2024高考数学讲义：三角函数及其解题

2024高考数学讲义：三角函数及其解题

目录

1.任意角和弧度制及任意角的三角函数................................1

2.同角三角函数的基本关系及诱导公式...............................10

3.三角恒等变换...................................................22

4.三角函数的图象与性质..........................................41

5.函数旷=4sin(ox+s)的图象......................................55

6.正弦定理和余弦定理............................................68

7.解三角形的实际应用............................................80

1.任意角和弧度制及任意角的三角函数

课程标准考向预测

1.了解任意角的概念和弧度制的概

考情分析：任意角三角函数的定

念.

义及应用是高考考查的热点，题型以选

2.能进行弧度与角度的互化.

择题或填空题为主.

3.借助单位圆理解任意角三角函数

学科素养：数学建模、直观想象.

(正弦、余弦、正切)的定义.

分步落实

❷o精梳理、巧诊断，过好双基关。

V学生用书P67

I整知识I.........

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个

位置所成的图形.

按旋转方向不同分为正角、负角、零角W.

(2)分类

按终边位置不同分为象限鱼和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角。在内，可构成一个

集合S={/旧=a+A?360°，Jtezj.

［注意］终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于生彼氐的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作

rad.

(2)公式

\a\=^(弧长用1表示)

角a的弧度数公式

①1—innrad②1rad—

1OV

角度与弧度的换算

望，

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式S=Z/r=Z1aIr2

［注意］利用扇形的弧长和面积公式解题时，栗注意角的单位必须是弧度.

3.任意角的三角函数

三角

正弦余弦正切

函数

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交弓二点尸(x,y),那么

定义L叫做a的正弦，记上叫做a的余士叫做a的正

作sina弦，记作cosa

切，记作tana

+++

I+——

象

I]一一+

限

r——+—

符

号I全正，n正弦，in正切，w余弦

诀

I.三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

2.任意角的三角函数的定义（推广）

设尸（x,y）是角a终边上异于顶点的任一点，其到原点。的距离为r,则sin

VXV

a=；,cosa=",tan（#0）.

3.象限角与轴线角

（l）象限角

{a1247T<a<2Aor+yEZj

{a|2Air+至<a<2krn+irfkGZJ

卜|2Air+ir<a<2Air+号Ezj

第四象限角{«|2而+藜<a<2Air+2Tr,AEZ}

（2）轴线角

/（终边落在与轴上的角）{a|a=gr,AEZ）

线

角f（终边落在y轴上的角]卜卜=’+日修

的

集

(

E及边落在坐标轴上的角）{a[a=^"ez}

I练基础I

i.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（I）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.（）

（2）角a的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（）

（3）不相等的角终边一定不相同.（）

（4）若a为第一象限角，则sina+cosa>l.（）

答案：（l）X⑵J（3）X（4）V

2.（必修4P5练习T3改编）角一870°的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C[-870°=-2X360°-150°,-870°和一150°的终边相同，所以一

870°的终边在第三象限.]

3.（必修4P20习题A组T2改编）已知角a的终边过点尸（8机，3）,且cosa

4

则的值为（

5，m)

A--2B-2

C.一当D,当

QyyjA1

［由已知得加＜且2I°2=_不，解得机=一

A0q(8〃力、2+325524

47t

4.在0到2n范围内，与角a=一了终边相同的角是.

4兀4n

解析：与角a=—亍终边相同的角是2An+(—亍)(ZdZ),令Z=l,

4H2兀

可得与角a=一丁终边相同的角是了.

较安.如

口:3

5.已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2兀，则此扇形的面积为

JT

解析：设此扇形的半径为r,由题意得不r=2n,

所以r=6,

所以此扇形的面积为;x2兀*6=6兀

答案：6兀

微点拨、多维练，研透命题点。

V学生用书P68

象限角及终边相同的角自练型

［题组练透］

1.设集合M="=与180。+45°,

N=

卜卜=亨180。+45°,攵/，那么()

A.M=NB.MUN

C.N=MD.MCN=。

L

K

--

B［由于M中,2•180°+45°=%90°+45°=(2^+1)-45°，2k+\

k

是奇数；而N中，尤=1•180°+45°=M5°+45°=(%+1>45°,Z+1是整

数，因此必有M=N,故选B.]

