[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(一)模拟174

1、专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)模拟174专升本(国家)考试密押题库与答案解析专升本高等数学(一)模拟174专升本高等数学(一)模拟174第卷(选择题)一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的问题:1. 若d为x2+y24所确定的区域，则d=_a.b.2c.4d.8答案:d解析 区域d为一个圆域，且其面积s=4 由二重积分的性质可得=2s=8 问题:2. 若x0为f(x)的极值点，则_a.f(x0)必定存在，且f(x0)=0b.f(x0)必定存在，但不一定为零c.f(x0)可能不存在d.f(x0)必定不存在答案:c解析 函数可能的极值点分为两种：一种

2、是在该点处的导数值不存在的点；另一种是使得一阶导数值为零的点(即驻点)因此可知c选项描述准确问题:3. 设z=x3-3x-y，则它在点(1，0)处_a.取得极大值b.取得极小值c.无极值d.无法判定答案:c解析 =-10，显然点(1，0)不是驻点，故其处无极值问题:4. 微分方程y+3y=x2的特解可设为y*=_a.ax2b.x(ax2+bx+c)c.axd.ax2+bx+c答案:b解析 齐次微分方程y+3y=0所对应的特征方程为r2+3r=0， 解得特征根为r1=-3，r2=0而非齐次方程的自由项为f(x)=x2，且=0为单特征根因此原方程的特解可设为y*=x(ax2+bx+c) 问题:5.

3、 若=xln(x+1)+c，则等于_a.2b.-2c.-1d.1答案:a考点 本题考查一元函数的导数及其极限 解析 因为=xln(x+1)+c，所以f(x)=xln(x+1)+c=ln(x+1)+，故=2 问题:6. 空间直线与平面x+2y-z+3=0的位置关系是_a.垂直b.平行但直线不在平面上c.直线在平面上d.既不平行也不垂直答案:c解析 直线的方向向量为s=(3，-1，1)，平面的法向量为，n=(1，2，-1)由于对应坐标不成比例，可知方向向量与法向量不平行而sn=31-12+1(-1)=0，可知直线与平面平行又知直线过点(1，-1，2)，且经验证该点在平面上，故直线在平面上问题:7.

4、 函数y=x2-x+1在区间-1，3上满足拉格朗日中值定理的等于_ a b0 c d1 答案:d解析 由于函数y=x2-x+1在区间-1，3上连续，在区间(-1，3)内可导，因此在-1，3上，y满足拉格朗日中值定理条件又y=2x-1，则存在(-1，3)，使得 f(3)-f(-1)=(2-1)3-(-1)， 即4(2-1)=7-3，解得=1 问题:8. 设函数f(x)=，则f(x)在x=0处_a.可导b.连续但不可导c.不连续d.无定义答案:a解析 由于f(x)是分段函数，且在各自区间内连续可导，因此 又=0=f(0)，故函数f(x)在x=0可导 问题:9. 微分方程y+y=0的通解为_a.ex

5、+cb.e-x+cc.cexd.ce-x答案:d解析 y+y=0为可分离变量微分方程，分离变量得=-dx 两边同时积分，可得通解为ln|y|=-x+c1，即y=ce-x 问题:10. 极限=_a.-1b.0c.1d.e答案:b解析 当x0时，变上限积分sintdt0，且e-x-10由洛必达法则，得 第卷(非选择题)二、填空题问题:1. 过原点且与直线垂直的平面方程为_答案:2x+y-3z=0考点 本题考查平面方程和平面与直线的关系 解析 由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n 由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)由于平面过原点，由平面的点

6、法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=0 问题:2. 设y=-f(x)是由方程x3-y3-3xy-9=0所确定的隐函数，则y=_答案:解析 解法一 将方程两端对x求导，可得3x2-3y2y-3y-3xy=0 整理得 y= 解法二 方程两端取微分，可得 d(x3-y3-3xy-9)=3x2dx-3y2dy-3(ydx+xdy) =(3x2-3y)dx-(3y2+3x)dy=0 因此 y= 问题:3. =_答案:ln|x+cosx|+c解析 利用凑微分法求解该不定积分，则有 =ln|x+cosx|+c 问题:4. 曲线y=x3-6x的拐点坐标为_答案:(0，0)解析 由y=x3-6x，得y=

