第7章-简化一个变量的分布

1、2021/3/261 第7章 简化变量的分布 简化一个变量的分布 简化两个变量的分布 相关测量 2021/3/262 简化一个变量的分布 o数据的初步整理 o数据的特点 u离散性 u波动性（变异性） u规律性 o数据的分类 u计数数据与测量数据 u离散型数据和连续型数据 u定类、定序、定距和定比数据（略） 2021/3/263 统计表与统计图 o数据的统计分组和分类 o统计表 频数表 百分比表 交互分类表 o统计图 柱形图 圆形图 线形图 散点图 直方图 2021/3/264 基本技术 o1、频数、频数 如,抽取样本学生550人,简化有关他们父亲的职业情况 表2-1 甲校学生的父亲职业 职业f

2、p% 干 部 工 人 农 民 110 152 288 0.200 0.276 0.524 20.0 27.6 52.4 总 数5501.000100.0 2021/3/265 基本技术(续) 表2-2 乙校学生的父亲职业 职业fp% 干 部 工 人 农 民 50 135 295 0.104 0.281 0.615 10.4 28.1 61.5 总 数4801.000100.0 2021/3/266 基本技术（续） o2、比例、比例:将每类的频数（f）除以总数（N） o公式:P=f/N 如,以表2-1和表2-2为例,来自工人家庭的学生与全体 学生的比例分别是: 甲校 P=152/550=0.27

3、6 乙校 P=135/480=0.281 o3、比率、比率:百分比、千分比、万分比 o4、对比值、对比值 o如,以表2-1为例,工人、干部的对比值为152:110 o5、图示法、图示法 2021/3/267 基本技术（续） o定序层次定序层次 o1、累加次数、累加次数 向上累加与向下累加 o2、累加百分率、累加百分率 表2-3甲校学生父亲教育水平 教 育f cfcf % c % c % 一 级685506812.4100.012.4 二 级9048215816.387.628.7 三 级10639226419.371.348.0 四 级19328645735.152.083.1 五 级9393

4、55016.916.9100.0 总 数350100.0 2021/3/268 基本技术 o定距层次 o组限:每组的范围,包括上限和下限 真实下限=标示下限-0.5 真实上限=标示上限+0.5 表2.4的真实组限应分别是:499.5699.5、699.5899.5、899.5 1099.5、1099.51299.5、1299.51499.5、1499.51699.5 o组距:组的真实上限与真实下限之差 o组中点:组的真实上限与真实下限的平均数 o表示:矩形图、曲线图 2021/3/269 基本技术（续） 表2-4 甲校学生的家庭每月总收入 收入（元）f cf cf 15001699405504

5、0 13001499141510181 11001299158369339 9001099136211475 7008996575540 5006991010550 总 数550 2021/3/2610 集中趋势测量法 o众值众值 o所谓众值,就是次数（频数）最多的值,如表2-2中“农民”。 o平均数平均数 o平均数是指总体各单位数值之和除以总体单位数目之商。 x X= n o单值分组单值分组 o xf X= nf 2021/3/2611 单值分组平均值单值分组平均值 上限+下限 o组中值= 2 例 表2-5 某企业100名职工的收入分布 收入（元）职工数（人）组中值xf 1001991015

6、01500 200299102502500 3003994035014000 400499204509000 5005992050011000 合计10038000 2021/3/2612 单值分组平均值（续）单值分组平均值（续） xf 38000 oX= n = 100 =380（元） o组中值为小数时,通常采取四舍五入的办法将化为整数 后计算 2021/3/2613 中位值的计算 o中位值就是在一个序列中的中间之值,即高于此值有50% 的个案,低于此值的也有50%。 n+1 Md位置= 2 o单值分组单值分组 n 2 cf Md=L+ f w o其中:L=中位值组的真实下限; f=中位值组

