大连理工大学信号16_时频分析方法

1、2021-8-8大连理工大学1 Part V 现代信号处理现代信号处理 大连理工大学硕士研究生校管课程大连理工大学硕士研究生校管课程 信号处理与数据分析信号处理与数据分析 电子信息与电气工程学部电子信息与电气工程学部 邱天爽邱天爽 2013年年12月月 2021-8-8大连理工大学2 第第16章章 时频分析方法时频分析方法 大连理工大学硕士研究生校管课程大连理工大学硕士研究生校管课程 信号处理与数据分析信号处理与数据分析 电子信息与电气工程学部电子信息与电气工程学部 邱天爽邱天爽 2012年年9月月 内容概要内容概要 16.1 16.1 概述概述 16.2 16.2 时频分析的概念时频分析的概

2、念 16.3 16.3 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 16.4 Gabor16.4 Gabor展开展开 16.5 Wigner-Ville16.5 Wigner-Ville分布分布 16.6 Cohen16.6 Cohen类时频分布类时频分布 16.7 16.7 时频分布的应用时频分布的应用 2021-8-8大连理工大学4 16.1 概述概述 2021-8-8大连理工大学5 随机信号广义平稳性概念的回顾随机信号广义平稳性概念的回顾 如果随机过程（随机信号）满足下述条件：如果随机过程（随机信号）满足下述条件： 则则 为宽平稳随机过程（随机信号）或广义平稳为宽平稳随机过程（随机信号）或广义平稳 随

3、机过程（随机信号）。随机过程（随机信号）。 2 11 ( )( ) ( ) ( )( )()()() XX X E X tt E Xt RE X t X tE X tt X tt )(tX 2021-8-8大连理工大学6 随机信号的一般特性随机信号的一般特性 随机信号在理论上可分为平稳和非平稳两大类；随机信号在理论上可分为平稳和非平稳两大类； 长期以来，由于理论和分析工具的局限性，常将许长期以来，由于理论和分析工具的局限性，常将许 多非平稳信号简化为平稳信号；多非平稳信号简化为平稳信号； 研究非平稳信号处理的研究非平稳信号处理的必要性必要性：实际应用中的许多：实际应用中的许多 信号是非平稳的，

4、简化为平稳信号处理，带来相应信号是非平稳的，简化为平稳信号处理，带来相应 的误差；的误差； 研究非平稳信号处理的研究非平稳信号处理的可行性可行性：自：自20世纪世纪80年代以年代以 来，非平稳信号处理理论与方法得到迅速发展和应来，非平稳信号处理理论与方法得到迅速发展和应 用，出现了许多非平稳信号分析处理的方法，其主用，出现了许多非平稳信号分析处理的方法，其主 要部分为：时频分析。要部分为：时频分析。 2021-8-8大连理工大学7 非平稳信号的特性非平稳信号的特性 非平稳信号的统计特性是随时间变化的。非平稳信号的统计特性是随时间变化的。 图16-1 非平稳随机信号举例。(a) 时变均值 的情况

5、 (b) 时变均方值 的情况 ( ) x m t ( ) x D t 2021-8-8大连理工大学8 非平稳信号的统计特征非平稳信号的统计特征 非平稳随机信号的统计特征是时间的函数非平稳随机信号的统计特征是时间的函数 信号具有时变均值，时变方差，相关函数与时间信号具有时变均值，时变方差，相关函数与时间 起点有关起点有关 均方值估计为：均方值估计为： 可以证明此估计为无偏估计，即可以证明此估计为无偏估计，即 ( )( ) xx E m tm t 2 1 ( )( ) xx Var m tt N 2 1 1 ( )( ) N xx i D tx t N ( )( ) xx E D tD t 202

