关于函数极限教学的改革与实践

1、 关于函数极限教学的改革与实践 1.函数极限教学的难点所在函数极限是讨论函数y=f（x）在自变量x为如下的六种变化趋势下，函数因变量y随着自变量x的变化而变化的规律性.函数自变量x的六种变化趋势是：1）xx；2）xx；3）xx；4）x；5）x+；6）x-。当x是上面六种变化情况的某一种时，若函数的因变量y越来越接近于某一常量a，则我们称当x趋向于某个东西时，f（x）以a为极限.但这是只是描述性定义，而非精确定义.此外，我们还需要考虑x趋向于某个数值时，f（x）以，或+或-为函数极限的定义，因此，讲函数极限时，将有二十四个函数极限的定义，讨论函数极限的概念后，我们还要讲函数极限的相关性质，主要有

2、：（1）极限的唯一性；（2）有界性；（3）保号性.关于这个方面有不少的定理.然而事实上，没有一本教材能全部介绍相关定义并证明相关性质.而学生面对这么多的定义及相关性质证明也往往是一头雾水，所有这些，正是函数极限教学的难点所在，也是多年来高等数学教学中没有解决的一个重要问题.2.函数极限教学的探索与实践2.1定义的改进用“xw”表示x趋向于xx；xx；xx；x；x+；x-六种情形中的任意一种，简称当x趋向于某个东西，则函数极限的表达式可改为：f（x）=a，这里的a可取，或+或-，从而将二十四个极限情形统一到一个表达式中。当然a为有限值时，称极限存在；a为无穷时，称极限不存在.2.2函数极限定义的

3、探索2.2.1当a为有限值，即极限存在时，函数极限的定义探索.对极限f（x）=a，我们定义为：?坌0，?埚“w”的某个范围，只要x属于“w”的这个范围，就有|f（x）-a|成立，即f（x）u（a，），则称xw时，f（x）以常数a为极限，记为f（x）=a.例1.f（x）=a可定义为：?坌0，?埚u（x，）（0），当xu（x，）时，就有f（x）u（a，），则称f（x）=a.例2.f（x）=a可定义为：?坌0，?埚（x，x+）（0），当x（x，x+）时，就有f（x）u（a，），则称f（x）=a.例3.f（x）=a可定义为：?坌0，?埚某个范围（m，+）（m0），当x（m，+）时，就有f（x）u（a，

4、），则称f（x）=a.总之，可将所有有限极限的情况归于一个模式列出，让学生对照比较，找出其共性，从而加深对概念的认识和理解.2.2.2xw时，f（x）以无穷为极限定义的探索.有了前面的讨论，我们可给出f（x）=或f（x）=+或f（x）=-的定义：?坌m0，?埚“w”的某个范围，当x属于“w”的这某个范围时，f（x）属于关于m的某个范围，则称xw时，f（x）以无穷为极限.例4.f（x）=可定义为：?坌m0，?埚u（x，）（0），当xu（x，）时，有f（x）（-，-m）u（m，+），即|f（x）|m.例5.f（x）=+可定义为：?坌m0，?埚m0，当x（-，-m）时，有f（x）（m，+），即f（x

5、）m.我们也可将十八个定义列出让学生比较，并引导学生思考，从而掌握上述十八种定义的精髓.3.关于极限性质的教学改革探索有了上述改进，关于极限性质，我们也可以根据不同情况将某一性质放在同一地方来讲.例如讲极限唯一性，证明当f（x）为有限极限时，则极限是唯一的，可分别将：f（x）=a及f（x）=a极限的唯一性放到一块证明；f（x）=a及f（x）=a极限的唯一性也放在一块证明.通过其证明过程，学生会发现证明的过程只是稍微改变就可以了.在极限性质的教学过程中都可以做类似的处理，通过分析和引导，让学生发现函数极限真正的内涵和本质.例如在局部保号性情况方面：对f（x）=a，若a0与f（x）=a，a0两种情形中：第一个说明在x的某个领域内，即xu（x，）时，有f（x）0；第二个说明在x足够大时，即x（m，+）（m0）时，有f（x）0.通过这种比较，学生会对极限的性质有一个本质的认识，即若a0，只要x属于一定的范围，则这个范围内的函数值都大于零.4.结语高等数学的教学改革是当前必须面对的一个重大课题，在中学数学课程改革的背景