热学例题PPT学习教案

1、会计学1 热学例题热学例题 氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示. 解解 例例1 求求 (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 1000 He 2 H m/s1000 2 H 2 )( 2 H RT p v m/s1041. 1 3 2 H 2 3 )( 2 H RT v m/s1073. 1 3 He He RT 2 p v )(vf )m/s(vO (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， 1410 第1页/共37页 有大量的某种粒子，总数目为有大量的某种粒子，

2、总数目为N N， 其速率分布函数为其速率分布函数为 均为正常数，且 为已知 (1)画出该速率分布函数曲线画出该速率分布函数曲线 (2)根据概率分布函数应满足的基本根据概率分布函数应满足的基本 条件，确定系数条件，确定系数C (3)求速率在求速率在0到到0.3v0 区间的粒子数区间的粒子数 第2页/共37页 假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为 均为正常数，且 为已知 画出该速率分布函数曲线 根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数 求速率在 区间的粒子数 得 Max + 0 cvv 第3页/共37页 概率分布函概率分布函 数应满足归数应满足归 一化条件一化条件 本题本题 要求

3、得 均为正常数，且 为已知 假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为 画出该速率分布函数曲线 根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数 求速率在 区间的粒子数 Max 第4页/共37页 概率分布函数应满 足归一化条件 本题 要求 得 速率 在 区间的粒子数 得得 均为正常数，且 为已知 假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为 画出该速率分布函数曲线 根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数 求速率在 区间的粒子数 Max 第5页/共37页 有有N 个粒子，其速率分布函数个粒子，其速率分布函数 为为 0 00 00 20 2)( 0 vv vvvv vvvv af a

4、(1) 作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数 3 求求 第6页/共37页 0 v a 有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为 0 00 00 20 2)( 0 vv vvvv vvvv af a (1) 作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数 解解 例例 求求 )(vf 0 2v 0 3 2 v a 1 2 1 00 aavv (1) 由归一化条件，得由归一化条件，得 1dd 0 0 0 2 0 0 v v

5、v vv v v a a vO 第7页/共37页 0 v a 有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为 0 00 00 20 2)( 0 vv vvvv vvvv af a (1) 作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数 解解 例例 求求 )(vf 0 2v 0 3 2 v a 1 2 1 00 aavv (1) 由归一化条件，得由归一化条件，得1dd 0 0 0 2 0 0 v v v vv v v a a vO (2) 速率分布曲线下的面积代表：速率分布曲线下的面积代表：一定速率一定速率 区

6、间内的区间内的分子数分子数与总分子数的比率与总分子数的比率 : 0 vv 3 2 3 2 0 0 v va 0 v N N NN 3 2 : 0 vv 3 1 3 2 2 1 0 0 v v a 0 2 1 v N N NN 3 1 第8页/共37页 金属导体中的电子，在金属内部作无金属导体中的电子，在金属内部作无 规则运动，与容器中的气体分子很类规则运动，与容器中的气体分子很类 似。设金属中共有似。设金属中共有N 个电子，其中电个电子，其中电 子的最大速率为子的最大速率为vm，设电子速率在，设电子速率在 vv+dv 之间的几率为之间的几率为 N Nd m vv 0 m vv 0 4 求求 (

7、1)A (2)该电子气的平均速率该电子气的平均速率 dvA 2 v 式中式中A 为常数为常数 第9页/共37页 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很 类似。设金属中共有类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大速率为个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率，设电子速率 在在vv+dv 之间的几率为之间的几率为 式中式中A 为常数为常数 vv d 2 A N Nd m vv 0 m vv 0 解解 例例 求求(1)A (2)该电子气的平均速率该电子气的平均速率 m v v f(v) 0 d m A v

8、vv 0 2d 1 3 3 m A v (1) 由归一化条件，得由归一化条件，得 3 3 m A v 第10页/共37页 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很 类似。设金属中共有类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大速率为个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率，设电子速率 在在vv+dv 之间的几率为之间的几率为 式中式中A 为常数为常数 vv d 2 A N Nd m vv 0 m vv 0 解解 例例 求求 (1)A (2)该电子气的平均速率该电子气的平均速率 NN m )d( 0 v vv

9、 m A v vv 0 3d 4 4 m Av (2)仅在仅在（0 ，vm）区间分布有电子，区间分布有电子， dvvfvgvg)()()( 0 (1) 归一化条件归一化条件 m v v f(v) 0 d1 3 3 m A v m A v vv 0 2d 3 3 m A v 4 3 4 3 m m v v m v 4 3 第11页/共37页 根据麦克斯韦速率分布律，根据麦克斯韦速率分布律， 试求速率倒数的平均值试求速率倒数的平均值 。 ) 1 ( v 5 或证明：或证明： v A 1 ) 1 ( v 第12页/共37页 要想把函数积出来，要配上相应系数要想把函数积出来，要配上相应系数 根据麦克斯