6、1-8-8大连理工大学9 非平稳信号的统计特征（续）非平稳信号的统计特征（续） 非平稳信号的方差特性一般分析比较困难。非平稳信号的方差特性一般分析比较困难。 但若非平稳信号但若非平稳信号x(t)在任意在任意t 时刻服从均值为时刻服从均值为 ， 方差为方差为 的高斯分布，可以证明有：的高斯分布，可以证明有： 当当 时，时， 。故这种情况的。故这种情况的 是一是一 致估计。致估计。 ( ) x m t 2 ( ) x t 224 2 Var( )( )( ) xxx D tD tm t N N 2 Var()0 x D t ( ) x D t 2021-8-8大连理工大学10 非平稳信号的相关函数

7、非平稳信号的相关函数 设非平稳随机信号设非平稳随机信号 的的2阶联合概率密度函数阶联合概率密度函数 为为 ，其自相关函数定义为，其自相关函数定义为 x,y的互相关函数定义为的互相关函数定义为 为为x,y的的2阶联合概率密度函数。阶联合概率密度函数。 自协方差函数与互协方差函数定义为自协方差函数与互协方差函数定义为 12 ,x x 1212 ( ,; , )p x x t t 121212121212 ( , ) ( ) ( )(,; , )d d xx rt tE x t x tx x p x x t tx x 121212 ( , ) ( ) ( )( , ; , )d d xy rt tE

8、 x t y txyp x y t tx y 12 ( , ; , )p x y t t 121222 121222 ( , ) ( )() ()() ( , ) ( )() ()() xxxx xyxy Ct tEx tmtx tmt Ct tEx tmty tmt 2021-8-8大连理工大学11 分析非平稳信号的主要方法分析非平稳信号的主要方法 时频时频 分析法分析法 线性变换的线性变换的 时频分析法时频分析法 短时傅里短时傅里 叶变换叶变换 Gabor变换变换小波变换小波变换 非线性变换的非线性变换的 时频分析法时频分析法 Wigner-Ville 分布分布 Cohen类类 时频分布时

9、频分布 2021-8-8大连理工大学12 时频分析举例：分段正弦信号时频分析举例：分段正弦信号 2021-8-8大连理工大学13 时频分析举例：线性调频信号时频分析举例：线性调频信号 2021-8-8大连理工大学14 16.2 时频分析的概念时频分析的概念 2021-8-8大连理工大学15 信号的时宽概念信号的时宽概念 用用 表示信号的能量密度，即瞬时功率。表示信号的能量密度，即瞬时功率。 信号的时间中心：信号的时间中心： 信号的均方持续：信号的均方持续： 信号的时宽：信号的时宽： 各量之间的关系：各量之间的关系： 2 | ( )|s t 2 0 | ( )| dttt s tt 222 |

10、( )| dtts tt 1/21/2 2222 0 () | ( )| d() | ( )| d t tts tttts tt 22 t tt 2021-8-8大连理工大学16 信号的频宽概念信号的频宽概念 用用 表示信号的能量谱密度。表示信号的能量谱密度。 信号的频率中心：信号的频率中心： 信号的带宽：信号的带宽： 各量之间的关系：各量之间的关系： 2 | ( ) |S 2 0 1 | ( )| d 2 S 1/21/2 2222 0 11 () | ( )| d() | ( )| d 22 SS 222 222 | ( )| dS 2021-8-8大连理工大学17 Hilbert变换与解

11、析信号变换与解析信号 实信号实信号 的的Hilbert变换变换定义为：定义为： 式中，式中， 为实变量，为实变量， 表示表示 的的Hilbert变换。变换。 Hilbert变换的反变换：变换的反变换： 解析信号解析信号： 与实信号与实信号 对应的解析信号对应的解析信号 定义为定义为 ， 其中其中 构成解析信号的算子。构成解析信号的算子。 ( )s t 1( )1 ( )d( )*( )* ( ) ( ) s x ts ts th tH s t tt , t ( )H s t( )s t 11( ) ( )* ( )d x s tx t tt ( )s t( )z t( ) ( )z tA s