7、的次数; w=中位值的组距; cf=低于中位值组真实下限累加次数 n=全部个案数目 2021/3/2614 例:中位值的计算 表2-6 各乡育龄妇女节育情况（16-44岁） 节育率（%）f cf 5或以下1616 5153854 15 254094 25 3530124 35 4523147 45 5524171 55 6519190 65或以上22212 总数212 2021/3/2615 例例:中位值的计算（续）中位值的计算（续） o将各组的次数向上累加起来,求出中位值位置: Md=212/2=106 o第106个位置的值应在25%至35%的组内; o因此,L=25.5,f=30,w=35

8、.5- 25.5=10,cf=94,n=212 Md=25.5+（212/2-94）/30 10=29.5 即,212个乡中,有半数的育龄妇女节育率低于29.5%, 也有半数高于29.5%。 2021/3/2616 离散趋势测量法离散趋势测量法 o离散趋势测量法,是要求出一个值来表示个案与个案之间的 差异情况。 o常见的离散量数统计量有全距、离异比率、四分位差、标准 差、离散系数等。 o（1 1）全距全距:最简单的方法,即最大值与最小值之差。差值越 大,离散趋势越大 o（2）离异比率:非众值的次数与全部个案数目的的比率 n-fmo 公式: v= n ( n是全部个案数目,fmo是众值的次数)

9、o以表2-1与表2-2资料为例: 甲校v=（550-288）/550=0.476 乙校v=（480-295）/480=0.385 2021/3/2617 o（3）四分位差四分位差 o计算方法:将个案由低至高排列,然后分为四等分,第一个四 分位置的值（Q1）与第三个四分位置的值（Q3）的差异, 就是四分位差（简写Q） 公式: Q=Q1-Q3 oQ1与Q3的差异愈大,表示有50%的个案的分布愈远离中位 值,因而中位值的代表性就愈小,以之作为估计或预测的标准 所犯的错误就愈大。 公式: Q1位置=（n+1）/4 Q3位置=3（n+1）/4 2021/3/2618 o（4）标准差标准差 o其定义是其定

10、义是:一组数据对其平均数的偏差平方的算术平均数的 平方根。它是用得最鑫也是最重要的离散量统计量。 o例1:某校三个系各选5名同学参加智力竞赛,成绩如下: 中文系:78 79 80 81 82 X=80 数学系:65 72 80 88 95 X=80 英语系:35 78 89 98 100 X=80 2021/3/2619 o标准差公式标准差公式: S=（ xi-X）2/n o将前面三系学生成绩资料代入公式后得: 中文系:S=1.414（分） 数学系:S=10.8（分） 英语系:S=23.8（分） o中文系代表的标准差最小,数学系队表其次,英语系代表 队的最大,表明英语系代表队的成绩离散程度最高

11、。 2021/3/2620 o单值分组的标准差计算公式单值分组的标准差计算公式 S=（xi-X）2f/n oF为xi所对应的频数。由组距分组资料计算标准差时,只 需要计算出各组的组中值,然后按照单值分组资料计算 标准左的公式和方法计算。 2021/3/2621 o（5）离散系数离散系数:标准差与平均数的比值 o公式公式: CV=S/X 100% o例2:一项调查得到下列结果,某市人均月收入为92元,标准 差为17元,人均住房面积7.5平方米,标准差为1.8平方米。 试比较该市人均收入和人均住房情况哪一个差异程度比较 大。 o例3:对广州和武汉两地居民生活质量调查发现,广州居民平 均收入为680

12、元,标准差为120元;武汉居民平均收入为360 元,标准差为80元。问广州居民相互之间在收入的差异程度 与武汉居民相互之间在收入的差异程度上,哪一个更大些? 2021/3/2622 正态分布与标准值 o正态曲线 1 F(x)=2 e (x-x)2/2s2 o其中,x=变量的数值 f(x)=该变量值的次数 s=标准差 =3.1416 e=2.7183 x=均值 2021/3/2623 o正态分布具有单峰和对称的特质,因此众值、中位值和 均值是相同的 o正态分布的另一项特质是,x值与均值（x）的差异愈大, 其次数会愈少,但不会等于零。也就是说曲线两端逐渐 减降,但不会接触底线。 o标准值标准值:

