云师大附中2020-2021学年高三高考适应性月考(六)数学(理)试题

1、云师大附中2020.2021学年高三高考适应性月考（六）数学（理）试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .已知集合人=工|/。82工1，集合8 = xeN|k|2,则AU8=（）A. x0xl B, x|0x2 c. x|0xl,4.已知实数X，y满足约束条件42元一22,则上的最大值为（） ,，32A. 2B. C. 1D.235.在区间（0,3）上随机地取一个数k,则事件“直线y =履与双曲线C：x、y2=l有两 个不同的交点”发生的概率为（）1 12A. B. C. De 13236 .已知（2xl）（x+）3展开式中各项系数之和为27,则其展开式中/项的系数为（）A. 24B. 1

2、8C. 12D. 47 . A6C的内角4民。的对边分别为。力,c,若5加4 =*, =则角C 的大小为（）B.-C.3九 D.8.在如图四个三棱柱中，45为三楂柱的两个顶点,E,产,G为所在棱的中点,则在这四个三棱柱中，直线人5与平面EFG不平行的是（）9.已知椭圆C：后+a=1(4b0)与抛物线E.y2 = 2Px(p 0)有公共焦点R椭圆C与抛物线E交于48两点，且45,尸三点共线，则椭圆C的离心率为()A. V2-1 B. ec.正D.正上22210 .己知数列“满足:V/? e Nan = log,2+1 ( + 2),对7；设为数列q的前项之积, 则下列说法错误的是()A.B. %

3、C.1=3D. T7 0、0乃）的部分图象如图所示，设.%为的极大值点，则cosm”=（）A 6b 2A345555二、填空题13 .命题“Vx0,+8）, 丁2x 此0”为真命题，则实数?的最大值为14 .设己知直线/:or+y -2a = 0与圆C：（x2 + y2=4交于A8两点， 则弦AB的长为./、 一,xe（0,2/、15 .己知函数/（力=什 则/（x）在x = 3处的切线方程为/（x-2）,xg（2,+oo）,16 .己知平面内一正六边形A6C。石厂的边长为1，中心为点。，将该正六边形沿对角线 AO折成二面角七一A3-C,则当二面角七一人。一。的平面角余弦值为g时，三棱 锥O-

4、CEF的外接球表面积为.三、解答题17 .己知数列“的前项和为5”，当“wN时，工=2+】一 2.（1）求数列为的通项公式；4, Clr Cl, 4（2）证明:当时， + + +2h + 2.a2 。3an18.改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万 件提升到2021年的507亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重（重量小于等于1kg川攵费10元，续重5元/依（不足1依按1依算）.（如:一个包裹重量为2.5依，则需支付首付10元，续重10元，一共20元 快递费用）（1）若你有三件礼物重量分别为0.4依,1.2依

5、,1.9奴，要将三个礼物分成两个包裹寄出（如:AS合为一个包裹，C一个包裹），那么如何分配礼物，使得你花费的快 递费最少？（2）为了解该快递点2021年的揽件情况，在2021年内随机抽查了 30天的口揽收包裹 数（单位:件），得到如下表格：包裹数（单位:件）(0,100(100,200(200,300(300,400天数（天）81282现用这30天的口揽收包裹数估计该快递点2021年的口揽收包裹数.若从2021年任取4 天，记这4天中口揽收包裹数超过200件的天数为随机变量X,求X的分布列和期望 19.如图，圆台的轴截面为等腰梯形44生生，= 242,4纥=2,圆台。02的侧面积为6小若点分别

6、为圆 。1,。2上的动点，且点Cd在平面44仄片的同侧.D(1)求证:AC_L A?C；（2）若/42c = 60。，则当三棱锥C-AQ4的体积取最大值时，求4。与平面CR4所成角的正弦值.20.已知抛物线C:y的焦点为F,过点F的直线/与抛物线C交于45两点, 且厂| = 2怛尸丛之2).(1)求直线/斜率的取值范闱；(2)过点A 8分别作抛物线C的切线交于点P，求A6P面积的取值范围.21 .己知函数/(x) = lnx+2x-ax2.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当4 = 1时，判断并说明函数g(x) = /(x) - COSX的零点个数.若函数g(x)所有零点均在区间上九(7Z

7、, Z)内，求一加的最小值.X = 1 + COS Ct.22 .在平面直角坐标系工0丁中，曲线C的方程为(。为参数，且。(0,犯),y = sina.若点M为曲线C上的动点，直线OM交直线x = 2于点P.以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程及点P轨迹的极坐标方程；(2)当|尸叫=3时，求点P的极坐标.23 .设函数/(x) = |x+l 上一1|的最大值为.(1)求”的值;4（2）设正数。力,c满足a + % +,求证：ab + ac + bc l如图，作出不等式组 log, 272 =三 点,所以log. 32% /，A正确;2。7= logs