12、t ( )( )j ( )A s ts tH s t 2021-8-8大连理工大学18 Hilbert变换与解析信号的作用变换与解析信号的作用 在自然界中，信号都是实的。在自然界中，信号都是实的。 由傅里叶变换，实信号的能量普密度是偶函数，其中由傅里叶变换，实信号的能量普密度是偶函数，其中 心频率为心频率为0. 这显然是荒谬的。这显然是荒谬的。 导致导致0中心披绿的原因是没有对信号做恰当的描述。中心披绿的原因是没有对信号做恰当的描述。 需要根据给定的实信号定义新信号，得到只有非负频需要根据给定的实信号定义新信号，得到只有非负频 率成分的复信号。率成分的复信号。 这种定义靠这种定义靠Hilber

13、t变换完成，所得到的复信号即为变换完成，所得到的复信号即为 解析信号。解析信号。 2021-8-8大连理工大学19 瞬时频率与群延迟瞬时频率与群延迟 瞬时频率：设复信号瞬时频率：设复信号 ，其瞬时频率为：，其瞬时频率为： 瞬时频率与傅里叶频率的区别：瞬时频率与傅里叶频率的区别： 傅里叶频率是一个独立的量，瞬时频率是时间的函数。傅里叶频率是一个独立的量，瞬时频率是时间的函数。 傅里叶频率与傅里叶变换关联，瞬时频率与傅里叶频率与傅里叶变换关联，瞬时频率与Hilbert变换关联。变换关联。 傅里叶频率是全局量，瞬时频率是局部量。傅里叶频率是全局量，瞬时频率是局部量。 群延迟：设频域信号群延迟：设频域

14、信号 ，则信号，则信号 的的 群延迟为：群延迟为： j ( ) ( )( )e t s ta t d ( )( ) d i tt t j() ( )| ( )|eSS ( )s t d( ) ( )( ) d g t 2021-8-8大连理工大学20 不确定原理（测不准原理）不确定原理（测不准原理） 对于信号分析而言，不确定原理表明：信号的时宽和对于信号分析而言，不确定原理表明：信号的时宽和 带宽不可能同时任意地窄，即信号的时宽带宽之积不带宽不可能同时任意地窄，即信号的时宽带宽之积不 可能无限地小，定量地：可能无限地小，定量地： 信号不确定原理表明：不可能存在或构造一个时宽和信号不确定原理表明

15、：不可能存在或构造一个时宽和 带宽都任意小的信号。带宽都任意小的信号。 1 2 t 2021-8-8大连理工大学21 时频分布与模糊函数的定义时频分布与模糊函数的定义 非平稳信号的时变自相关函数：非平稳信号的时变自相关函数： 式中，式中， 为窗函数，为窗函数， 为局部相关函数。为局部相关函数。 时变功率谱，时变功率谱，即时频分布即时频分布： 模糊函数模糊函数：对：对 作关于作关于 的傅里叶逆变换，的傅里叶逆变换， 则：则： * ( , )(, ) ()()d 22 R th uts us uu ( , )h t ( , )R t j ( )( , )edPR t *j ( , )()()ed

16、22 t As ts tt * ()() 22 s ts t t 2021-8-8大连理工大学22 时频分析的发展时频分析的发展 1932年，年，Wigner在量子力学研究中提出了一些解决在量子力学研究中提出了一些解决 这些问题的方法；这些问题的方法； 1948年，年，Ville将这一概念引入信号处理领域，得到了将这一概念引入信号处理领域，得到了 著名的著名的WignerVille时频分布（时频分布（WVD）；）； 1966年，年，Cohen提出了新的时频分布方法；提出了新的时频分布方法； 1980年代，又提出了十余种信号时频分布方法；年代，又提出了十余种信号时频分布方法； 20世纪世纪80年

