第三章 误差理论

1、2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 1 第三章第三章 测量误差理论及其处理基础测量误差理论及其处理基础 3.1 测量误差概述测量误差概述 3.2 偶然误差的特性偶然误差的特性 3.3 衡量精度的指标衡量精度的指标 3.4误差传播定律误差传播定律 3.5等精度直接观测平差等精度直接观测平差 3.6不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 2 测量与观测值测量与观测值 观测观测与观测值的分类与观测值的分类 观测条件观测条件 等精度观测和不等精度观测等精度观测和不等精度观测 直接观测和间接观测直接观测和间接观测 独立独立观测和非独立观测观测和非独立

2、观测 3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述 测量测量即将物理量与作为单位的量比较，求出其相对于即将物理量与作为单位的量比较，求出其相对于 单位量的数值过程。一次测量过程称观测，得到的单位量的数值过程。一次测量过程称观测，得到的 数值称观测值或观测结果。数值称观测值或观测结果。 观测误差与模型误差观测误差与模型误差 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 3 一、一、 测量误差产生的原因测量误差产生的原因 测量误差的来源测量误差的来源 （1 1）仪器误差：仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2 2）人为误差：人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等

3、。判断力和分辨率的限制、经验等。 （3 3）外界条件的影响：外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等温度变化、风、大气折光等 测量误差的表现形式测量误差的表现形式 测量误差（真误差测量误差（真误差=观测值-真值）Xl jiij ll Xl（观测值与真值之差） （观测值与观测值之差） 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 4 例：例： 误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 l ld d 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 l lt t 计算改正计算改正 水准仪水准仪i i角误差角误差 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) ) 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴

4、误差C C 操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) 2.2.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有规律性变化，具有积累性积累性。 系统误差可以消除或减弱系统误差可以消除或减弱。 ( (计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校) ) 二、测量误差的分类：二、测量误差的分类： 1.1.粗差粗差( (错误错误) )超限的误差。不允许出现在测量超限的误差。不允许出现在测量 结果中。结果中。 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 5 3.3.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，误差出现的大小、

5、符号各不相同， 表面看无规律性。表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。 三、测量误差的处理原则三、测量误差的处理原则 多余观测多余观测 四、测量平差四、测量平差 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 6 举例举例: : 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358358个三角形的内个三角形的内 角之和，得到角之和，得到358358个三角形闭合差个三角形闭合差 i i( (偶然误偶然误 差，也即真误差差，也即真误差) ) ，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i 进行

6、分析。进行分析。 分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，偶然当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而而 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。 3.3 3.3 偶然误差的特性偶然误差的特性 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 7 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 8 用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计： 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于对称于y轴。轴。 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出

7、现在该区频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率间的频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。 各条形顶边中点各条形顶边中点 连线经光滑后的曲连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶线形状，表现出偶 然误差的普遍规律然误差的普遍规律 图3-1 误差统计直方图 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 9 从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的差的四个特性四个特性： 特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。 3.3.偶然误差的特性偶然误差的特性 (1)(1)在一定

8、的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值的限值( (有界性有界性) )； (2)(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大( (聚中性聚中性) )； (3)(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的频率大致相等绝对值相等的正误差和负误差出现的频率大致相等( (对称性对称性) )； (4)(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 ( (抵偿性抵偿性) )： 0limlim 21 nn n n n 2021年8月8日星期日 长安大学

9、地测学院 10 偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性 当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小 ( (d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为这条曲线称为 “正态分布曲正态分布曲 线线”，又称为，又称为 “高斯误差分高斯误差分 布曲线布曲线”。 所以偶然误差所以偶然误差 具有具有正态分布正态分布 的特性。的特性。 图3-2 误差频率直方图 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 11 3.2 3.2 衡量精度的指标衡量精度的指标 准确度（外部精度） 测量成

10、果与真值接近的程度 系统误差越小，准确度越高 一、精度的概念一、精度的概念: : 精密度（内部精度） 观测值之间的离散程度 偶然误差越小，准确度越高 精度是准确度与精密度的统称，无系 统误差时二者统一 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 12 1.1.方差与中误差方差与中误差 由正态分布密度函数 2 2 2 2 1 ax ex 式中 、 为常数；a =2.72828 e x= y 正态分布曲线(a=0) 令：令： ，上式为：ax 2 2 2 2 1 )( efy 二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 13 标准差 的数学意义 2 2 2 2

11、1 )( efy 表示表示 的的 离散程度离散程度 x= y 较小 较大 nn nn lim lim 2 称为标准差标准差： nn n n n limlim 222 2 2 1 2 2 上式中， 称为方差方差： 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 14 测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。 中误差中误差: : 观测次数无限多时，用标准差观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：表示偶然误差的离散情形： n n lim 上式中，偶然误差上式中，偶然误差 为观测值为观测值 与真值与真值X之差：之差： 观测次数观测次数n n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然