8、9 =log? 3 4，B 正确；T6 = log2 3xlog3 4x-xlog7 8 = log, 8 = 3, C 正确；因为7； = log、3xk)g34xxlogs9,则4 =同3,所以D错误.故选：D.【点睛】本题考查数列4的前项之积及项的大小比较，涉及到对数运算法则、换底公式等知识, 考查学生的计算能力，是一道中档题.11. D【分析】在RA4OC中，可判断，中，可判断，利用A4D5与AAOE全等及A4OC 与ADFC相似即可判断.【详解】在MA43C中，OC = 2rsina,故不正确；因为5。=。，所以N54C = 2,在心AA5C中，AB = 2rcQs2a,故正确；因为

9、AE = AB 5。=。，易知与A4Z)后全等，故。石= 5O = OC, DF1EC.所以尸C=厂一AB(l-cos2),又 2=C AC DC所以DC2 = AC FC = r(lr-AB),故正确, 由 DC = 2rsni6/, AB = 2rcos267, DC2 = r(lr-AB)，可得(2rsuir/)- = 7*(2r-2rcos2rz) 即 2suf a = l-cos2 故选：D.【点睛】本题考查推理与证明，考杳学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的 边长是否正确，是一道中档题.12. B【分析】利用偶函数的性质可以出)，=$讥(以+。)的奇偶性，然后根

10、据正弦型函数的性质，可以求出 函数的解析式，然后对函数/(x)进行求导，结合函数奇偶性、辅助角公式进行求解即可.【详解】因为/ (x) = J*山(wx+。)为偶函数y = e为偶函数,所以y =s加(wx +0)为偶函数，又0夕)，所以。=,由图象及=/(3)=0可知卬=2, 所以 / (x) = cos2x,因为y =/(X)和=cos2x为偶函数,所以只需考虑xNO的情况，当xZO时，fx = excoslx/f(x) = ex (cos2x-2sin2x) = y/5excos(2x+),甘木下.2小其中 coscp = , sincp = 7当 2x + = 1 + 2k;r,kZ

11、时，/（x）有极大值， -2 6此时 cos2x = coscp = sin =、.2）5故选：B【点睛】本题考查了偶函数的性质，考查了正弦型函数的性质，考杳了利用导数研究函数的极值，考 查了数学运算能力.13. -1【分析】由题意丘（0,+到户2-2.加20,转化为（/-2.丫）而产7,只需求出函数），=一2/的最小值即可.【详解】Vx （0,4- 0,只需（厂2xn 之 , 又当 x=l 时， =/一2文有最小值一1,所以?（一1,川的最大值为一1.故答案为：-1.【点睛】本题考查与命题真假有关得不等式恒成立问题，一般恒成立问题转化为最值或取值范围来处 理，是一道基础题.14. 4【分析】

12、 直线。丫+）2。= 0恒过定点（2,0）,而圆心也为（2,0）,可得弦45为圆。的直径.【详解】 圆。:(x2+)，= 4的圆心为(2,0),半径为2,直线八批+y2。= 0过定点(2,0),所以弦A5为圆C的直径，故弦A5的长为4.故答案为：4.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及直线恒过定点的问题，是一道基础题.15. y = -x + 4【分析】先求出当xe(2,4时/(x)的解析式，然后利用导数的几何意义即可求得切线方程.【详解】由可知， /(x-2),xg(2,+oo),当xs(2,4时，力=,广(”=一代7所以“3) = 1,1(3)=1,/(x)在x = 3处的切线方程为y1

13、 =-(x3),即)，= t+4.故答案为：y = -x+4.【点睛】本题考查利用导数求/(x)在某点处的切线方程，涉及到函数解析式的求法，是一道容易题.16. 2 乃【分析】由题意作图，取线段OD的中点G,连接EG, CG,根据等边三角形的性质，结合二面角 平面角的定义可以判断4GC即为二面角七一AO-C的平面角，结合余弦定理、线面垂 直的判定定理和性质、四点共球的性质进行求解即可.【详解】由题意作图，取线段QD的中点G,连接EG, CG,可知CG1AD,所以NEGC即为二面角石一A。一C的平面角，即 cosZEGC =-,又 EG = CG = 0， 32由余弦定理可得石C二L又因为EG

14、c CG = G,所以AO_L平面EGC,所以 AO_LEC，由 AD/EF,得 EFL EC.因此在三棱锥O-C石/中，OC = OF = OE = EC = EF = 1, FC = &,三棱锥O-CE尸外接球球心为线段产。的中点，半径为巫 2所以外接球表面积为27r.【点睛】本题考查了二面角的定义，考杳了三楂锥外接球表面积，考查了推理论证能力和数学运算能 力.17. (1)。 = 2一1；详见解析.【分析】(1)利用公式当之2时，q,=S-St进行验证求解即可；(2)对乌出进行常变量分离，然后进行放缩，利用等比数列前项和公式进行证明即可.【详解】（1）解:当 2 2 时，S_ = 2 1

