九年级下1.4_船有触礁的危险吗

1、 4.船有触礁的危险吗船有触礁的危险吗 1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. ,cossin c a BA 2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 A+B=900. 3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 ,sincos c b BA ,cottan b a BA .tancot a b BA 4、 互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB, tanA=cotB sinA=cosB, tanA=cotB. . 5、 同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1. . bA B C a c 回顾与思考回顾与思考 直角三角的边角关系 6、特殊角特殊角303

2、00 0,45,450 0,60,600 0角的三角函数值角的三角函数值. . 由锐角的三角函数值反求锐角由锐角的三角函数值反求锐角 A=A=A= A=A=A= A=A=A= 填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数 (逆向思维) 2 1 sinA 2 3 sinA 2 2 sinA 2 1 cosA 2 2 cosA 2 3 cosA 3 3 tanA3tan A 3tanA 0 30 0 60 0 45 0 60 0 45 0 30 0 30 0 60 0 45 求直角三角求直角三角未知的边和角未知的边和角的过程，叫做解直的过程，叫做解直 角三角形角三角形 解直角三角形：解直角三角形：

3、 现实生活中有许多问题需要通过解直角现实生活中有许多问题需要通过解直角 三角形来解决三角形来解决 BC 10 30 A A 如图，小船如图，小船B B自西向东行驶，自西向东行驶， 北 东 （1 1）在行驶过程中小船）在行驶过程中小船B B与小岛与小岛A A的距离是怎样变化的？的距离是怎样变化的？ （2 2）小船）小船B B在什么位置离小岛在什么位置离小岛A A的距离最近？的距离最近？ （3 3）如果小岛）如果小岛A A四周四周5 5海里的范围内有暗礁，海里的范围内有暗礁， 你能知道暗礁有可能在哪儿吗？你能知道暗礁有可能在哪儿吗？ 你能画出暗礁的大致区域吗？你能画出暗礁的大致区域吗？ （4 4）

4、如果）如果AMAM为为8 8海里，海里， AMC = 30AMC = 30, ,小船会不会小船会不会 触礁？为什么？触礁？为什么？ M 8 问题：问题：海中有一个小岛海中有一个小岛A,该岛四周该岛四周10海里内暗海里内暗 礁礁.今有货轮由西向东航行今有货轮由西向东航行,开始在开始在A岛南偏西岛南偏西550 的的B处处,往东行驶往东行驶20海里后到达该岛的南偏西海里后到达该岛的南偏西250 的的C处处.之后之后,货轮继续向东航行货轮继续向东航行. （2 2）如果货轮不改变航线）如果货轮不改变航线 继续向东航行，有没有触礁继续向东航行，有没有触礁 的危险？你是怎么想的？与的危险？你是怎么想的？与

5、同伴交流同伴交流. . （1 1）请你根据题意画图并标出）请你根据题意画图并标出 已知的边和角；已知的边和角； B A A CD 55 20 25 北 东 货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. ,25tan,55tan 00 x CD x BD .25tan,55tan 00 xCDxBD .2025tan55tan 00 xx .67.20 4663. 04281. 1 20 25tan55tan 20 00 海里 x B A A CD 55 20 25 x=20.67 10 北 东 解：过点A作AD交BC的延长线于点D. 设AD的长为x海里 w猜一猜猜一猜,这座古塔有多高这座古塔有多高 w

6、你能运用所学的数学知识测你能运用所学的数学知识测 出这座古塔的高吗出这座古塔的高吗? AB12 w小明在小明在A A处仰望塔顶处仰望塔顶, ,测得仰角测得仰角11的大的大 小为小为30, ,再往塔的方向前进再往塔的方向前进50m50m到到B B处处, , 又测得仰角又测得仰角22的大小为的大小为60, ,根据这些根据这些 他就求出了塔的高度他就求出了塔的高度. . 你会做的吗你会做的吗 铅铅 直直 线线 水平线水平线 视线视线 视线视线 仰角仰角 俯角俯角 1 2 w解解: :如图如图, ,根据题意可知根据题意可知,A=,A=30300 0,DBC=,DBC=60600 0,AB=,AB=50

