5题应该的最大值2008全国卷2理全解全析

1、2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修U )本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分第I卷1至2页第n卷3至10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷注意事项：1 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.3 本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.参考公式：球的表面积公式S=4 tR2其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A, B互斥，那么P(A B)

2、 =P(A) P(B)如果事件A, B相互独立，那么P(A-BP(A)-P(B)如果事件 A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率、，4_3vnR3其中R表示球的半径Fk(k)二Cnkpk(1 p)2(k =01,2, , n)一、选择题1 设集合 M -mZ | 一3 ： m 2,N =nZ | -1n 3,则 MN =()A0仁B ；、-10仁C01,2? D I-101,2/【答案】B【解析】M-2,-1,0,1, N=-1,0,1,2,31 , M N -1,0,*【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别2设a, b，R且b = 0，若复数(a b

3、i)3是实数，则()2 2 2 2 2 2 2 2A b=3a B a=3b C b=9a D a=9b【答案】A【解析】(a bi)3 =a3 3a2bi _3ab2 _b3i =(a3 _3ab2) (3a2b_b3)i ,因是实数且2322b = 0，所以 3a b - b = 0= b = 3a【高考考点】复数的基本运算13函数f(x)二x的图像关于x()A.y轴对称B.直线y = -x对称C.坐标原点对称D .直线y = x对称【答案】C【解析】1f (x)x是奇函数,x所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性的性质134.若 x (e ,1), a =ln x, b =2ln x

4、, c =ln x，则()A. ab c B. c abC. b ac D. b c a【答案】c1【解析】由 e：x ： 1 = -1 ： In x : 0，令 t = In x且取 t 知 b a x,I5.设变量x, y满足约束条件：x+2y -2.2 2【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A(-2,2)、B(,)及3 3C(-2, -2)。于是z =x -3y在点A(-2,2)取得最小值，即(ZA)min = -8。6从20名男同学，10名女同学中任选 3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女冋学的概率为()9101920A.B.CD.29292929【答案】D【解析】

5、P C20C10 C20C1020C030297. (1 -、x)6(V . x)4的展开式中x的系数是()A.-4B.-3C. 3D. 4【答案】B【解析】0 2 2 _C6 C4 C6 C0 1 1；4C6C4=6 15-24 = -3M，N两点，则8 若动直线【易错提醒】 容易漏掉c；c4项或该项的负号MN的取大值为（)A. 1B .迈C. 73D. 2【答案】B【解析】在同一坐标系中作出（x） =sinx及g1（x） =cosx在0,2兀的图象，由图象知,x = a与函数f （x）二sin x和g（x）二cosx的图像分别交于4时，得（方法二）：MN=sin x _cosx【高考考点】

6、【备考提示】三角函数的图象，两点间的距离 函数图象问题是一个常考常新的问题则双曲线2x2a2_ y (a 1)2=1的离心率e的取值范围是（(丢)C. (2,5)D. (2, 5)【答案】【解析】F)2a2(a 1)a21 21 (1 ),a因为1丄是减函数，所以当 a 1时a1 20 1 ： 1，所以 2 ： e2a【高考考点】解析几何与函数的交汇点10.已知正四棱锥S -ABCD的侧棱长与底面边长都相等, 成的角的余弦值为（:5 ,即2 : e ： 、5（讨论（1丄）2的技巧性）。aE是SB的中点,则AE, SD所.3 C.3【答案】【解析】C连接AC、BD交于O,连接0E,因0E / S

7、D。所以/ AEO为所求。设侧棱长与底1=33。面边长都等于 2，则在AEO 中，OE= 1, AO = 、2 , AE= . 2D. 一 -3 ,(或在=AEO 中，AOE =90 )于是 cos AEO =( ) 1 ( 2)11 .等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x y-2=0与x-7y-4 = 0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（1C.3)1 D.2【答案】【解析】h：xy_2=0,匕-1 , l2:x_7y_4 = 0, k2，设底边为I7由题意,13到ll所成的角等于12到13所成的角于是有 - k k - k2 1k1k 1k2kk 1 _ 7k -1k -1

8、 一 7 3再将A、【高考考点】 两直线成角的概念及公式【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。B、C、D代入验证得正确答案是 A12.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆. 则两圆的圆心距等于（人教版P49例7）若两圆的公共弦长为 2,【答案】【解析】设两圆的圆心分别为O1、O2 ,球心为O ,公共弦为AB ,其中点为E,则OOO?为矩形,于是对角线 0102 二 OE,而 OE = . OA【答案】【解析】a b= （，2,2 V）则向量 a b与向量c= （-4,-7）共线 - AE2U22 -12 = 3 , /. OQ2 = . 3【高考考点】空间想象 能力。

9、球的有关概念，两平面垂直的性质2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修H ）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上.13.设向量a =(1,2),b= （2,3），若向量 a b与向量c二（以，- 7）共线，则二 ;:-2-2，3二巳二 一 2-714设曲线y =eax在点（0,）处的切线与直线 x 2y 0垂直，则a -【答案】2【解析】y = aeax，二切线的斜率k = yx = a，所以由 a得 a =215已知F是抛物线C： y? =4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A, B两点设FA|FB，则FA与FB的比值等于 【解析】设 A(