2.（多选）若角a是第二象限角，则?是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

JI

AC是第二象限角，二亍+2攵况＜+2攵n,左GZ,

JTaJi

...工+女n〈2＜爹+女兀，kGZ.

a

当人为偶数时，y是第一象限角；

a

当Z为奇数时，y是第三象限角.]

3.终边在直线＞=小x上的角的集合为.

r-冗4冗

解析：,在（0,2JT）内终边在直线x上的角是行，—,

,冗4nJi4冗

与角W,~终边相同的角分别为2%五+至，2kn+~=（2攵+1）五十

JT

■y,kRZ,

,终边在直线y=Sx上的角的集合为

jaa=q+E,.

答案：）aa=^+E,k£Z\

I?练后悟通

1.表示区间角的三个步骤

（1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.

（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360°〜360。范围内的角a

和角从写出最简区间.

（3）起始、终止边界对应角a,£再加上360°的整数倍,即得区间角集合.

2.确定〃a,彳（ZWN*）的终边位置的方法

(1)将e的范围用不等式(含有人)表示.

(2)两边同除以n或乘以n.

0

(3)对人进行讨论，得到刀或〃W〃GN*)所在的象限.

［注意］注意“顺转减，逆转加”的应用，如角a的终边逆时针旋转180°

可得角a+180°的终边，类推可知a+匕180°(keZ)表示终边落在角a的终边所

在直线上的角.

扇形的弧长、面积公式讲练型

已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为/.

(1)若a=60°,/?=10cm,求扇形的弧长/；

(2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面

积最大？

解析：(l)a=60°=y,

n10JT

/=a7?=10X—=—y—(cm).

⑵由已知得，l+2R=20,则/=20—2/?,0</?<10,

所以S=g//?=1(20—2H)R=10H—R2=一(R—5)2+25,

所以当R=5时，S取得最大值25,

此时/=10cm,o=2rad.

归物空

弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)明确弧度制下弧长公式/=|a|r,扇形的面积公式是S=T/r=||。|，(其中

/是扇形的弧长，。是扇形的圆心角).

(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个

量.

［注意］运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧

度制.

变式训练

1.若扇形的圆心角a=120°,弦长A8=12cm,则弧长/=cm.

解析：设扇形的半径为rem,如图.由图可知sin60°

=~,解得厂=4小cm,

一2JTt-8、行

所以/=|如r=万-X4\3=n(cm).

宏安，封包

木：3

2.已知扇形的面积为2小，扇形的圆心角的弧度数是小，则扇形的周长

为•

解析：设扇形的弧长为/,半径为R,由题意可得：

1/R=2小,<=\[3,

解得：1=2小,R=2,则扇形的周长为：/+2R=4+2小.

答案：4+2小

任意角三角函数的定义及应用多维型

角度一三角函数值符号的判断

区何(2020.全国卷U)若a为第四象限角，则()

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

jr

D[因为a为第四象限角，所以-2+2E<a<2E,攵WZ,故一兀+4E<2a<4E,

keZ,所以2a为第三、四象限角或y轴负半轴上的角.所以cos2a的正负不确

定，sin2a<0,故选D.]

口归纳升华

三角函数值符号的判断方法

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再

根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,

那就要进行分类讨论求解.

角度二利用三角函数定义求值

EI(1)函数y=k)ga(x-3)+2(a>0且的图象过定点P,且角a的终边

过点P,则sina+cosa的值为()

7

A.5B-5

在

C.D.|^/5

5

(2)若角6的终边经过点P(f，加)(*0)且sin。=乎m,则cos6的值为

解析：(1)因为函数y=k)ga(x—3)+2的图象过定点P(4,2),且角a的终

边过点P,所以x=4,y=2,r=2小,所以sina=坐,cos。等，所

以sina+cosa=坐=1小.故选D.

(2)由已知/=、3+"?2,所以sin=4m.