17、代后期发展起来的小波变换理论，可以认年代后期发展起来的小波变换理论，可以认 为是时频分析的又一种形式。后面章节介绍。为是时频分析的又一种形式。后面章节介绍。 目前，时频分析在许多领域得到广泛的应用。目前，时频分析在许多领域得到广泛的应用。 2021-8-8大连理工大学23 16.3 短时傅里叶变换短时傅里叶变换 2021-8-8大连理工大学24 经典傅里叶变换存在的问题经典傅里叶变换存在的问题 傅里叶变换傅里叶变换 存在的问题存在的问题 傅里叶变换不能给出信号在不同时段上的频率信傅里叶变换不能给出信号在不同时段上的频率信 息信息或结构；息信息或结构； 傅里叶变换不能给出随时间变化的频谱。傅里叶

18、变换不能给出随时间变化的频谱。 2021-8-8大连理工大学25 举例举例 设信号设信号 由由3段频率不同的正弦信号构成，如左图：段频率不同的正弦信号构成，如左图： 右下图为该信号的频谱与时频分析结果（时频谱）右下图为该信号的频谱与时频分析结果（时频谱） ( )x t 2021-8-8大连理工大学26 短时傅里叶变换（短时傅里叶变换（STFTSTFT） 思路：思路：在时间轴上滑动固定的时间窗，将在时间轴上滑动固定的时间窗，将x(t)划分划分 成多段相同时长的短时信号。在短时内，把信号看成多段相同时长的短时信号。在短时内，把信号看 作平稳的。作平稳的。 STFT的定义：的定义： 其中信号其中信号

19、x(t)是慢变的，是慢变的， 是短时窗函数，是短时窗函数，*表示共轭表示共轭 STFT与与Fourier变换的关系变换的关系 STFT是加窗的是加窗的Fourier变换；变换； STFT是时间和频率的二维函数。是时间和频率的二维函数。 *j2 STFT ( ,)( )()ed fu x t fx u w utu *( ) w t 2021-8-8大连理工大学27 短时傅里叶变换的主要性质短时傅里叶变换的主要性质 STFT是一种线性时频变换；是一种线性时频变换； STFT具有频移特性：具有频移特性： STFT具有时移特性：具有时移特性： 0 j2 0 ( )( )eSTFT ( ,)STFT(

20、,) f t x x tx tt ft ff 00 ( )()STFT ( ,)STFT(,) x x tx ttt fttf If( )STFT ( ,),( )STFT ( ,) Then ( )( )STFT ( ,)STFT ( ,) xy xy x tt fy tt f ax tby tat fbt f 2021-8-8大连理工大学28 短时傅里叶变换示意图短时傅里叶变换示意图 2021-8-8大连理工大学29 STFTSTFT的逆变换的逆变换 将短时傅里叶正变换式带入上式，有将短时傅里叶正变换式带入上式，有 注意到：注意到： 因此因此 当当 时，上式的积分存在。时，上式的积分存在。

21、 j2 ( )STFT ( ,) ()ed d fu x z ut f g utt f *j2j2 j2 ()* ( )( )()ed ) ()ed d ed ( )() ()d d ftfu f tu z ux t w utt g utt f f x t w tt g utt t j2 () ed() f tu ftu * ( )() ( )() ()d dz utu x t w tt g utt t tu 2021-8-8大连理工大学30 当当 则表示，由上式可以完全重构。则表示，由上式可以完全重构。 完全重构的条件：完全重构的条件： 可以令可以令 ，则完全重构条件为，则完全重构条件为 S

22、TFT的逆变换可以写成：的逆变换可以写成： * * ( )( )() ()d ( )( ) ( )d z ux uw ut g utt x uw t g tt ( )( )z ux u *( ) ( )d 1w t g tt ( )( )g tu t 2 ( ) d1w tt j2 ( )STFT ( ,) ()ed d f t x z utfw ttt f 2021-8-8大连理工大学31 STFT STFT存在的问题（测不准原理）存在的问题（测不准原理） 对于能量有限的任意信号（窗函数）对于能量有限的任意信号（窗函数） ，其时宽和带，其时宽和带 宽的乘积总是满足下面的不等式：宽的乘积总是满