13、o如果正态分布以标准差（s)为单位,则每个变量值就变 为: Z=(x-x)/s z即为标准值,表示:每个x值在标准正 态分布上的数值。 2021/3/2624 o标准值的意义标准值的意义:在正态曲线下各部分面积所占的比例 o标准正态分布的均值是0,标准差是1 o正态曲线面积表:表内的相应数值就是所占面积的 比例,也就是该范围内的个案数目所占的比例。 o标准值是绝对值,只要数值相同,则无论是正值或负值,所 表示的面积大小都相同 o标准值是正数时,所表示的面积是在均值右边;标准值为 负数,则在左边 2021/3/2625 o思考:大于某个标准值的面积有多少?也就是 大于某个标准值的个案占多少比例?

14、 2021/3/2626 简化两个变量的分布 o统计相关的性质 o相关相关:是指一个变量的值与另一个变量的值有连带性。 o相关的数学符号相关的数学符号:多数统计法以0代表无相关,以1代表全 相关,介于0与1间的数值如果越大,就表示相关的程度越 强 o相关方向相关方向:正相关和负相关。正相关是指一个变量的值 增加,另一变量的值也增加;负相关是指一个变量的值增 加时,另一变量的值却减少 o相关方向的分析只限于定序或定距变量 2021/3/2627 交互分类与百分表 o交互分类:就是同时依据两个变量的值,将所研究的个案 分类。 例:青年人教育水平对其志愿的影响(条件次数表) 缺点:难于比较不同条件下

15、的次数分布,因为作为基数的边缘次数的值各 不相同 志愿教育水平 高中低 快乐家庭5305 理想工作03020 增广见闻505 总 数106030 2021/3/2628 交互分类与百分表 o基数标准化的方法条件百分表:所有基数变成100, 各个条件次数变为百分率 例:青年人教育水平对其志愿的影响(条件百分表) 志愿教育水平 高（%）中（%）低（%） 快乐家庭505016.7 理想工作05066.7 增广见闻50016.7 总 数（10）（60）（30） 2021/3/2629 制作条件百分表的准则 o1、每个表的顶端要有表号和标题（如表3-2表示第三章的 第二个表）。 o2、绘表时所用的线条,

16、要尽可能简洁。舍去不必要的线条可 以节省绘制的功夫,也会令人对表中的数值一目了然。 o3、在表上层的自变项每个值之下的%号,表示下列的数值都 是百分率。如果表内每个数值都附有%符号,就太繁复了。 o4、表下层括弧内的数值,表示在计算百分率时所提供的个案 总数。在研究报告中,如果有条件百分表,便不需要有条件次 数表。 o5、表内百分率数值的小数位要保留多少,视研究需要而定, 但最好是有一致性 o6、根据自变量的方向来计算百分率,是社会科学研究的常规。 2021/3/2630 简化相关与消减误差 o相关测量法:以一个统计值表示变量与变量之间的关系, 这个值通常称为相关系数。 o大多数相关测量法以0

17、表示两个变量间没有关系,以1表 示全相关,因此介于0与1之间的系数值愈大就表示相关 程度愈高。若是定距或定序变量,通常是以“+”符号表 示正相关,以“-”符号负相关。 o相关测量方法的选择:（1）不同测量层次的变量要用不 同的相关测量法;（2）两个变量之间关系是对称的,还 是不对称的;（3）最好选用统计值有意义的相关测量 法统计值具有消减误差比例的意义（称PRE测量法） 2021/3/2631 消减误差比例 o什么是消减误差比例? o有一种社会现象是Y,我们就要预测或理解其变化的情况。 预测或解释时难免会有误差。假设另一种现象X是与Y 有关系的,如果我们根据X值来预测Y的值,理应可以减少 若干