10、X!,y!),B(X2,y2)由；厂一1y2 =4x2 x -6x 1 = 0= xi = 3 2 2，x2 =3 -2 ,2，( X! x2)；由抛物线的定义知 丄A = x, +1 = 4 + 2* = 2 +它 =3 + 2/2。|FB| X2+1 4 2J2 2-2【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用16平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行类似地， 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件;充要条件(写出你认为正确的两个充要条件)【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行 四边形.注：

11、上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案，同样给分.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)54在厶 ABC 中，cos B, cosC - 135(I)求si nA的值；33(H)设 ABC的面积Saabc二33，求BC的长.2【解析】512(I)由 cosB，得 sin B =-1313丄43由 cosC ，得 sin C -.55所以 sin A=sin(B C)丄33(n)由 Sa abc =233 由(I)知 si nA 65二 sin B cosC cos Bsin C = 33 .651 33得 AB A

12、C sin A =,2 2故AB AC =65,208分A B汉s i n B又ACABs i C1 320 213故AB2 -65 , AB132AB x sin A11所以BC =10分sin C218. (本小题满分12分)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险， 且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为 1 一0.999104.(I)求一投保人在一年度内出险的概率p ;(n)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本

13、为50 000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)【解析】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为，则 B(104, p).(I)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则 A发生当且仅当J0,分P(A) =1 -P(A) =1 -P( =0) =1 -(1- p)10,又 P(A) =1 -0.99910，故 p =0.001 .5 分(n)该险种总收入为 10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.支出 10 000 50 000 ,盈利=10 000a-(10 00050 000),盈利的

14、期望为=10 000a10 000E50 000 , 分由 B(104,10)知，E =10 000 10,E =104a-104E -5 1O4=104a-104 104 10-5 104.E - 0 = 104a -104 10 - 5 104 一 0 = a -10 -5 0= a 15 (元).故每位投保人应交纳的最低保费为15元. 12分19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱 ABCDABOD中，AA=2AB=4，点E在CG上且GE=3EC .(I)证明：AC _平面BED ；(n)求二面角 A DE B的大小.【解析】解法一：依题设知AB =2 , CE =1 .(I)连结AC交

15、BD于点F，则BD _ AC . 由三垂线定理知，BD_AC 在平面ACA内，连结EF交AC于点G ,由于型二虫FC CE= 2.2 ,故 RtA AAC s Rt FCE , . AAC =/CFE ,CFE与.FCA互余.于是AC _ EF .AC与平面BED内两条相交直线 BD, EF都垂直，所以AC 平面BED .(n)作GH _ DE，垂足为H，连结AH .由三垂线定理知 AH _ DE ,故.AHG是二面角A - DE - B的平面角.EF =：CF2 CE2 = - 3,CGCE CF 一 EFEG CE2 -CG2J3EG1GH EF FDEF3，3DE3，又 ACAA2 AC

16、2AG二 AC-cgW3AiGttan . AHG = 1=5、5HG12分所以二面角 A - DE -B的大小为arctan5,5 .AE解法二：以D为坐标原点，射线 DA为x轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 D xyz .依题设，B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,2,1), A(2,0,4).dE = (0,21),DB = (2,2,0),AC =(-2,2,-4),DA =(2,0,4).(i)因为 AC QB = 0, A1C -DE =0,故 AC _ BD , AC _ DE .又 DB DE = D ,所以AC丄平面DBE .分(n)设向量n = (x, y,

17、 z)是平面DA1E的法向量，则n _ DE , n _ DA1 .故 2y z = 0 , 2x 4z = 0 .令 y=1，贝U z = 2 , x=4, n = (4,1,一 2).(n,AC)等于二面角A-DE-B的平面角,cos . n, ACn AC、14.n AC 42所以二面角a-DE -B的大小为arccos144212分20.(本小题满分12分)设数列 a 的前n项和为Sn .已知印=a , anSn 3n , n N(i)设bn = S - 3n，求数列的通项公式；(n)若an 1an , n N，求a的取值范围.【解析】(【)依题意 q 1 - q = an 1S. -

18、3n，即 S.2Sn -3n,2由此得 Sni 3n1 =20 -3n).因此，所求通项公式为bn =Sn _3n =(a _3)2心,n N.(n)由知 S3n - (a 3)2nJ1, n N* ,于是，当n 一 2时,an二Sn-Sn=3n(a-3) 2n 1-3nJ -(3)2=23n(a-3)2n，,an 1 -an =4 3nJ - (a-3)2n，=2n，n 2a -3 ,n _2a3 A 0 = a -9 .又 a2 =a13 a1.综上，所求的a的取值范围是-9,.12分21.(本小题满分12分)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0), B(01)是它的两个顶点，直线 y = kx(k 0)与AB相交于点D，与椭圆相交于 E、F两点.(I)若ED =6DF，求k的值;(n)求四边形 AEBF面积的最大值. 【解析】(I)解:2依题设得椭圆的方程为 y2 =1,4直线AB,EF的方程分别为x 22 , y = kx(k 0).如图，设D(x), kxo), E(xb kxi), F(x2, kx?)，其中 % x,2 2且为，X2满足方程(1 4k )x =4 ,故 x2 = -x1 .VVH4k210 ；15由 ED =6DF 知 x0 - = 6(x2 -x0)，得 x0 =亍(6x2 xj =万 x22由 D 在 AB 上知 x0 - 2