因为〃zWO,所以/〃=士,所以「=弋3+病=2啦.

诉唧〃—小__近

所以cos夕—2啦4-

答案：(1)D(2)一当

争归纳升华

三角函数定义问题的解题策略

(1)已知角a终边上一点P的坐标，可求角a的三角函数值.先求产到原点

的距离，再用三角函数的定义求解.

(2)已知角a的某三角函数值，可求角。终边上一点P的坐标中的参数值，

可根据定义中的两个量列方程求参数值(如例3).

(3)已知角a的终边所在的直线方程或角a的大小，根据三角函数的定义可

求角a终边上某特定点的坐标.

变式训练

1.已知角a的终边在直线y=-x上，月.cosa<0,则tana=

解析：如图，由题意知，角a的终边在第二象限，在其上[

任取一点P(x,y),则>=-x,由三角函数的定义得tana=)=―

-x

答案：一1

2.在（0,2兀）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为

解析：如图所示，找出在（0,2口）内，使sinx=cosx的

抬口范.5“5n啦

x值，sina=cos丁=2，sm=cos=一卞.

根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角

［友情提示］每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入“课时作业（二十一）”，去收获希望，体验成功！本栏目内容

以活页形式分册装订!

2.同角三角函数的基本关系及诱导公式

课程标准考向预测

1.理解同角三角函数的基本关系

考情分析：同角三角函数基本关

_ix.7।01sina

式：z

sina+cosa—1,cosa—tana.系式的应用和诱导公式的应用仍将是高

2.借助单位图的对称性，利用定义考考查的热点，题型仍将是选择题与填

推导出诱导公式.(a±E,a土乃的正弦，空题.

学科素养：数学运算、直观想象.

余弦，正切).

❷等分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关

V学生用书P69

I整知识I.............................................................>»

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos%=1.

(2)商数关系：tana=，詈(其中3,kGZ).

2.三角函数的诱导公式

六

组数二三四五

2Z兀

三匹4-

+a十

角7c+a~aTt-a2—2

（代

aa

Z）

sinsincos_cos_

正弦

asinasinaa_a_a

coscos_sin

余弦

acosaacosaasina

tantan//

正切

aatanatana

用常用结论

1.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指方的奇数倍和偶数倍，

变与不变指函数名称的变化.

2.sina+cosa,sina-cos。与sinacosa的关系

(sin。±cosa)2=l±2sinacosa；

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2；

(sina+cosa)2—(sina-cosa)2=4sinacosa.

对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa这三个式子，已知其中一个式子

的值，可求其余两式的值.

I练基础I................................................»

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)

(1)若。，，为锐角,则si/a+cos?夕=1.()

ein(i

(2)若a£R,则tawz=»^恒成立.()

(3/由(兀+00=—5足］成立的条件是。为锐角.()

答案：(l)x(2)x(3)x

4

2.(必修4P29B组T2改编)已知a为锐角，且sina=q,则cos(兀+团=

()

A［因为a为锐角，所以cosa=Ajl—sin2a=

3

所以cos(兀+a)=-cosa=一5J

3.已知tana=­3,贝！Jcc^a—sin2a=()

22

、ij一jw、，▼，0c、cosa-sina1-tan2a

B[由同角二角函数关系/cosa—sina=c°s2a+sin2a=而忑=

1—94

7+9=-5J

4.(l)sin(-y^=；

(2)tan330°=.

(4nA(JIAJI、h

解析：(l)sin[--§-)=-sin[n+yj=sin-y=2•

(2)tan330°=tan(360°-30°)=tan(-30°)=-tan30°=一个.

答案:⑴坐⑵一坐

1—cos^2^

5.(必修4P21练习T4改编)化简：cos2/an20=-----

1—cos?2。sin22^

解析:=sin20,

cos2aan23sin29

cos2夕

cos20

答案：sin2。

6暂分类突破微点拨、多维练，研透命题点、.

V学生用书P70

三角函数的诱导公式讲练型

EB〕⑴若/U)=sin(条+，+1，且火2020)=2,则式2021)=.