12、误差的离散情形：表示偶然误差的离散情形： nn m n 22 2 2 1 i=i - X 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 15 P123表5-2 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 16 m m1 1小于小于m m2 2, ,说明第一组观测值的误差分布比较说明第一组观测值的误差分布比较集中集中， 其其精度较高精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比；相对地，第二组观测值的误差分布比 较较离散，离散，其其精度较低：精度较低： m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 17 2.2.容许误差容许误差

13、(极限误差) 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概 率为： de m dfP m 2 2 2 2 1 )()( 误差出现在K倍中误差区间内的概率为： km km m de m kmP 2 2 2 2 1 )( 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取三倍中误差(3m)作为容许误差，也称为限差： |容|=3|m| 或 |容|=2|m| 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 18 3.3.相对误差相对误差

14、(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高精度较高。 例例2 2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=200=200米米,m,m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=1000=1000米米,m,m2 2=0.02m=0.02m。计算。计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 200 10000 1000 50000 解：解： 2021年8月8日星期日

15、长安大学地测学院 19 一一.一般函数的中误差一般函数的中误差 令 的系数为 ， (c)式为： i x i i x F f 由于 和 是一个很小的量，可代替代替上式中的 和 ： i x i dxdz n n x x F x x F x x F 2 2 1 1 (c) 代入(b)得 对(a)全微分： n n dx x F dx x F dx x F dZ 2 2 1 1 (b) 设有函数：),( 21n xxxFZ 为独立独立观测值 i x 设 有真误差 ，函数 也产生真误差 i x i x Z (a) 3.4 3.4 误差传播定律误差传播定律 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 20

16、)()( 22 )( 11 )( )2()2( 22 )2( 11 )2( ) 1 () 1 ( 22 ) 1 ( 11 ) 1 ( k nn kkk nn nn xfxfxf xfxfxf xfxfxf 对Z观测 了k次， 有k个式 (d) 对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij） jiji nn xxffxxff xxffxfxfxf 22 2 3131 2121 222 2 2 2 2 1 2 1 2 (e) 对K个(e)式取总和： n ji ji jijinn xxffxfxfxf 1, 222 2 2 2 2 1 2 1 2 2 (f) 2021年8月8日星期日 长安大学

17、地测学院 21 n ji ji jijinn xxffxfxfxf 1, 222 2 2 2 2 1 2 1 2 2(f) (f)式两边除以K，得(g)式： (g) n ji ji ji ji n n K xx ff K x f K x f K x f K 1, 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 由偶然误差的抵偿性知： 0lim n xx ji n (g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：则： 前面各项 K x f K x f K x f K n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 即即 222 2 2 2 2 1 2 1 2 xnnxxz mfmfmfm

18、(h) 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 22 222 2 2 2 2 1 2 1 2 xnnxxz mfmfmfm(h) 考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式： i i x F f 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n Z m x F m x F m x F m (3-26) 上式为上式为一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式，也称为，也称为误差传播定律误差传播定律。 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 23 通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出可以总结出求观测值函数中误差的步骤求观测值函数中误

19、差的步骤： 1.列出函数式；列出函数式； 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 24 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式 xxZ KmmKm KdxdZ KxZ 22 例：例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms： l1000:1 m2 . 0m5 .168 m2 . 0mm2002 . 010001000 1000 1000 S mm dd lS lS lS 解：解：列函数式

20、 求全微分 中误差式 二二 .几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 25 2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式 nn xkxkxkZ 2211 nndx kdxkdxkdz 2211 222 2 2 2 2 1 2 1nnZ mkmkmkm 例：例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。 314 1 214 9 114 4 xxxZ 321 xxx mm6,mm2,mm3 321 mmm Z m 314 1 214

21、9 114 4 dxdxdxdz mm6 . 1623 2 14 1 2 14 9 2 14 4 2 33 2 22 2 11 xxxZ mfmfmfm 解：解：对上式全微分： 由中误差式得： 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 26 函数式 全微分 中误差式 nnnnn l lllx 1 2 1 1 1 lnnlnln ddddx 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 222 n nnn x mmmm 3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时， ，代入上式： 得 mmmm n 21 n m m n nm X 2 2 1 n 由此可知，算术平均值的中

22、误差比观测值的中误 差缩小了缩小了 倍。 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 27 4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式： 全微分： 中误差式： n xxxZ 21 n dxdxdxdz 21 22 2 2 1nZ mmmm 当等精度观测时： 上式可写成： mmmmm n 321 nmm Z 例：例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解：解： AB h mm2m h m AB h 921 hhhhAB mm692nmmh 2021年8月8日

23、星期日 长安大学地测学院 28 观测值函数 中误差公式 汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差 一般函数 倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),( 21n xxxFZ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n Z m x F m x F m x F m xxZ KmmKmKxZ 22 n xxxZ 21 nmmZ nnx kxkxkZ 2211 222 2 2 2 2 1 2 1nnZ mkmkmkm nnnnn l lllx 1 2 1 1 1 n m m X 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 29 误差传播定律的应用误差传播定律

