平稳随机过程的概念

1、第一节第一节 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 一、平稳随机过程的概念一、平稳随机过程的概念 二、应用举例二、应用举例 三、小结三、小结 一、平稳随机过程的概念一、平稳随机过程的概念 在实际中在实际中, 有相当多的随机过程有相当多的随机过程, 不仅它现不仅它现 在的状态在的状态, 而且它过去的状态而且它过去的状态, 都对未来状态的都对未来状态的 发生有着很强的影响发生有着很强的影响. 如果过程的统计特性不随时间的推移而变如果过程的统计特性不随时间的推移而变 化化, 则称之为平稳随机过程则称之为平稳随机过程. 1. 定义定义 和和如如果果对对于于任任意意的的Ttttn n ,), 2 , 1

2、( 21 维维随随机机时时当当任任意意实实数数nThththth n , 21 )(,),(),( 21n tXtXtX变变量量 )(,),(),( 21 htXhtXhtX n 和和 具有相同的分布函数具有相同的分布函数, 则称随机过程则称随机过程 ),(TttX 具有平稳性具有平稳性, 并同时称此过程为并同时称此过程为平稳随机过程平稳随机过程, 或简称或简称平稳过程平稳过程 (严平稳过程严平稳过程或或狭义平稳过程狭义平稳过程). 平稳过程的参数集平稳过程的参数集T, 一般为一般为: ., 2 , 1 , 0, 2, 1, 0), 0),( 或或 为平稳随为平稳随称平稳过程称平稳过程为离散情

3、况为离散情况当当 n XT, 机序列机序列, 或平稳时间序列或平稳时间序列. 说明说明 (1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重 要的实际意义要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化为简化. (2) 平稳过程的数字特征有很好的性质平稳过程的数字特征有很好的性质. 平稳过程数字特征的特点平稳过程数字特征的特点: )()(存存在在的的均均值值函函数数设设平平稳稳过过程程tXEtX 线都在水平直线线都在水平直线平稳过程的所有样本曲平稳过程的所有样本曲)1( ., X 平均偏离度为平均偏离度为上下波动上下波动

4、X tx )( 的自相关函数的自相关函数设平稳过程设平稳过程)()2(tX .)()(),( 2121 存存在在tXtXEttRx 的的单单函函数数仅仅是是那那么么平平稳稳过过程程的的自自相相关关 12 tt .变函数变函数(即不随时间的推移而变化即不随时间的推移而变化). 协方差函数可以表示为协方差函数可以表示为 )()()( XXX tXtXEC .)( 2 XX R ,0 若令若令 .)0()0( 22 XXXX RC 则则 说明说明 要确定一个随机过程的分布函数要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定并进而判定 其平稳性在实际中不易办到其平稳性在实际中不易办到. 2. 广义平稳过程广

5、义平稳过程 定义定义1如如果果对对任任意意给给定定二二阶阶矩矩过过程程,),(TttX :,Ttt )()(常常数数 X tXE )()()( X RtXtXE .,),(或广义平稳过程或广义平稳过程为宽平稳过程为宽平稳过程则称则称TttX 说明说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也则它必定也 是宽平稳的是宽平稳的. 反之不成立反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的宽平稳的正态过程必定也是严平稳的. 定义定义2同时考虑两个平稳过程同时考虑两个平稳过程: )()(tYtX和和 如果它们的互相关函数也只是时间差的单如果它们的互相关函数也只是时间

6、差的单 变量函数变量函数, 即即 ),()()(),( XYXY RtYtXEttR 或两过程是或两过程是是平稳相关的是平稳相关的和和称称那么那么,)()(,tYtX 联合宽平稳的联合宽平稳的. 二、应用举例二、应用举例 例例1是是互互不不相相关关的的随随机机变变量量设设, 2 , 1, kX k 则则有有且且序序列列, 0, 22 kk XEXE , 0 , ),( 2 lk lk XXElkR lkx ,有有关关即即相相关关函函数数只只与与lk 所以它是宽平稳的随机序列所以它是宽平稳的随机序列. 则则序序列列是是是是独独立立同同分分布布的的如如果果, 21 k XXX 严平稳的严平稳的.