⑵已知cos一。)=。，则COS普+@+sin序一.

解析：(1)因为X2020)=sin停X2020+J+l=sin(l010n+«)+1=

sina+l=2,

所以sina=l,cosa=0.

所以人2021)=sinlyX2021+J+l=sin(1010兀+y+a)+l=cosa

+1=1.

(2)cos=cos兀-像-6

所以cos普+6)+sin停一。)

=—a+«=0.

答案：(1)1(2)0

母归纳升华

1.诱导公式应用的步骤

(1)负化正：将负角的三角函数化为正角的三角函数；

⑵大化小：将大于360°的角的三角函数化为0°〜360°角的三角函数;

(3)小化锐：将大于90°的角的三角函数化为0°〜90°角的三角函数；

(4)锐求值：得到0。〜90°角的三角函数后直接求值.

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了."

2.常见的互余和互补的角

常见的互余关系有W—a与不+a,-y+a与石~a,彳+a与彳—a

等；常见的互补关系有T+。与胃-亍+。与?一。等.

变式训练

1.sin(-1200°)cos1290°=.

解析：原式=-sin1200°cos1290°

=-sin(3X360°+120°)cos(3X360°+210°)

=—sin120°cos210°

=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)

=sin60°cos30°

=齿乂齿=

-22-

答案：i3

1JT

2.=3则cos(a+彳)=

解析：因为sin(a—5,a+,=刊+(a—1),

1

所以

cos3,

答案：一；

(it,A»兀、

cosl^+aIsin\~^~~a\

3.已知犬a尸品

(一兀―a)tan(兀―a)，则d—弩）的值为

解析：因为加）=c°s（―…）tan（La）

-sina(—cosa)

同角三角函数基本关系式多维型

角度一公式的直接应用

国万1（1）已知角a是第二象限角,且满足sin怎+a）+3cos（a—兀）=1,则

tan（兀+a）等于（）

A.小B.一小

C.一坐D.-1

3

（2）（2020•北京市适应性测试）已知a是第四象限角，且tana=—贝ijsina

=()

33

B.

55

44

C.D.

55

4

（3）（多选）若sina=q,且a为锐角，则下列选项中正确的是（）

3

A.tan«=|B.cosa=§

C.sina+cosa=|D.sin。-cosa=一§

(1)B(2)A(3)AB［由sin+3cos(a—兀)=1,

得cosa—3cosa=1,/.cosa=­g,

・・,角a是第二象限角，・・・sina=3

sina

tan(i+a)tn==­V3.

/.7=aacosa

-e、？sina3

(2)因为tana=-------=一彳,

''cosa4

4

所以cosa=-gsina①，sin2a+cos2a=1②.

a

由①②得sii?a=x，又a是第四象限角，

3

所以sina<0,则sina=­g,故选A.

43

(3)Vsin且。为锐角•・.cosa=yjI—sin2a

5'

4

sina54

..tana=cosa2=3，故AB正确.

5

.,.sina+cosa=1+|78

=5若,

3|羊Y，故CD错误.1

sina—cos5

争归纳升华

同角三角函数关系式的应用方法

(1)利用si/a+cos2a=1可实现a的正弦、余弦的互化，利用舞=tana

可以实现角a的弦切互化.

(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,

因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判

断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.

角度二sina,cosa的齐次式问题

厂中；「jsina+3cosa

一已知3cosa—sina则sino^-sin小«=

解析：法一：由已知可得sina+3cosa=5(3cosa-sina),即6sina=12cos

a,sina=2cosa,

sinQ

所以tana==2.

cosa

“b.i.sin*2a-sinacosa

从而sim—sinacos(z=―—；=

sina+cosa

si/a—sinacosa

cos%tan2a-tana22-2_2

sin2a+cos2atan2a+l22+15

COS，2

sin3cosa

一一z__-rsina+3cosacosatancc+3

法二：由已知可得zn^------：—=7-----------：—=5,整理得tan

3cosa-sina3cosa-sina3—tana

cosa

sin2a-sinacosa

s•ir2ra-sm,acosa____C2OS%____

a=2.从而sin2a—sinacos

sin2a+cos2asin2a+cos2a

cos5-a

tara—tana22—22

tan2a+1=4=5.