15、, 4 = Sn S_ = 2 1, 当 =1 时，q = S = 2?-1-2 = 1满足/ = 2-1.综上，当 eN”时，q=21.（2）证明:当时，2”122t，所以色a：21 1 =2 +2一 12一12 + - 2-1所以%+ % + + 也02 + 1 + 上 + + 上=2+ J q d %2 2-2t12/1 y= 2 + 2 1故 ZAC4=90。，即 AC_LAC.（2）解:由题意可知，三棱锥CAO4的体积为匕F叽=；|。0?艮4网=*同。|%。|又在直角三角形中，AD2-AD2=AlA = 162AlDA2D所以当且仅当| A& = |= 2 J3即点。为弧44的中点时

16、，。一4。4有最大值芈连接。 因为O0?l平面AQA?,oq_LO/?,所以以。、为坐标原点， 一分别以。”,。凡,。此的方向为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。xyz.点 A（0,2,0）,4（0,2,0）,3（2,0,0）,由N4民C = 60。可知CV3273A。= (2,2,0 A A =(0,4,0), A.C = -y-, ,5/3设平面的法向量 = (x,y,2),A A /? = 0X 一ACk = 04y = 0工一1+底=0取 二（2,0,-1），nA1。 n AtD所以A。与平面C414所成角的正弦值为风【点睛】本题考查了圆台的侧面积公式和三棱锥的体积公式，考查了

17、基本不等式的应用，考查了空间 向量夹角公式，考查了数学运算能力和推理论证能力.20. （1） k k /求导，根据导数的几何意义求出两条切线的方程，结合弦长公式、点 4到直线距离公式进行求解即可.【详解】解：（1）抛物线C:V=4y ,点尸（0,1）,由题意知直线/的斜率存在，设直线/：y = Ax+L代入抛物线方程犬=4y ,可得4日一4 = 0,设点A（石,）,6（匹,名）,所以用 + &=4k,七毛=-4,因为|A尸| = 2怛厂I，所以X =-44,又 X, （12）= 4/c, 4,可得K=匕互=（_1 +九一242 4U ）当人之2时，k2- 8所以k之立或kw-包 44工1,1（

18、2） My = -xy=-x 42则直线4尸：一）1 = 3网（工一事）， 1 , 又1 =不，所以直线AP：y = ；&x_；x； xx同理可得直线BP: y =2 -4 所以点尸（人1,竿即P（2女1）点夕到直线/的距离4 =|AB| = yjk2 + 1( + x2)2 -4x1x2 = 4 + 4所以446户面积5 = 346 = 4(1 +/)5/1 +女2之二应 28 27综上，AA6P面积的取值范闱为 一 +00 I【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线切线的求法，考查了数学运算能力.21. （1）当时，在（0,+8）上单调递增；当0时，/（x）在0尸 ； + 上

19、， 乙v /上单调递增，在, y 上单调递减（2 ） g（X）存在两个零点再，X,且再1, ,I 2 Jk 2J七（兀,4,详见解析：一 1的最小值为3【分析】（1）函数求导/（1）=1+ 2-2奴=26十21+1,根据二次函数的性质分 =0 0三种情况分类讨论求解.(2)当a = l时，g() = 111X+2x-x2-3cosx,当xe(0时，/(1)二山工+2工一/单调递增，/(a)3cos 1 3cos,则g(x)0,所以/（x）在（0,+8）上单调递增； X当avO时，2。/0, /（力0,所以/（x）在（0,+e）上单调递增：当。0时，令2aF + 2x+l = 0,得W J +4

20、+且,l Jl + 2q （舍）1 2a2a当 XE 0,时，/（X）O,当 XE ,4-00 , /（X）。时，/在。，巨笠 上单调递增，在比/收上单调递减.(2)当。=1 时，g(x) = nx2x-x2-3cosx , 当x(0,l时，/(x) = lnx+2x-x2单调递增，=3 cos x 3 cos 1 3 cos y =-,则 g(x) 3sin 1 3sin =,6 223所以g(x) + 2-兀+大0，g(x)单调递增, 7T2(兀)I兀兀2 n =111 + JU 024所以存在唯一使得g(xJ = 0.当兀时，f(x) = + 2-2x+3sinx, g(x) = -2 + 3cosx0,且(兀)=+ 2 2兀0, g(x)单调递增;V 2.当X(X0,兀|时，/(玉)， g(兀) = ln兀+ 2兀一兀？ + 3。，因此，g（X）0在y,7T上恒成立，故不存在零点.当xe（兀,4时，g（x） = -3-2+3cosxv0,所以g（x）单调递减, A因为屋（兀）vO,所以g（x）vO, g（x）单调递减,又g（兀）。,g（4）= hi4+8-16-3cos40,所以存在唯一&（兀,