23、足下面的不等式： 其中其中 是信号的时宽，是信号的时宽， 是信号的带宽。是信号的带宽。 不相容原理表明：不相容原理表明：信号的时间分辨率和信号的频率分辨信号的时间分辨率和信号的频率分辨 率是一对矛盾的物理量，不能同时提高信号的时间分辨率是一对矛盾的物理量，不能同时提高信号的时间分辨 率和信号的频率分辨率。率和信号的频率分辨率。 不同类型的窗函数对不同类型的窗函数对STFT的影响不一样。的影响不一样。 ( )w t 1/ 2 ww T B w Tw B 2021-8-8大连理工大学32 离散离散STFTSTFT变换变换 在时频域对（在时频域对（t,f）进行等间隔采样得）进行等间隔采样得(nT，k

24、F) 将将 离散化离散化: 逆变换离散化：逆变换离散化： *j2()() STFT ( , )( )()e kFnT x n m kx n w nm STFT ( ,) x t f j2()() ( )STFT ( , ) ()e kFnT x mk x nm k g nm 2021-8-8大连理工大学33 窗长对窗长对STFTSTFT的影响的影响 根据不相容原理，窗长对根据不相容原理，窗长对STFT的性能有很大影响。的性能有很大影响。 若窗长为单位冲激信号，时宽为若窗长为单位冲激信号，时宽为0，则其带宽为无穷大。，则其带宽为无穷大。 若窗函数是常数若窗函数是常数1，则带宽为，则带宽为0. 2

25、021-8-8大连理工大学34 窗函数类型对窗函数类型对STFTSTFT的影响的影响 窗函数的旁瓣泄漏影响窗函数的旁瓣泄漏影响STFT的性能。的性能。 高斯窗函数的时宽带宽积高斯窗函数的时宽带宽积=1/2，有最好的时频聚集性，有最好的时频聚集性， 可以获得最好的时间分辨率和频率分辨率。可以获得最好的时间分辨率和频率分辨率。 2021-8-8大连理工大学35 16.3 GaborGabor展开展开 2021-8-8大连理工大学36 GaborGabor展开（又称展开（又称GaborGabor变换）的概念变换）的概念 是用窗函数及其时移和频移（或称为调制）形成的是用窗函数及其时移和频移（或称为调制

26、）形成的 函数系对信号进行展开，展开系数就是信号的函数系对信号进行展开，展开系数就是信号的 GaborGabor变换。变换。 与傅里叶分析不同，与傅里叶分析不同，GaborGabor展开是一种非正交分解，展开是一种非正交分解， 即其基函数是非正交的。即其基函数是非正交的。 GaborGabor展开是由原始信号得到展开是由原始信号得到GaborGabor系数的过程；系数的过程； GaborGabor综合则是由综合则是由GaborGabor系数重构原始信号的过程。系数重构原始信号的过程。 2021-8-8大连理工大学37 GaborGabor综合的定义综合的定义 GaborGabor综合：综合：

27、其中：其中： 为分解系数，为分解系数， 和和 分别为时间和频率分别为时间和频率 采样间隔。窗函数采样间隔。窗函数 为为GaborGabor基函数。基函数。 是由是由 平移和时移构造的。称为原子。平移和时移构造的。称为原子。 信号信号 被分解为被分解为 个原子之和。每个原子有个原子之和。每个原子有 特定的时移和频移。特定的时移和频移。 若若 ，称为临界分解；，称为临界分解； 称为过采样分解。称为过采样分解。 j2 ( )( ) ( )()e mkmk mk kFt mk x tagt gtg tmT mk aT F ( )g t ( ) mk gt ( )g t ( )x tmk 1TF 1TF

