勾股定理典型解题技巧及练习汇编.doc

1、学习 - 好资料专题复习一勾股定理常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、常见平方数：112121 ；122144 ；1 32169； 142196 ； 152225 ； 162256172289；182324；192361；202；2441；22248422224 0 021223529；24；25；26；277295 7 66 2 56 7 64、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由 a 2 +b 2 =c2 可得 a 2 = c 2 - b 2 =(c+b) (c-b)

2、（平方差公式）例如，已知 c=61, b=60, 则a 2 = c 2 - b 2 = (61+60) (61-60) =121,则 a=11已知 c=41, b=40, 则a 2 = c 2 - b 2 = (41+40) (41-40) =81,则 a=9已知 c=17, b=8, 则a 2 = c 2 - b 2 = (17+8) (17-8) =25 x 9=5 2 x 3 2= (5 x 3) 2则 a = 5 x 3 =155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。A如图， CD 为斜边 AB 的中线，过 D 作 DEAC于 E,DFBC于 F在 RT ADE 和 RTDBF 中，E

3、DDAE=BDF , AD=DBADE=DBFRT ADE RT DBF EA=FD, 有因 CEDF 为矩形， FD=CE=EA=1/2 CACBRT ADE RT CDE CD=AD=DB=1/2 AB6、直角三角形 30角的对边等于斜边的一半F7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。该点称三角形的内心（内切圆圆心）。9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点。该点称三角形的垂心10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。该点称三角形的重心。11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点。该点称三角形的外心（外接圆圆心）。12、三角形

4、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a-b c a+b1214 、垂直平分线垂直且平分其所在线段。垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。15 、点 A 沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线 EF。则折线EF垂直平分线段AB。16、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形判断：根据勾股定理a 2 +b 2 =c 2 可判断 c 边的对角C 是否为直角。若 a 2 +b 2 c 2 ， 则 C 为锐角；若 a 2 +b 2 =c 2则 C 为直角；若 a 2 +b 2 c 2 ，则 C 为钝角。更多精品文档学习 - 好资料专题归类：专题一、勾股定理与面积在 RtABC 中， C=90 , a

5、、b 为直角边， c 为斜边。 h 为斜边上的高。则 RtABC 的面积：S= 1 abS= 1 h*c（公式）221) 已知任意两边长，求面积：已知 a、b, 则 S=1/2 ab已知 a、c, 根据 b2=c2-a2，开平方根得 b值，利用 S= 1ab 求解2例题 1： 在 Rt ABC 中，C= 90 , a=3, 斜边 c=5，则 RtABC 的面积 S=。RtABC, a=3, c=5, 则 b=4,11S= ab=x 3 x 4=622又如，三条边分别是5,12,13 的三角形的面积是。 52+122 =25+144=169=132 该三角形为直角三角形，且5,12 为直角边11

6、S=ab=x 5 x12=302 22) 已知周长（ a+b+c）和斜边长 c ，或已知 （ a+b ）及 c，求面积 :在 RTABC 中， (a+b)2=a2+b2+2ab, c2 =a2+b2 (a+b)2-c2 =2ab因此 S=1ab=1(a+b)2-c2=1 (a+b+c) (a+b-c)244即S= 1 (a+b+c) (a+b-c)4=1x (周长 ) x (周长 -2c)（公式）4例题 2、一直角三角形周长为12 米，斜边长为 5 米，则这个三角形的面积为：。解 S= 1 (a+b+c) (a+b-c)= 1 x 12 x (12-5-5)=6 (m2)44 已知直角三角形的

7、周长是2+ 6 ，斜边长2，求它的面积。S= 1 (a+b+c) (a+b-c) =1 (2+ 6 ) x (2+6 -2-2)= 1 (2+ 6 ) x (6 -2)= 1 x (6 ) 2-2 2 = 1 x 2= 1444442已知直角三角形的斜边中线为，面积为，求它的周长。RT ABC中线为 5，则斜边长 c 为 10, 由 (a+b) 2 =a2 +b2+2ab, c2=a2 +b2 得 (a+b) 2= c 2+2ab=100+（ 2x2 x24）=196 (a+b) =14 a+b+c=24更多精品文档学习 - 好资料已知直角三角形的周长是，面积为，求它的斜边长。S= 1 x (