7、例例2上服上服是在是在的函数的函数是一周期为是一周期为设设), 0(,)(tTts 为随机为随机称称从均匀分布的随机变量从均匀分布的随机变量)()(, tstX .试讨论它的平稳性试讨论它的平稳性相位周期过程相位周期过程 解解 的概率密度为的概率密度为 ., 0 ,0,/1 )( 其他其他 TT f X(t) 的均值函数为的均值函数为 )()( tsEtXE TTi i s TT ts 0 .d)( 1 d 1 )( 的周期性的周期性利用利用)( s .d)( 1 )( 0 常数常数知知 T s T tXE 而自相关函数而自相关函数 )()(),( tstsEttRX d 1 )()( 0 T

8、 tsts T 具有周期性具有周期性 有关有关仅与仅与 )( X R 所以所以随机相位周期过程是平稳的随机相位周期过程是平稳的. 特别特别, 随机相位随机相位 正弦波是平稳的正弦波是平稳的. d)()( 1 ss T Ti i 例例3考虑随机电报信号考虑随机电报信号 t )(tx I o I 2/1)()( ItXPItXP这这里里 ),(),( ttNtt内内变变化化的的次次数数而而正正负负号号在在区区间间 由只由只信号信号)(tX II 或或取取 .的电流给出的电流给出 是随机的是随机的, .),(服服从从泊泊松松分分布布假假设设 ttN 即事件即事件),(kttNA k 的概率为的概率为

9、, 2 , 1 , 0, ! )( )( ke k AP k k .0的数学期望的数学期望是单位时间内变号次数是单位时间内变号次数其中其中 .)(的平稳性的平稳性试讨论试讨论tX 解解0)( tXE )()( tXtXE下面计算下面计算 内内变变号号偶偶数数次次如如果果电电流流在在), tt ,)()( 2 ItXtX必同号且乘积为必同号且乘积为和和 内内变变号号奇奇数数次次如如果果电电流流在在), tt ,)()( 2 ItXtX 乘积为乘积为和和 的概率为的概率为事件事件)()( 2 ItXtX .)()()( 420 APAPAP 的概率为的概率为事件事件)()( 2 ItXtX )()

10、( 31 APAP 00 12 2 2 2 )()()()( kk kk APIAPItXtXE . ! )( 22 0 2 eI k eI k k 结果与结果与t 无关无关 ,0 tt令令时时而而 22 )()( eItXtXE 有关有关只与只与 则自相关函数则自相关函数: .)(是一平稳过程是一平稳过程所以随机电报信号所以随机电报信号tX 其图形为其图形为: 2 I o )( X R 其概率密度为其概率密度为变量变量是服从瑞利分布的随机是服从瑞利分布的随机其中其中 设随机过程设随机过程 , , )cos()( A ttAtX 0, 0 0, )( 2 2 2 2 a ae a af a ?

11、)(, )2 , 0( 是不是平稳过程是不是平稳过程问问是一常数是一常数随机变量随机变量 相互独立的相互独立的上服从均匀分布且与上服从均匀分布且与是在是在 tX A n 解解 2 d)( 0 2 2 2 2 2 ae a AE a 因因 例例4 2 0 2 0 2 2 3 2 2d2d)( 2 2 2 2 aaeae a AE aa 故故 )cos( tAE )cos()cos(),( 2121 tAtAEttRX .)(是平稳过程是平稳过程所以所以tX )cos( tEEA 00 EA )cos()cos( 21 2 ttEEA )(cos 2 1 2 12 2 tt cos 2 ?),0()(: ., ),( 是否仍为平稳过程是否仍为平稳过程问问 变量变量而且不恒等于一个随机而且不恒等于一个随机过程过程 是一个零均值的平稳是一个零均值的平稳设设 tXtX ttX 解解 是一个零均值的平稳是一个零均值的平稳因因 ttX),( ,过程过程 0)( tXE )(),( XX RttR 故有故有 例例5 ),0()()(XtXtY 令令 .)0()()(不是平稳过程不是平稳过程可见可见XtXtY )0()()(XEtXEtYE 则则 )0(X )0()()0()(),(XtXXtXEttR )0()()()0()( 2 XtXEtXEXRX 三、小