原子弹爆炸的能量估计

1、优优 化化 建建 模模 第第1讲讲 欢迎参加数学建模竞赛暑期培训欢迎参加数学建模竞赛暑期培训 优优 化化 建建 模模 一、问题背景：一、问题背景： 两年以后，美国政府首次公开了这次爆炸的录影带，没有发 布任何有关的数据。如何对原子弹爆炸的能量进行估计？ Taylor通过研究这次爆炸的录影带，建立数学模型对这次爆 炸所释放的能量进行了估计。 1945年7月16日上午5时24分，美国科学家 在新墨西哥州阿拉莫戈夫的“三一”试验场内的 一个30米高的铁塔上进行试验， 试爆了全球第一颗原子弹。 _,_国试爆第一颗原子弹1945年7月16日 美 优优 化化 建建 模模 模型准备 Taylor知道，爆炸是

2、能量的释放过程，在一点上突 然释放大量的能量，爆炸的表面形成一个球面， 以冲击波的形式在空气中向外传播。冲击波通过 爆炸形成的“蘑菇云”反映出来。 Taylor研究录影带，测量出从爆炸开始，不同 时刻爆炸所产生的“蘑菇云”的半径。 t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) 0.10 11.1 0.80 34.21.50 44.43.53 61.115.0 106.5 0.24 19.90.94 36.31.65 46.03.80 62.925.0 130.0 0.38 25.41.08 38.91.79 46.94.07 64.334.0 145.0 0.52 28

3、.81.22 41.01.93 48.74.34 65.653.0 175.0 0.66 31.91.36 42.83.26 59.04.61 67.362.0 185.0 单位：t (ms), r (m) 利用利用 左图左图 及其及其 他知他知 识估识估 计爆计爆 炸能炸能 量量 表（1） 优优 化化 建建 模模 数学建模涉及变量、参数和常数，它们大部分都是带有 单位的物理量。 例如：某人的跑速是6米/秒，圆管的周长是10厘米等。 物理量当中有些称为基本的，它们相互独立并可以通过自然规 律的各种定律构成其它的物理量。现在公认的科学单位制是国际 单位制，它由七个单位组成，如下图。 Taylor

4、建立计算爆炸能量的数学模型所产用的是量纲分析法。 二、量纲分析 优优 化化 建建 模模 量的名称单位名称单位符号 长度 L米m 质量 M千克Kg 时间 T秒S 电流强度 I安培A 热力学温度开尔文K 发光强度 J坎德拉Cd 物质的量 N摩尔mol 物理量的单位是这七个单位的复合。一个物理量Q一般可以 表示为基本量的乘幂之积，表达式为 Q=NJITML 优优 化化 建建 模模 1、在力学中，基本单位取作长度(L) 质量(M) 时间 (T)。则速度的量纲 v = 加速度的量纲 a= 2、量纲齐次性原则 任一有意义的方程必定是量纲一致的，即方程两 边的量纲的一致性。 量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻

5、求物理 量之 间的关系。 10 TLM 20 TLM 优优 化化 建建 模模 记爆炸能量e， 将“蘑菇云”看成球状， “蘑菇云”的 半径r，空气密度，大气压强P。于是要建立的数学模型 可设为 f (r，e，P，t）=0 优优 化化 建建 模模 模型假设 （1）爆炸是在一点突然发生，在压强为p的空气中传播。 （2）同一时间只有一点发生爆炸，传播的空间没有大型 障碍物阻止。 （3）爆炸开始的时间定位在t=0,爆炸的能量完全释放。 模型建立与求解 这是一个力学问题,基本量纲选作长度L，质量M，时间 T。上述涉及到的物理量的量纲可表为： 优优 化化 建建 模模 r=L，e= ，= ，P= ， t=T

6、22 MTLML 3 21 MTL 且基本量纲数n=3问题物理量数m=5。 可写出量纲矩阵A= Rank(A)=3 解齐次线性方程组 Ay=0 优优 化化 建建 模模 方程组有mr=53=2个基本解，可取 上式给出了两个相互独立的无量纲量 即 由上得 这就是用量纲分析法 确定的 r 的表达式 优优 化化 建建 模模 将上面的推导过程一般化，就是著名的Buckingham Pi定理: 设有m个物理量 是与量纲单位选取无关的物理定律。 是基本 量纲,nm, 的量纲可表为: 0, 2121 mm qqqfqqq且 n XXX, 21 m qqq, 21 矩阵A= mn ij a 称为量纲矩阵 优优

7、化化 建建 模模 若A的秩为Rank(A)=r,设齐次线性方程组Ay=0的 m - r个基本解为： 为mr个相互独立的量纲为1的量，且 与 等价。 优优 化化 建建 模模 为了利用表（1）数据，必须先估计 2 () 65 2 23 0 t P e 2 ()1 Taylor认为，对于原子弹爆炸来说，经历时间非常短， 所释放的能量非常大, 1 2 5 (*) t e r Taylor根据一些小型爆炸实验数据，最终建议 因此 结果表明：半径与大气压强无关，当 5/2 r,te与一定时， 成正比。 优优 化化 建建 模模 对上式取对数后用线性最小二乘拟合， 1.数据检验 三、数值计算 b rat设 用

8、表1数据去定 t , r 优优 化化 建建 模模 data= 0.10 11.1 0.80 34.2 1.5 44.4 3.53 61.1 15.0 106.5 0.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0 130.0 0.38 25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0 145.0 0.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0 175.0 0.66 31.9 1.36 42.8 3.26 59.0 4.61 67.3 62.0 185.0 ; t=;r=; for i=

9、1:5 t=t;data(:,2*i-1); r=r;data(:,2*i); end r1=log(r);t1=log(t); s=polyfit(t1,r1,1);b=s(1);a=s(2); tt=0:0.1:70;rr=exp(a)*tt.b; plot(tt,rr,t,r,+) 检验程序检验程序 优优 化化 建建 模模 010203040506070 0 50 100 150 200 250 经计算得到b=0.4058，与量纲分析得到的结果非常接近。 上图给出了与实际数据拟合的情况。 优优 化化 建建 模模 为了由（*）和表1数据估计能量e，对（*）两边取对数， 作线性最小二乘拟合，

10、 2.数据估计 3 =1.25 kg/)m这里取（ 101010 51 logloglog () 22 e rt 101010 51 log,log,log () 22 e rx xt c 可化为y=c,y= 由表1数据算出y，拟合系数c,从而得到能量e, 优优 化化 建建 模模 x=log10(t*1e-3); y=5/2*log10(r)-x; plot(x,y,+) xlabel(log10(t); ylabel(5/2*log10(r)-log10(t); c=mean(y) hold on; plot(x,c,.-); hold off; rou0=1.25; e=rou0*10(2*c) kiloton=e/4.184e12 检验程序检验程序 优优 化化 建建 模模 经计算得到c=6.9038，e=8.0276 -4-3.5-3-2.5-2-1.5-1 6.6 6.65 6.7 6.75 6.8 6.85 6.9 6.95 log10(t) 5/2*log10(r)-log10(t) 13 10焦耳（国际标准单位) 查表知1千吨TNT的核子能量 12 =4.184 10焦耳 ，由此得到 原子弹爆炸的能量是19.1863千吨，与实际值21千吨相差不大。 优优 化化 建建 模模 直接由（*）作拟合， 3.直接估计 5 2 e r t 对它进行最小二乘拟合，相当于取上式右