28、 2021-8-8大连理工大学38 窗函数及其窗函数及其GaborGabor原子的构成原子的构成 说明：说明： 高斯窗函数；高斯窗函数； 5Hz频移的原子；频移的原子； 时移时移1.5s且频移且频移 15Hz的原子；的原子； 矩形窗函数；矩形窗函数； 频移频移5Hz的原子；的原子； 时移时移1.5s且频移且频移 15Hz的原子的原子. 2021-8-8大连理工大学39 GaborGabor展开（变换）的定义展开（变换）的定义 GaborGabor综合：综合： 其中：其中： 为一个辅助窗函数，称为分析窗函数。为一个辅助窗函数，称为分析窗函数。 是是 经过时移和频移构造的。经过时移和频移构造的。

29、GaborGabor展开或重构的关键是选择窗函数（分析窗函展开或重构的关键是选择窗函数（分析窗函 数和综合窗函数）。选择数和综合窗函数）。选择 ，按照展开式计算，按照展开式计算 GaborGabor系数；或选择系数；或选择 ，按照综合式重构信号。，按照综合式重构信号。 T ( )g t * j2 ( )( )d ( )()e mkmk kFt mk ax t wtt wtw tmT ( ) mk wt ( )w t ( )w t ( )w t 2021-8-8大连理工大学40 两个窗函数应该满足的关系两个窗函数应该满足的关系 上式称为上式称为 与与 的双正交关系。的双正交关系。 即只要即只要

30、和和 中任何一个不为中任何一个不为0 0，则，则 与与 正交。正交。 与与 互换之后，双正交关系依然存在。互换之后，双正交关系依然存在。 *j2 ( )()ed( ) ( ) kFt g t w tmTtmk ( )w t( )g t mn ( )w t()gt ( )w t( )g t 2021-8-8大连理工大学41 应用举例：线性调频信号的时频分析应用举例：线性调频信号的时频分析 2021-8-8大连理工大学42 16.3 Wigner-VilleWigner-Ville分布分布 2021-8-8大连理工大学43 Wigner-Ville分布分布 WignerVille分布（分布（WVD

31、）是最早出现的时频分）是最早出现的时频分 布，许多其他时频分布可以看作其加窗形式。布，许多其他时频分布可以看作其加窗形式。 WVD是信号是信号 瞬态自相关函数的傅里叶变换。瞬态自相关函数的傅里叶变换。 定义：定义： 上式可称为上式可称为自自WVD。 互互WVD定义为：定义为： ( )x t *j ( , )()()ed 22 x W tx tx t *j , ( , )()()ed 22 x y Wtx ty t 2021-8-8大连理工大学44 WVD的另一种形式的另一种形式 自自WVD： 互互WVD： 式中：式中： 是对是对 相对相对 做傅里叶变换并经整做傅里叶变换并经整 理的结果。理的结

32、果。 WVD在时域和频域有很好的对称形式。在时域和频域有很好的对称形式。 若若 ，则，则 () 2 x t *j 1 ( , )()()ed 222 t x W tXX j , ( , )( , )ed x yxy WtRt *j , 1 ( , )()()ed 222 t x y WtXY ( )X * ( , )()() 22 xy Rtx ty t 2021-8-8大连理工大学45 离散离散Wigner-Ville分布分布 *j2 *j2 ( , )2()()e 1 ( , )()()ed k x k n x W nx nk x nk W nSS 2021-8-8大连理工大学46 Wig

33、ner-Ville分布的主要性质分布的主要性质 对称性（奇、偶、虚、实性）：对称性（奇、偶、虚、实性）： 不论不论 是实信号还是复信号，均有是实信号还是复信号，均有 若若 为是信号，则有为是信号，则有 互互WVD满足满足 平移不变性：平移不变性： 时移不变性：时移不变性： 频移不变性：频移不变性： ( )x t * ( , )( , ) xx W tWt ( ,)( ,) xx W tWt * , ( , )( ,) x yy x WtWt 00 WVD ()=(, ) x x ttW tt 0 j 0 WVD ( )e=( ,) t x x tW t 2021-8-8大连理工大学47 边缘性