7、m50m. . 设设CD=x,CD=x,则则ADC=ADC=60600 0,BDC=,BDC=30300 0, , ,tan,tan x BC BDC x AC ADC .30tan,60tan 00 xBCxAC .5030tan60tan 00 xx .43325 3 3 3 50 30tan60tan 50 00 mx 答答: :该塔约有该塔约有43m43m高高. . 老师期望:这道题你能有更简单的解法. D ABC 50m 300600 w某商场准备改善原有楼梯的安全性能某商场准备改善原有楼梯的安全性能, , 把倾角由原来的把倾角由原来的40400 0减至减至35350 0, ,已知原

8、楼已知原楼 梯的长度为梯的长度为4m,4m,调整后的楼梯会加长多调整后的楼梯会加长多 少少? ?楼梯多占多长一段地面楼梯多占多长一段地面?(?(结果精确结果精确 到到0.01m).0.01m). w请与同伴交流你是怎么想的请与同伴交流你是怎么想的? ? 准备怎么去做准备怎么去做? ? A B CD 建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观 察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为60,观察底部观察底部B的仰角的仰角 为为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m) B A C D 40 巩固练习：巩固练习： 在山脚在山脚C处测得山顶处测得山顶A的仰角

9、为的仰角为45问题如下问题如下: 沿着水平地面向前沿着水平地面向前300米到达米到达D点在点在D点测得山点测得山 顶顶A的仰角为的仰角为600 , 求山高求山高AB. D A B C 4560 巩固练习：巩固练习： C ABD A B CE 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如 在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角 三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题， 常通过作辅助线构造常通过作辅助线构造直角三角形直角三角形来解来解

10、. 温馨提示温馨提示 D 怎样解决一般三角形中的问题呢？怎样解决一般三角形中的问题呢？ 1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念的一些概念(仰角仰角,俯角俯角;方位角等方位角等) 2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形) A BC 典型题典型题1 . 如图，如图，ABC中，中，B=45， C=30，AB=2，求，求AC的长的长. 解：过解：过A作作ADBC于于D， 在在Rt ABD中中,B=45,AB=2， 2 2 2 D 4530 2 AD=ABsinB sinB = AB AD 在在RtACD中，中，C=30

11、 2=2sin45= 2 AC=2AD =22 问题问题: :如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯据测，灯 塔塔B B在观察站在观察站A A北偏西北偏西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东正东 方向，且相距方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察站与观察站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？ 2 12 北 A A B B C C10 210 F 在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形

12、求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形解直角三角形 (1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90； (3)边角之间的关系边角之间的关系: a b c (必有一边必有一边) c a B c b B c a B c a A c b A c a A tan,cos,sin tan,cos,sin 感悟：感悟：利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题 的一般步骤的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;

13、(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案. (有有“弦弦”用用“弦弦”; 无无“弦弦” 用用“切切”) 已知斜边求直边，已知斜边求直边， 已知直边求直边，已知直边求直边， 已知两边求一边，已知两边求一边， 已知两边求一角，已知两边求一角， 已知直边求斜边，已知直边求斜边， 计算方法要选择，计算方法要选择， 正弦余弦很方便正弦余弦很方便； 运用正切理当然运用正切理

14、当然； 函数关系要选好；函数关系要选好； 勾股定理最方便；勾股定理最方便； 用除还需正余弦用除还需正余弦； 能用乘法不用除能用乘法不用除. . 优选关系式优选关系式 CA B a b c 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏 西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察 站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？ 解：过点解：过点C C作作CD AB

15、,CD AB,垂足为垂足为D D 北 A A B B C C D D 2 10 52 210 F 灯塔灯塔B在观察站在观察站A北偏西北偏西45的方向的方向 B=45 sinB = CB CD CD=BCsinB=10sin45= 10 = 2 2 在在RtDAC中，中， sin DAC= AC CD 210 25 2 1 DAC=30 CAF=BAF -DAC=45-30=15 45 45 灯塔灯塔C处在观察站处在观察站A的北偏西的北偏西15的方向的方向 25 如图，在小岛上有一观察站如图，在小岛上有一观察站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏 西西45450 0的