7、3x2-6，y=6x令y=0，得到x=0 当x=0时，y=0当x0时，y0；当x0时，y0 因此点(0，0)是曲线y=x3-6x的拐点 问题:5. 方程y=2xy的诵解为_答案:y=解析 方程y=2xy为可分离变量微分方程，分离变量可得=2xdx 两边同时取积分可得lny=x2+c1，即通解为y= 问题:6. 若f(ex)=1+e2x，且f(0)=1，则f(x)=_答案:+x+1解析 由f(ex)=1+e2x，可知f(x)=1+x2两端积分可得 =，即f(x)=+x+c 又f(0)=c=1因此f(x)=+x+1 问题:7. 过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为_答案:考点 本题考查直线

8、的方程和直线与直线的关系 解析 由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)由直线的点向式方程可知所求直线方程为 问题:8. 当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p=_答案:-1解析 f(x)=3x2+3p，f(1)=3+3p=0，所以p=-1问题:9. 已知当x0时，-1与x2是等价无穷小，则a=_答案:2解析 由于当x0时，-1与x2是等价无穷小，则 因此可得a=2 问题:10. 过点(1，2，-1)且与直线垂直的平面方程为_答案:x-2y-3z=0解析 由于已知直线与平面垂直，且直线的方向向量为(1，-

9、2，-3)，因此所求平面的法向量可取为(1，-2，-3)又平面过点(1，2，-1)，由平面的点法式，可得平面方程为(x-1)-2(y-2)-3(z+1)=0，即x-2y-3z=0三、解答题共70分，解答应写出推理、演算步骤问题:1. 计算答案:解法一 分母先有理化，可得 解法二 换元法令t=，则x=t2，且当x1时，t1因此 问题:2. 计算答案:解法一 当x-8时，分子分母均趋于零，所求极限符合洛必达使用条件 解法二 用变量替换法进行求解 令t=，则x=t3，且当x-8时，t-2因此 问题:3. 计算(x+y2)dxdy，其中区域d由直线y=x，y=1与y轴围成答案:由积分区域的图形特征以及

10、被积函数的特征可知，积分区域d既可以表示成x型区域，又可以表示成y型区域 解法一 当积分区域看成x型区域时(即先对y积分，再对x积分)，区域d可表示为 0x1， xy1 因此 解法二 当积分区域看成y型区域时(即先对x积分，再对y积分)，区域d可表示为 0y1，0xy 因此 问题:4. 计算二重积分，其中d为曲线x=y2+1，直线x=0，y=0，y=1所围成的区域答案:由积分区域d的图形特征可知，把二重积分转化为先对x积分，再对y积分的二次积分更容易求解此时积分区域d可表示为 0xy2+1.0y1 因此 问题:5. 设答案:本题考查形式为参数方程的函数的求导的相关知识 由于 =6t2+6t=6

11、t(t+1)，=et+tet=(t+1)et， 因此 问题:6. 求函数f(x，y)=e2y(x2+2x+y)的极值答案:联立方程组 解得唯一驻点(-1，)并在该驻点处， a=2e，b=0，c=2e 由于ac-b2=4e20，且a0， 因此(-1，)为极小值点，且极小值为f(-1，)= 问题:7. 求微分方程y-2y-3y=e-2x的通解答案:齐次微分方程y-2y-3y=0对应的特征方程是 r2-2r-3=0 解得特征根r1=-1，r2=3 因此齐次方程的通解为y=c1e-x+c2e3x 原非齐次微分方程的自由项为f(x)=e-2x，且=-2不是特征根 则可设y*=ae-2x为原非齐次方程的一个特解，代入该方程可得 4ae-2x+4ae-2x-3ae-2x=e-2x 解得a=则y*=因此原微分方程的通解为 y=y+y*=c1e-x+c2e3x+(c1，c2为任意常数) 问题:8. 已知z=xy2，y=et，x=t3+t，求，dz答案:解法一 将y=et，x=t3+t代入z=xy2，则有 z=(t3+t)e2t 此时z变成关于t的一元函数因此可得 =(3t2+1)e2t+(t3+t)2