10、韦速率分布律根据麦克斯韦速率分布律,代入分布函数代入分布函数 2 v v 2 2 2/3 ) 2 (4)( kT m e kT m vf 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。 ) 1 (v 根据平均值的定义根据平均值的定义 速率倒数的平均值为速率倒数的平均值为 0 d)( 1 ) 1 (vv vv f vv v d) 2 (4 0 2 2/3 2 kT m e kT m 2/3 ) 2 (4 kT m kT m 2 解解 5 4 8 kT m 1 v dvvfvgvg)()()( 0 )( m kT 0 2 2 v kT m e ) 2

11、(d 2 v kT m dvvfvgvg)()()( 0 v A 1 化为的形式化为的形式 4 第13页/共37页 根据麦克斯韦速率分布率，根据麦克斯韦速率分布率， 试证明速率在最概然速率试证明速率在最概然速率 vpvp+v 区间内的分子数与区间内的分子数与 温度温度 成反比成反比( 设设v 很小很小)T 6 T 1 vv)( p NfN 即即先先算出算出 再再证明证明: )( p f v 第14页/共37页 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vpvp+v 区间内的分子数与温度区间内的分子数与温度 成反比成反比( 设设v 很小很小)T

12、 22/2/3 2 ) 2 (4)(vv vkTm e kT m f 2 / 3 22 4 vv vv p e p )( p f v 最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律 6 证证 vv)( p NfN T N 1 v 1 2 4 e kT mN 最概然速最概然速 率区间内率区间内 的分子数的分子数 m kT vp 2 11 4 e p v vv )( p f N N v 11 4 ev N p 这一步是为了进一步的计算的方便这一步是为了进一步的计算的方便 代入代入 和的 和的 关系式关系式 第15页/共37页 例题例题7 用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积

13、器壁上的用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的 气体分子数。气体分子数。 【解解】取直角坐标系取直角坐标系xyz，在垂直于，在垂直于x轴的器壁是取一小块面轴的器壁是取一小块面 积积dA。设单位面积内的气体分子数为。设单位面积内的气体分子数为n，则单位体积内速度，则单位体积内速度 分量分量vx在在vx vx+dvx之间的分子数为之间的分子数为nf(vx)dvx。在所有。在所有vx介介 于于vx vx+dvx之间的分子中，在一段时间之间的分子中，在一段时间dt内能够与内能够与dA相碰相碰 的分子只是位于以的分子只是位于以dA为底、以为底、以vxdt为高的柱体内的那一部分，为高的柱体内的那一

14、部分， 其数目为其数目为nf(vx)dvx vxdtdA=n vx f(vx)dvx dtdA 每秒碰到单位面积器壁上速度分量每秒碰到单位面积器壁上速度分量vx在在vx vx+dvx之间之间 的分子数即为的分子数即为 x kTmv xxxx dve kT m nvdvvfnv x 2 21 2 2 vx 0的分子显然不会与的分子显然不会与dA相碰，所以将上式从相碰，所以将上式从0到到对对vx积分积分 第16页/共37页 每秒碰到单位面积上的分子总数为每秒碰到单位面积上的分子总数为 xx kTmv xxx dvve kT m ndvvfnv x 2 0 21 0 2 2 查附录查附录31的积分表

15、可求出的积分表可求出 m kT dvve xx kTmvx 2 0 2 代入前式即得代入前式即得 21 0 2 m kT ndvvfnv xxx 由于分子的平均速度为由于分子的平均速度为 21 88 m kT m kT v 所以上面的结果可写作所以上面的结果可写作 vndvvfnv xxx 4 1 0 这就是用麦克斯韦速度分布律求得的结果。这就是用麦克斯韦速度分布律求得的结果。 第17页/共37页 飞机起飞时飞机起飞时, 压强压强 po=1atm、温度、温度t=27C; 当当压强变为压强变为p=0.8atm时，时， 飞机的高度是多少？飞机的高度是多少？ 第18页/共37页 飞机起飞时飞机起飞时

16、, 压强压强po=1atm、温度、温度t=27C;当当 压强变为压强变为p=0.8atm时，飞机的高度是多少？时，飞机的高度是多少？ 由公式：由公式： p p ln gM RT z o mol 代入代入R=8.31, T=300, Mmol =2910-3, g=9.8, 得得Z=1.96km。 解解 第19页/共37页 求上升到什么高度时大求上升到什么高度时大 气压强减为地面的气压强减为地面的75% ？ 设空气温度为设空气温度为0C， 空气的摩尔空气的摩尔 质量为质量为0.0289 Kg/mol 第20页/共37页 求上升到什么高度时大气压强减为地面的求上升到什么高度时大气压强减为地面的 7