34、：边缘性： 时间边缘性：时间边缘性： 频率边缘性：频率边缘性： WVD的总能量：的总能量： 2 1 ( )( , )d| ( )| 2 xx P tW tx t 2 ( )( , )d|( )| xx PW ttX 2 1 ( ,)d d| ( )| d 2 x EW tts tt 2021-8-8大连理工大学48 弱支撑性：弱支撑性： 信号的信号的WVD与信号本身有相同的时频支撑区，即：与信号本身有相同的时频支撑区，即： 表明，因果信号的表明，因果信号的WVD仍然是因果的。仍然是因果的。 尺度变换性：尺度变换性： 加运算性：加运算性： 若若 则则 1212 1212 ( )0, , ( ,

35、)0, , ( )0,( , )0, x x x ttt tW ttt t XW t WVD | ()=(,),0 x a x atW ata a 12 12 WVD ( )=( , ),WVD( )=( , ) xx x tWtx tWt 121 2 12 WVD ( )( )=( , )( , )2Re( , ) xxx x x tx tWtWtWt 2021-8-8大连理工大学49 乘积与卷积运算：乘积与卷积运算： 若：若： 则：则： 整体平均（时间平均、频率平均，时宽，带宽）整体平均（时间平均、频率平均，时宽，带宽） 12 12 WVD ( )=( , ),WVD( )=( , ) x

36、x x tWtx tWt 12 12 12 12 1 WVD ( )( )=( , )( ,)d 2 WVD ( )*( )=( , )(, )d xx xx x t x tWtWt x tx tWtWt (WVD) (WVD) (WVD) (WVD) tt tt 2021-8-8大连理工大学50 局部平均（群延迟与瞬时频率）：局部平均（群延迟与瞬时频率）： 设信号写为解析信号形式，即：设信号写为解析信号形式，即： ，其，其 频谱为：频谱为： 则群延迟：则群延迟： 瞬时频率：瞬时频率： j ( ) ( )( )e t x ta t j() ( ) |( )|eXX (WVD) ( )( ) i

37、t tt (WVD) ( )( ) g ttt 2021-8-8大连理工大学51 WVD运算举例：运算举例： 设信号设信号 由定义由定义 积分区间：积分区间： 得到：得到： 1, | | ( ) 0, | | tT x t tT *j ( , )()()ed 22 x W tx tx t 2222TtTt 2sin2 (| |) , | | ( , ) 0, , | | x Tt tT W t tT 2021-8-8大连理工大学52 WVD运算举例：运算举例： 设信号设信号 由定义计算得到由定义计算得到 *j 2 0 ( , )()()ed 22 2 |() x W tx tx t A 0 j

38、 ( )e t x tA 与时间无关，与时间无关， 平稳信号。平稳信号。 2021-8-8大连理工大学53 WVD运算举例（交叉项的影响）运算举例（交叉项的影响） 设信号由设信号由3个不同频率的复指数信号构成。个不同频率的复指数信号构成。 2021-8-8大连理工大学54 Wigner-Ville分布的缺陷分布的缺陷 由由WVD的运算法则知，两信号的的运算法则知，两信号的WVD有交叉项存有交叉项存 在，使得两个信号之和的在，使得两个信号之和的WVD不是两个信号各自不是两个信号各自 WVD之和。之和。 由于由于WVD是信号能量随时间频率的分布，因此理是信号能量随时间频率的分布，因此理 应始终为正

39、。但实际上并非如此。因为应始终为正。但实际上并非如此。因为WVD是瞬是瞬 时相关的傅里叶变换，不能保证永远为正值。时相关的傅里叶变换，不能保证永远为正值。 多年来，出现了一系列的多年来，出现了一系列的WVD的改进算法，包括：的改进算法，包括： Kirkwood分布、分布、Page分布、分布、Choi-Villiams分布等。分布等。 1966年，年，Cohen将这些分布统一为双线性时频分布，将这些分布统一为双线性时频分布， 称为称为Cohen类时频分布。类时频分布。 2021-8-8大连理工大学55 16.6 CohenCohen类时频分布类时频分布 2021-8-8大连理工大学56 Cohe

