应P(x,y).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 4 注注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩 变换得到；变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角）在伸缩变换下，平面直角 坐标系不变，在同一直角坐标系下进坐标系不变，在同一直角坐标系下进 行伸缩变换。行伸缩变换。 0,0 练习：练习： 1.在直角坐标系中，求下列方程所对在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换应的图形经过伸缩变换 x=x y=3y 后的图形。后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 2.在同一直角坐标系下，求满足下列在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变变 为曲线为曲线x2+y2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变在同一直角坐标系下，经过伸缩变 换换 后，后， 曲线曲线C变为变为x29y2 =1，求曲线，求曲线C的的 方程并画出图形。方程并画出图形。 x=3x y=y 思考：在伸缩思考：在伸缩 下，椭圆是否可以下，椭圆是否可以 变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲变成圆？抛物线，双曲线变成什