24、的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观 测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。 例例1：要求三角形最大闭合差m15 ，问用DJ6 经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 1 2 3 =(1+2+3)-180 解：解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5 每个角的测角中误差：3 . 4 3 5 . 7 m 测回即4 3 . 4 5 . 8 , 5 . 8 3 . 4, 2 2 n nn m mx 由于DJ6一测回角度中误差为： 由角度测量n测回取平均值的中误差公式： 5 . 826 m 3 . 4 3 5 . 7 x m 2021年8月8日星期日 长安大学地测学

25、院 30 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度 基本公式： 2 cosKlD 求全微分： d KldlK dD dl l D dD)cossin2(cos2 水平距离中误差： 2 2222 )2sin()cos( m KlmKm lD )206265( 其中： 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 31 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解: (2)测量高差的精度 基本公式： 求全微分： d KldlK dD dl l D dD)cossin2(cos2 高差中误

26、差： 2 22 2 )2cos(2sin 2 1 m KlmKm lh 2sin 2 1 Klh )206265( 其中： 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 32 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差. 解: (1)周长 , l ml (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差. i li ml lllll mmmmmlllll 4321 4321 且 lS4 lS mm4 面积 , 2 lA lA lmm2 周长的中误差为 dldS4全微分: 面积的中误差为 全微分

27、:ldldA2 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 33 解:(1)周长和面积的中误差分别为 例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差. i li ml lllll mmmmmlllll 4321 3321 且 lS mm4 lA lmm2 (2)周长 ;周长的中误差为 lllllS4 4321 面积 llllllS mmmmmmm24 22222 4321 得周长的中误差为 2 2 4321 4 L llll A 全微分: 4321 4 1 4 1 4 1 4 1 dldldldldL 但由于 LdLdA2 llllllA lmmLm

28、L m L m L m L m 222 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2222 4321 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 34 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即:白塞尔公式) 3.5 3.5 同（等）精度直接观测平差同（等）精度直接观测平差 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 35 一一. .观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值) 证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X

29、 对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n, 则该量的算术平均值为： x= = 1+2+n n n 上式等号两边分别相加得和： lnX L= n l n lll L n 21 nXl 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 36 当观测无限多次时： n l X n nn lim lim 得 X n l n lim 两边除以n： 由 lnX n l X n 当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。 L X nXl XLX n l n 0)( limlim XL n nn 2021年8

30、月8日星期日 长安大学地测学院 37 观测值改正数 特点 二二. .观测值的改正数观测值的改正数v v ： 以算术平均值 为最或是值，并据 此计算各观测值的 改正数 v ，符合 vv=min 的“最小 二乘原则”。 Vi = L - i (i=1,2,n) 特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零： 对上式取和： 以 代入： 通常用于计算检核 L= n v=nL- n v =n -=0 v =0 特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”： 则 即 vv=(x-)2=min =2(x-)=0 dvv dx (x-)=0 nx-=0 x= n 2021年8月8日星期日 长安大学地测学

31、院 38 精度评定 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的 部分是相等的， 1 n vv n n m n vv m 1 即在 与 中： 精度评定精度评定 用观测值的改正数v计算中误差 1 n vv m 一.计算公式(即白塞尔公式)： 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 39 1 n vv n 证明如下：证明如下： nnnn lxvlX lxvlX lxvlX 2222 1111 真误差：真误差：改正数：改正数： 证明两式根号内相 等 Xl Xl Xl nn 22 11 nn lLv lLv lLv 22 11 ii ii v XLv 对上式取n项的平方和 vvvn2 2 由上两式得 其

32、中: 0lnLv 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 40 证明两式 根号内相 等 2 2 22 22 )( nn Xl n nX n l XL n ji ji jinn 1, 22 2 2 1 2 21 2 2)( 0 22 2 2 nn vvnvvvn 22 2 n vv nn 2 1 n vv n 中误差 定义: n m 白塞尔 公式: 1 n vv m 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 41 解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V V计计 算其中误差：算其中误差： 例：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，

33、 求其算术平均值及观测值的中误差。 算例1: 次数观测值VV V备注 176424 9 -416 276424 0 +525 376424 2 +39 476424 6 -11 576424 8 -39 平均76424 5 V =0 VV =60 983 15 60 1 . n VV m 471 5 983 . . n m M 7642451. 74 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 42 距离丈量精 度计算例 算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术该距离的算术 平均值平均值 ； 观测值的中误差观测值的中误差 ； 算术平均值的中误算术平均值的中误 差差 ； 算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ： x x m MxM / 凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。 2021年8月8日星期日 长安大学地测学院 43 3.6 3.6 不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差 一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中 权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。 1 权的定义： 设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)， 选定任一大于零的常数，则定义