16、方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察 站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？ 北 A B C 解：过点解：过点A A作作AEBCAEBC，垂足为，垂足为E,E, E 2 10 210 10 设CE=x 在在RtRtBAEBAE中，中，BAE=45BAE=45 AE=BE=10+xAE=BE=10+x 在在RtRtCAECAE中，中，AEAE2 2+CE+CE2 2=AC=AC2 2 x2+(10+x)2=(10)22 即：x2+10

17、 x-50=0 355, 355 21 xx (舍去) 355 灯塔灯塔C C处在观察站处在观察站A A的北偏西的北偏西1515 的方向的方向 sin CAE= AC CE 210 355 CAE15 45 1.在在Rt ABC中，中，C90，已知，已知a， A的值，则的值，则c的值为的值为 A. atanA B. asinA C. D. （ ） 2.在在Rt ABC中，中，C90，已知，已知 ，BC6， 则则AC ，AB . 3.在在RtABC中，中，C90，根据下列条件解直角三角形；，根据下列条件解直角三角形； (1) A45, a= 3; (2) c=8,b=4; A a cos sin

18、 a A 3 tan 4 A 思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余 元素呢？元素呢？ D 810 一个直角三角形中，若一个直角三角形中，若 已知五个元素中的两个已知五个元素中的两个 元素（其中必须有一个元素（其中必须有一个 元素是边），则这样的元素是边），则这样的 直角三角形可解直角三角形可解. . 2009沈阳中考沈阳中考 16如图，市政府准备修建一座高如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天的过街天 桥，已知天桥的坡面桥，已知天桥的坡面AC与地面与地面BC的夹角的夹角ACB的正的正 弦值为弦值为 ，则坡面，则坡面AC的长

19、度为的长度为 m 2008沈阳中考沈阳中考 14如图所示，某河堤的横断面是梯形如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD， BCAD，迎水坡，迎水坡AB长长13米，且米，且tanBAE ，则，则 河堤的高河堤的高BE为为 米米 BC D E A 5 12 5 3 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子 的顶端的顶端,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角一般要满足一般要满足 50 75.现有一个长现有一个长6m的梯子的梯子.问问: (1)使用这个梯子最高可以安全使用这个梯子最高可以安全 攀上多高的平房攀上多高的平房?(精确到精确到0.1m) 这个问题归结为这个问题归

20、结为: 在在RtABC中中,已知已知A= 75, 斜边斜边AB=6,求求BC的长的长 角角越大越大,攀上的高度就越高攀上的高度就越高. A C B 0 75sinABBC 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子 的顶端的顶端,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角一般要满足一般要满足 50 75.现有一个长现有一个长6m的梯子的梯子.问问: (2)当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m时时, 梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角等于多等于多 少少(精确到精确到1)?这时人这时人能否安能否安 全全使用这个梯子使用这个梯子? 这个问题归结为这个问题归结为: 在

21、在RtABC中中, 已知已知AC=2.4m,斜边斜边AB=6, ,求锐求锐 角角的度数的度数? A C B角角是否在是否在50 75内内 0 664 . 0 AB AC cos 例例1.如图，为了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电，在离电 线杆线杆22.7米的米的C处，用高处，用高1.20米的测角仪米的测角仪CD测测 得电线杆顶端得电线杆顶端B的仰角的仰角a22， 求电线杆求电线杆AB的高（精确到的高（精确到0.1米）米） 19.4.4 1.20 22.7 例例1.如图，为了测量电线杆的高度如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电，在离电 线杆线杆22.7米的米的C处，用高处

22、，用高1.20米的测角仪米的测角仪CD测测 得电线杆顶端得电线杆顶端B的仰角的仰角a22， 求电线杆求电线杆AB的高（精确到的高（精确到0.1米）米） 19.4.4 1.20 22.7 22 E 例例2:热气球的探测器热气球的探测器 显示显示,从热气球看一栋从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为 30,看这栋高楼底部看这栋高楼底部 的俯角为的俯角为60,热气球热气球 与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多这栋高楼有多 高高? =30 =60 120 A B C D 建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40m的的D处观处观 察旗杆顶部察旗杆顶部A的仰角为的仰角为50,观察底部观察底部B的仰角的仰角 为为45,求旗杆的高度求旗杆的高度(精确到精确到0.1m) B A C D 40 (课本课本93页页) 例例3.