18、误差。而且,X与Y的关系愈强,所能减少的预测误差 就会愈多。换言之,所消减的误差有多少,可以反映X与Y 的相关强弱程度。 2021/3/2632 o现假设不知道X值,我们在预测Y值时所产生的全部误差 是E1（图3-1）。如果知道X的值,我们可以根据X的每 个值来预测Y值:假设误差的总数是E2（图3-2）,则以 X值来预测Y值时所减少的误差就是:E1-E2（图3-2重叠 阴影部分）。这个数值与原来的全部误差（E1）相关比, 就是消减误差比例。 o公式: E1-E2 oPRE= E1 PRE的数值越大,就表示以X值预测Y值时能够减少的误 差所占的比例越大,也就说,X与Y的关系越强。 2021/3/

19、2633 oY Y X 图3-1 图3-2 E1 E2 2021/3/2634 相关测量 o两个定类变量 o两个定序变量 o两个定距变量 o定类与定距、定序变量 2021/3/2635 两个定类变量:Lambda,tau-y oLambda相关测量法:以众值作为预测的准则 o对称形式: mx+ my-(Mx+My) = 2n-(Mx+My) o不对称形式 my-My y= n-My My=Y变量的众值次数; M x=X变量的众值次数; my=X变量的每个值（类别）之下Y变量的众值次数; mx=Y变量的每个值（类别）之下X变量的众值次数; n=全部个案数目 2021/3/2636 o例1:要研究

20、100名青年人的最大志愿是否男女有别,获得表4-1的 次数资料。假定性别（X）是自变量,志愿（Y）是依变量,两个都 是定类变量,故要用y来简化相关情况 表4-1 100名青年人的性别与志愿 志愿性别 男女总数 快乐家庭103040 理想工作401050 增广见闻10010 总数6040100 2021/3/2637 My =50, my= 40+30=70,代入公式得: my-My 70-50 y= n-My = 100-50 =0.40 例2:青年人的志愿与他们的知心朋友的志愿是否相关,表 4-2是得到的次数资料。由于青年人的志愿（Y）与知 心朋友的志愿（X）可能相互影响,难于区分何者是自变

21、 量或依变量,应用Lambda相关测量法的对称形式。 2021/3/2638 表4-2 青年人与知心朋友的志愿 o根据系数公式和表中资料,可知My=50,Mx=54,my=28+41+7=76, mx=28+41+4=73,n=100,所以: =73+76-（54+50） / 2100-(54+50)=0.47 志愿知心朋友志愿 快乐家庭理想工作增广见闻总数 快乐家庭289340 理想工作241750 增广见闻24410 总数325414100 2021/3/2639 o练习与思考:职业背景对工作价值观是否有影响呢? 表4-3职业背景与工作价值观 价值 取向 职业 制造业服务业总数 物质报酬1

22、0545150 人情关系402565 总数14570215 2021/3/2640 o由于表中的众值都出现在同一行（即第一行 中）,Lambda相关测量法的敏感性有问题。 my-My （105+45）-150 y= n-My = 215-150 =0 因此,在一些社会科学研究中会用另一种相关测量法,就是 古德曼和古鲁斯卡的tau-y系数。 2021/3/2641 tau-y相关测量法 oTau-y系数是属于不对称相关测量法,要求两个定类变量中 有一个自变量,另一个是依变量。其系数值介于0与1之间,具 有消减误差比例的意义。 o计算的步骤是,首先求出E1（不知X而预测Y时的全部误差） 和E2（知

23、道X预测Y时所犯的错误）,然后计算消减误差的比 例。 (n-Fy)Fy (Fx-f)f E1-E2 oE1= n E2= Fx tau-y= E1 o其中,n=全部个案数目; f=某条件次数; Fy=Y变量的某个边缘次数; Fx=X变量的某个边缘次数 2021/3/2642 o以表4-1为例,全部个案数目（n）是100,性别是自变量 （X）边缘次数（Fx）分别是60和40;志愿是依变量,边缘 次数（Fy）分别是40、50和10,表内有6个条件次数,每 者都代表同属于某项Y值与某项X值的个案数目（f）;将 这些数值代入tau-y公式,结果如下: E1=10(100-40)+50(100-50)+