40、n类时频分布的概念类时频分布的概念 信号信号 的时频分布可以用下式的一般形式给出：的时频分布可以用下式的一般形式给出： 式中，式中， 为核函数，它决定了时频分布的种类、为核函数，它决定了时频分布的种类、 形式和性质。形式和性质。 核函数还可以是时间和频率的函数，即为核函数还可以是时间和频率的函数，即为4个变量个变量 （时间、频率、时延、频偏）的函数。常用的核函（时间、频率、时延、频偏）的函数。常用的核函 数与时间频率无关，具有时、频移不变性。数与时间频率无关，具有时、频移不变性。 ( )x t ( , ) *j() *j() 2 1 ( , )()() ( , )ed d d 222 1 (

41、, )()() ( , )ed d d 422 tu tu C tx ux uu C tXuXuu 2021-8-8大连理工大学57 Cohen分布对核函数的要求分布对核函数的要求 总能量与边缘特性：总能量与边缘特性： 时间边缘：时间边缘： 频率边缘：频率边缘： 信号总能量：信号总能量： 实值性：实值性： 平移不变性：平移不变性： 设设 ，则，则 (0, )1 ( ,0)1 (0,0)1 * ( , )(,) 0 j sh0 ( )()e t xts tt sh00 ( , )(,)CtC tt 2021-8-8大连理工大学58 尺度不变性：尺度不变性： 设设 ，则，则 核函数续满足：核函数续

42、满足： 支撑性：支撑性： ( ,)( , )c c sc( ) ()xtcs ct sc( , ) ( ,)CtC ct c j j ( , )ed0,| 2| | ( , )ed0,| 2| t t 2021-8-8大连理工大学59 Cohen类时频分布的四种等价形式类时频分布的四种等价形式 WVD实际上是能量域平面的时频表示，以时间实际上是能量域平面的时频表示，以时间 和频率和频率 为变量。模糊函数为相关域平面的时频表为变量。模糊函数为相关域平面的时频表 示，以时延示，以时延 和频移和频移 为变量。为变量。 WVD与模糊函数为二维傅里叶变换对。与模糊函数为二维傅里叶变换对。 实际上，实际上

43、， 中的任意中的任意2个可组成一个二维分布：个可组成一个二维分布： WVD和模糊函数各为一组二维分布。和模糊函数各为一组二维分布。 瞬时相关是时间和时移的二维分布；瞬时相关是时间和时移的二维分布； 点谱相关函数是频率和频移的二维分布：点谱相关函数是频率和频移的二维分布： t , ,t * ( , )()() 22 KXX 2021-8-8大连理工大学60 等价形式等价形式I：广义：广义WVD 是时频域中核函数与是时频域中核函数与WVD的卷积形式。的卷积形式。 式中，式中， 是是 的二维傅里叶变换。的二维傅里叶变换。 等价形式等价形式II： 是模糊域中广义模糊函数的二维傅里叶变换是模糊域中广义模

44、糊函数的二维傅里叶变换 ( , ) 1 ( ,)( ,)*( ,) 2 C ttW t ( , )t j() 1 ( , )( , ) ( , )ed d 2 t C tA 2021-8-8大连理工大学61 等价形式等价形式III： 是瞬时自相关函数与核函数的卷积形式。是瞬时自相关函数与核函数的卷积形式。 式中，式中， 为广义瞬时自相关函数。为广义瞬时自相关函数。 等价形式等价形式IV： 点谱域中点谱相关函数与核函数的卷积。点谱域中点谱相关函数与核函数的卷积。 式中，式中， 为广义点谱相关函数为广义点谱相关函数 ( , )g t j() ( ,)( , )ed ( , )C tg tF g t j() 1 ( , )( , )ed ( , ) 2 t t C tGF G ( , )G 2021-8-8大连理工大学62 四种等价形式的关系四种等价形式的关系 WVD 、模糊函数、模糊函数 、瞬时相关函数、瞬时相关函数 和点谱相关函数和点谱相关函数 是是Cohen类的四