2

答案：5

?归纳升华

三角函数式中“弦化切”常见形式及解决办法

asina+be。3a

»|alana+6|

atina+dcosa

1(ctana+dJ

（c.d不同时为0）

(sina代人tana

-----=tana

Icom)求值,

osin2a+6cos2a+esinaco«a

atan2a+6+etana

csin2a+dco»2a+「inaco3a

ctan2a+d+/tana

(c.d./不同时为。)

；解题方法同

分母舟作I

asin2a+6cos2aicsinacosaasin2a+6cos2a+c»inaco8a]

22

sin2a+cos2al=sina+co8a

角度三"sina土cosa,sinacosa”之间的关系

ET4]已知a£(一兀，0),sina+cosa=；.

⑴求sina—cosa的值;

sin2a+2sin2a

⑵求L的值.

解析：⑴由sina+cosa=g,

平方得sin2a+2sinacosa+cos2a,

24

整理得2sinacosa=一十.

(sina-cosa)2=1-2sinacos]=石.

由a£(一兀，0),知sina<0,

又sina+cosa>0,

cosa>0,贝!1sina—cosa<0,

故sina—cosa=­].

sin2«+2sin2a2sina(cosa+sina)

(2)j-：

'1—tana〔sina

cosa

2sinacosa(cosa+sina)

cosa—sina

241

~25X5_24

~~=-T75-

5

平归纳升华

正弦、余弦“sina土cosa,sina-cosa”的应用

sina±cosa与sina-cosa通过平方关系联系到一起,即(sina±cosa)2=1±2sin

.(sina+cosa)2~1.1—(sina-cosa)2

acosa,sinacosa=,sinacosa=------------耳-------.

因此在解题中已知1个可求另外2个.

变式训练、

1.已知。是第四象限角，sina=一以，贝！Jtana等于()

A-ABA

A.BB.]3

「12-12

c--TD-T

12

C[因为。是第四象限角，sin。=一记,

所以cosa>0,cosa=y/l—sin2a=卷.

sina12

故tana=------=-7".1

cosa5」

_jrjr

2.已知tana=3,则sin伤—a)-cos(x+a)的值为()

A33

A-loB--To

33

C.5D.

、、7171

A[法一：依题意，sin(2—a)・cos(]+a)

—cosasina—tana3

=-c°sa.sma=cos2a+sin2a=l+tan2<z=~U)，

故选B.

法二：因为tana=3,所以sina=3cosa,又sir?、+cos2a=i.所以cos2a=^,

而sin(2—a>cos(5+a)

3

=­cosa-sina=-3cos2a=­.故选B.]

3.(多选)(2020•山东淄博部分学校联考)已知兀)，sinG+cos,

则下列结论正确的是（）

。£卷兀)3

A.B.COS9=——5

c八37

C.tan8=­zD.sin9——C0S夕=5

ABD[〈sin夕+cos①,

(sin9+cosOP=出sin2^+2sin0cos0+cos20=^,/.2sin^cos0=

2417i}

—X兀），・入由夕＞0,cos。＜0,，。金6，7TJ,故A正确.（sin夕一cos8）2

4074

=1—2sinOcos夕=不，:.sin。-cos②，故D正确.①+②得sin,

4

①一②得cos。=—&,故B正确,tan。=皆黑=一g，故C错误.故

,J17JJ

~5

选ABD.]

微专题系列16［学科素养］

数学运算——三角函数式的化简与求值

数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际

问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝

不苟、严谨求实的科学精神.

（2020♦湖北宜昌一中期末）已知a是第三象限角，且cosa=一嚅.

（1）求tana的值；

..f＞4cos（7i-a）,,

（2）化间并求-----------------r~r的值.

2sin（—a）+sin（2+aJ

解析：（l）；a是第三象限角，cosa=—H,

.._r.-------r_3vHi.,sina

••sina——\l1-cosa——［八,・•tana——3.