24、10(100-10) / 100=58 E2=10(60-10)+40(60-40)+10(60-10) / 60 +30(40-30)+10(40-10)+0(40-0) / 40 =45 tau-y= (58-45)/58=0.224 2021/3/2643 o上述计算数值表明:（1）性别与志愿的相关程度为 0.224;（2）以性别来预测或估计志愿的话,能够消减 22.4%的误差。 o从上面公式可见,tau-y的预测准则包括全部边缘次数和 条件次数。 oTau-y测量法是考虑全部的次数,故其敏感高高于 Lambada测量法。 o如果是不对称关系,最好选用tau-y来简化两个变量的相 关情况

25、。 2021/3/2644 两个定序变量:Gamma,dy oGamma系数适用于分析对称的关系,dy适用于分析不 对称关系,两者的取值均在-1至+1之间;它们既表示相 关的程度,也表示相关的方向,且都有消减误差比例的意 义。 oGamma系数计算公式:对称相关测量法 Ns-Nd G= Ns+Nd o其中,Ns是同序对总数,Nd是异序对总数; o如果某对个案在两个变项上的相对等级是相同的,则称 为同序对,若不相同则称为异序对。 2021/3/2645 o例: 表4-4 四名学生的成绩等级 o四名学生有6对个案,A与C、B与C是同序对,因为A的数学、英语 成绩等级均低于C,B也是如此;A与B是异

26、序对,因为A的数学成绩 等级低于B,但其英语成绩高于B,同理A与D、B与D、C与D是异 序对。故表4-4中有2个同序对,4个异序对。 学生等级 数学英语 A42 B33 C21 D14 2021/3/2646 oGamma系数与dy系数根据Ns、Nd两数值来计算两个 定序变量的相关程度和相关方向。 o如Ns与Nd的相差越大,就表示两个变量的相关越强;如果 Ns大于Nd表示两变量成正比,反之,成反比。 o依表4-4数据,计算G系数 G=（2-4）/（2+4）=-0.33 o该统计值表示四名学生的数学等级与英语等级成反比, 相关程度是0.33 2021/3/2647 o萨默斯dy相关测量法:不对称

27、相关测量法 ody系数公式: Ns-Nd dy= Ns+Nd+Ty o其中,Ns=同序对总数,Nd=异序对总数,Ty=在因变量上 同分的对数 2021/3/2648 o例:表4-5 五个工厂的工人积极性与产量 工厂积极性等级产量等级 A55 B33 C41 D1.53 E1.53 2021/3/2649 oNs=4,Nd=3,Ty=2 ody=（4-3）/（4+3+2）=+0.11 o表明工人积极性与产量呈正相关,用工人积极性的高低 来预测或估计工厂产量的高代,可以消减11%的误差。 2021/3/2650 两个定距变量:简单线性回归与积矩相关 o简单线性回归:根据一个直线方程式,以一个自变量

28、（X） 的数值来预测一个因变量（Y）的数值。 o公式: Y=bX+a Y=bX+a 2021/3/2651 o例: 表 4-6 9名女青年的上学年期与家务劳动 妇女教育年限(X) 劳动小时(Y)XYX2Y2 A2510425 B248416 C3412916 D33999 E414161 F414161 G400160 H600360 I800640 总数36184717468 2021/3/2652 斜率与截距的计算 o斜率: (X-X)(Y-Y) n(XY)- XY b= (X-X)2 = n(X2)- (X)2 ob值表示回归系数,即自变量对依变量的影响大小和方向。 o截距: Y b(X) a= Y bX = n 2021/3/2653 o从表4-6可知, X=36, Y=18, XY=47,X2=174,Y2=68,n=9 9(47)-(36)(18) o b= 9(174)-(36)2 =-