8、周长 ) x (周长 -2c) 42 =1 x 56 x (56-2c) 56-2c=3 2c=53, c=53/2443) 已知 a、 b，c，（或已知 a、 b，根据勾股定理求出 c），求高 h.根据 RTABC 面积计算公式S= 1 ab以及 S= 1 h*c得ab= hc22 h = ab c例题 3、在 RT ABC中，C90 ，BC=8, AB=10, CD 是斜边的高，求CD的长？ C 90 ， AB 为斜边，且 BC=8, AB=10 直角边 AC=6abAC*BC6 x 8h =4.8cAB10练习： CD是直角三角形ABC斜边 AB上的高，若 AB=1，AC：BC=4：1，

9、则 CD的长为（）。 AB 为斜边，设AC=4x, BC=x, 则 (4x)2 +x2=1 17x2=1, x2 =1/17在 RTABC 中， 斜边 AB 上的高CD= ab = ACx BC = 4x2 =4/17cAB4) 直线上摆正方形问题直方形已知则S2S2S3S1证明：在 RT ABC 和 RTCDE 中AB C90 ，BACBCA 90 ， CDE90 ， DCEDEC 90BCADCEACE =180正方形 S2 中， ACE90 ，AC=CEBCADCE =90而DCEDEC90 BCA = DEC又ABC =CDE =90AC=CERT ABC RT CDE BC=DE更多

10、精品文档线 l 上有三个正 S1 、S2、 S3，若 S1 和 S3 的面积，的面积为学习- 好资料22222而 S12，S32S2+DE=AB=DE=AC =AB +BC=ABS2 13=S+S例题 4、上依次摆放着七个正方形( 如图所示 ) 。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、在直线 l3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、 S2、 S3、 S4，则 S1 S2 S3 S4 等于。解 : S1+ S2=1, S3+ S4=3231S4S1+ S2 + S3+ S4= 1+3SS2S3= 41l8、 有一块土地形状如图 3 所示， B D 90 ，AB=20 米， BC=15 米，

11、 CD=7 米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形）ADBC图 39、如右图： 在四边形 ABCD 中，AB=2 ，CD=1 ， A=60 ，B=D=90求四边形 ABCD 的面积。AD证明：延长 AD 和 BC 相交与点 E A=6 0 ,B=90 C E=30 AB=2AE=4,BBE 2=AE 2-AB 2=12BE= 23 ，同理可知 DE= 3SABE= 1x AB x BE= 1x 2 x2 3=2322DSCDE= 1x CD x DE= 1x 1 x3 =13AE222 ABE-CDE=3C则四边形 ABCD 的面积为 SS32B10、如图 2-3 ，把矩形重合部

12、分 EBD的面积ABCD沿直线BD向上折叠，使点C 落在C的位置上，已知AB=?4，BC=8，求：更多精品文档学习 - 好资料C BD =CBD =ADB BE=DE22222AE +AB=BE=DE=(AD-AE)22222AE +4 =(8-AE)=8 +AE-16AE16AE=64-16=48AE=3S EBD=SABD-S ABE=1 x 32-1 x 3 x 4=102211、如图，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、 S2、S3 表示，则不难证明 S1=S2+S3 .(1)如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2

13、、S3 表示，那么 S1、 S2、 S3 之间有什么关系？(不必证明 )(2)如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1 、S2、 S3 表示，请你确定 S1、 S2、 S3 之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、 S2、 S3 表示，请你猜想S1、 S2、 S3 之间的关系 ?.专题二、勾股定理与折叠点 A 沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线 EF。则折线EF 垂直平分线段AB1、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边 AC 沿 AD 对折，使它落在斜边AB 上

14、，且与AE 重合，求 CD 的长？解 ： 设 CE=x ， 则 AE=8-x，BDE是ADE 翻折而成，CAE=BE=8-x ，222 ， 即 （ 8-xD在Rt BCE 中 ， BE=BC+CE）2=62+x2 ， 解 得 x=1.75，ACE=1.75 BE图 52、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=8 ，BC=6, 现将顶点 A 折叠至点 B，折线为 DE ，求 CE 的长？解：更多精品文档学习 - 好资料DE 为折线，则 DE 垂直平分线段 AB ，因此 AE=BE BE2=EC2+BC2(AC-CE) 2 =EC2+BC2(8-CE)2=62+CE264-16CE+ CE2=6