Y10cosa

南弋—cosacosa]

‘、—2sina+cosa2sina—cosa2tana—\

由(1)知tana=3,J原式=0丫:一=7

，名师点评三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的

基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算.

变式训练

771

1.已知sina+cos,月.夕£(0,),则

cos(兀+a)cos吟+a)cosa)

------------------------------篇一的值为

cos(7t—a)sin(一九+a)sin

7,49

解析：由sina+cosa=§,得1+2sinacos。=石,

口口.12tana12

即sinacosa=E,而嬴=25

兀3

又a£(0,1),故tana<l,解得tana=1.

cos(兀+a)cos(?+a)cos(号a)

故------------------------------京一

cos(7：­a)sin(―兀+a)sin(5+a)

—cosasin2a3

cosasina4

答案：-i3

2.(2020•天津一中月考)已知sina—cos(0<a<7i),贝Icos%+sin%的

值为.

解析：将sina—cosa=g的两边平方，得(sina—cosi>=1-2sinacosa

[8,4

=§，所以2sinacosa=g,所以sinacos,所以cos4«+sin4a=(sin2a+

cos2a)2—2sin2acos2a=1—2x(-

)>81,

答案：署49

O1

［友情提示］每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入“课时作业（二十二）"，去收获希望，体验成功！本栏目内容

以活页形式分册装订！

3.三角恒等变换

课程标准考向预测

1.经历用向量的数量积推导出两角

差的余弦公式的过程，进一步体会向量

方法的作用.

考情分析：两角和、差及倍角公

2.能从两角差的余弦公式推导出两

式的正用、逆用和变形用仍将是高考考

角和与差的正弦、余弦、正切公式，二

查的热点，题型仍将是选择题与填空题.

倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它

学科素养：数学抽象、直观想象、

们的内在联系.

逻辑推理、数学运算.

3.能运用上述公式进行简单的恒等

变换(包括推导出积化和差、和差化积、

半角公式，这三组公式不要求记忆).

❷埠分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关。

V学生用书P72

I整知识I.............................................»

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(l)sin(a±^)=sinacos夕土cosasin伙异名相乘、加减一致)；

(2)cos(a邛)=cosacos尸土sinasin伙同名相乘、加减相反)；

(3)颉(当尸(两式相除、上同下异).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

/「、-2tana

(3)tan2a=\?—T~.

1—tanza

［注意］(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中的特殊情况.

(2)二倍角是相对的，如：是市的2倍，3a是李的2倍.

I?常用结论

1.公式的逆用、变形

(l)tana±tan(=tan(a切)(1干tanatan()；

1+cos2a1-cos2a

(2)cos9a=-----------,sin9a=-----------

(3)1+sin2a=(sina+cosa)2,

1—sin2a=(sina-cosa)2,

2.三角公式内在关系

I练基础I..............................................................»）

i.判断下列结论是否正确（请在括号中打y”或\”）

（1）存在实数a,但使等式sin（a+£）=sina+sin夕成立.（）

⑵两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,夕是任意角.（）

（3）存在实数a,使tan2a=2tana.（）

答案：（iw（2）q（3）v

2.（必修4P130例4改编）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（）

D[sin20°cos10°-cos160°sin100

=sin20°cos100+cos20°sin10°=sin(20°+10°)

=sin300=2,1

3.（必修4P127练习T2改编）若cosa=一a是第三象限的角，则sin（a

)等于()

・喑

A-也B也c3D

A.j0B.]0G10

B[因为a是第三象限的角，

所以sina=一71—cos2a=—1,

,3X也―一）义啦=

所以sin(a—)=sinacos—cosasm彳52（5）2—

兴•】

2

4.(2020•全国卷H)右sin尤=-g,则cos2%=

2

解析：因为sinx=一所以由二倍角公式，得cos2x=l—2sin2%=l-

2XL|）2=9-

答案：（

5.（必修4P138习题T19改编）［一

1—tanl51+tan15------------

]______1_________1+tan15°-(1-tan15°)

1—tan15°-1+tan15°=(1-tan15°)(1+tan150)

2tan15°=tan30°=乎.

l-tan215°

答案:由