15、2+CE216CE=64-36=28CE= 28 = 7164ADECB3、如图 4，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm,BC=6cm ， E 为 BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 DC 边上的点 G 处，求 BE 的长。DGCEAB图 44、如图，长方形 ABCD 中， AB=3cm BC=4cm ，将此长方形折叠，使点C 与点 D 重合，折痕为EF，求 AE、 EF 的长设 AE=x, EF 为折线， EF 为 AC 的垂直平分线，则CE=AE=xD1BE=BC-CE=4-xAB 2=AE 2-BE2= x 2-(4-x) 2=8x-16=9 x=25/822

16、2252 52 25x(25 -16) 25x9ADEF AC EO =AE -AO=() -() =F826464 EO=15O8 EF=2x 15 = 1584CBE5、如图 6，在矩形纸片ABCD 中， AB= 33 ，BC=6, 沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 P 处，点 D 落在 Q 点处，AD 与 PQ 相交于点 H，BPE= 30更多精品文档学习 - 好资料（ 1）求 BE、 QF 的长（ 2）求四边形 QPEF 的面积。QAHFDPBEC图 67、已知，如图，长方形ABCD中， AB=3cmAD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为EF，则 A

17、BE的面积为专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度D1、如图 7，铁路上 A、 B 两站相距 25 千米， C、 D 为两村庄， DAAB于A点，CBAB 于点 B，DA=15 千米， CB=10 千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得 C、 D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离 A 站多远的距离？AEBCD图 72、一架长为5 米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底 C 为 3 米，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑1 米到 D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1 米到 E 处吗？请给出更多精品文档学习 - 好资料证明。ADCBE3、 ABC

18、中， AB=AC=20 ， BC=32 ， AD15 ,D 是 BC 上一点，且AD AC ，求 BD 的长专题四、勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是（）A4,5,6,B 5,7,12C12,13,15D14 ,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10 的三个连续偶数，则它的周长是。3、下列是勾股数的一组是（）A2,3,4,B 5,6,7,C9,40,41D10 24 254、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中 a,b,c 为正整数，且 abc（ 1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论（ 2）：当 a=21 时，求 b,c 的值,3,4,53222+4=55,12,135

19、 2+122=13 27,24,252+24227=259,40,412+40229=41.21,b,c21 2 +b 2 =c 2c=b+1, b+c=a 2专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明1、 在四边形 ABCD 中， C 是直角， AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明： AD BDDC更多精品文档AB学习 - 好资料2、 CD 是 ABC 中 AB 边上的高，且CD 2 =ADDB ，试说明ACB= 90CADB3、在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 为 CD 上一点1且 CF=CD 试说明 AEF 是直角三角形。4ADFBEC4、ABC 三边的长为a,

20、b, c，根据下列条件判断ABC 的形状222（ 1）： a +b +c +200=12a+16b+20c ；（ 2）： a 3 -a 2 b+ab 2 -ac 2 +bc 2 -b 3 =05、试判断，三边长分别为2， 2n+1， 2n2（n 为正整数） ?的三角形是否是直角三角形？2n +2n+2n+16、如图 2-12 ， ABC中， C=90， M是 BC的中点， MD AB于 D22求： AD -BD 7、 在 ABC中， BC=a,AC=b,AB=c, 若C= 90 ，如下图 (1)根据勾股定理可以得出：a 2 +b 2 =c2,若 ABC 不是直角三角形，如图 (2)与图 (3)

21、，请你类比勾股定理猜想a 2 +b2 与c2的关系，并且证明你的结论。更多精品文档学习 - 好资料ABCCB ABCA图 (1)图 (2)图 (3)、如图ABC中， BAC 90 , ABAC,P 为BC上任意一点，求证： BP 2CP 22AP2 8ABCP专题六、勾股定理与旋转1、在等腰Rt ABC 中，CAB= 90 ， P 是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=7求：CPA 的大小？CPAB2、 如图，在等腰 ABC 中， ACB=90 ， D、 E 为斜边 AB 上的点，且 DCE=45。求证： DE 2=AD 2+BE2。C更多精品文档BADE学习 - 好资料3、如图所示， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点， E、F 分别是AB、AC 边上的点，且 DE DF ，若 BE=12， CF=5求线段 EF 的长。4、已知，如图 ABC 中，ACB=90，AC=BC ，P 是 ABC 内一点，且 PA=3，PB=1 ，PC=2 ，求 BPC 。CPAB5、如图，在ABC 中，B900 ，M 为 AB 上一点， AM=BC ，N 为 AB 上一点， CN=BM ，连接 AN 、CM 交于点 P。求APM 的大小。CNPBMA专题七、最短路线问题1、 有一正方体盒子，棱长是 10cm，在 A 点