17、5% ？设空气温度为设空气温度为0C， 空气的摩尔质量空气的摩尔质量 为为0.0289 Kg/mol。 750ln 8902890 273318 . . . 0 eP P RT gh RT gh P P 0 ln 解解 0 ln P P g RT h RT gh e P P 0 m2300 第21页/共37页 实验测得常温下距海平面不太高实验测得常温下距海平面不太高 处，每升高处，每升高10 m，大气压约降，大气压约降 低低133.3 Pa。 试用恒温气压公式验证此结果试用恒温气压公式验证此结果. 海平面上大气压按海平面上大气压按1.013105 Pa 温度取温度取273K。 第22页/共37

18、页 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压，大气压 约降低约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面。试用恒温气压公式验证此结果（海平面 上大气压按上大气压按1.013105 Pa 计，温度取计，温度取273K）。）。 解解 / 00 mgh kTgh RT pp ep e 0 d(d ) gh RT g pp eh RT d d pg h pRT 等温气压公式等温气压公式 将上式两边微分将上式两边微分 第23页/共37页 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压，大气压

19、约降低约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面。试用恒温气压公式验证此结果（海平面 上大气压按上大气压按1.013105 Pa 计，温度取计，温度取273K）。）。 RTp h g p 53 10013. 1 3 .133 101097.28 27331. 8 m3 .10 解解 / 00 mgh kTgh RT pp ep e 0 d d() gh RT g h pp e RT d d pg h pRT 等温气压公式等温气压公式 将上式两边微分，有将上式两边微分，有 第24页/共37页 在大气中取一无限高的直立圆在大气中取一无限高的直立圆 柱体，截面积为柱体，截面积为A ，

20、 设柱体中分子设柱体中分子 数为数为N 。 设大气的温度为设大气的温度为T ，空气分子，空气分子 的质量的质量 。 就此空气柱求玻耳兹曼分布律就此空气柱求玻耳兹曼分布律 中的中的n0 第25页/共37页 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，根据玻耳兹曼分布律，在重力场中， 存在于存在于xx+dx ， yy+dy ， zz+dz 区间内，具有各种速度的分子数为区间内，具有各种速度的分子数为 取取z 轴垂直向上，地面处轴垂直向上，地面处 z=0，可得可得 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体设柱体 中分子数为中分子数为N 。设大气的温度为。设大

21、气的温度为T ，空气分子的质量，空气分子的质量 。 就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0 解解 VnNdd / 0 0 d gzRT Nn eA z zyxen kT p ddd / 0 0 Ng n ART 解得解得 第26页/共37页 拉萨海拔约拉萨海拔约3600m ,气温为气温为273K, 忽略气温随高度的变化。当海平面忽略气温随高度的变化。当海平面 上的气压为上的气压为1.013105 Pa 时，时， (1) 拉萨的大气压强；拉萨的大气压强； (2) 若某人在海平面上每分钟呼若某人在海平面上每分钟呼 吸吸17 次，他在拉萨呼吸多少次次，他在拉萨呼吸多少次 才

22、能吸入同样的质量的空气。才能吸入同样的质量的空气。 M=2910- -3 kg/mol 求求 第27页/共37页 拉萨海拔约为拉萨海拔约为3600m ，气温为气温为273K，忽略气温随高度的变，忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，时， 由等温气压公式由等温气压公式 0 gh RT pp e (1) 拉萨的大气压强；拉萨的大气压强； (2) 若某人在海平面上每分钟呼吸若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样的质量的空气。次才能吸入同样的质量的空气。M=2910- -3 kg/mol 解解 求求

23、 )27331. 8( 36008 . 91029 5 3 10013. 1 e pa10645.0 5 第28页/共37页 拉萨海拔约为拉萨海拔约为3600m ，气温为气温为273K，忽略气温随高度的变，忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，时， 由等温气压公式得由等温气压公式得 3 29 109.8 3600 5(8.31 273) 0 1.013 10 gh RT pp ee 设人每次吸入空气的容积为设人每次吸入空气的容积为V0 ， 在拉萨应呼吸在拉萨应呼吸x 次次 )17()( 000 VpxVp次7 .26x pa10645.0

24、5 (1) 拉萨的大气压强；拉萨的大气压强； (2) 若某人在海平面上每分钟呼吸若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样的质量的空气。次才能吸入同样的质量的空气。M=2910- -3 kg/mol 解解 求求 则有则有 第29页/共37页 一容器内某理想气体的温度为一容器内某理想气体的温度为 273K, 密度为密度为= 1.25 g/m3， 压强为压强为 p = 1.010- -3 atm (1) 气体的摩尔质量气体的摩尔质量,是何种气是何种气 体？体？(2) 气体分子的平均平动动气体分子的平均平动动 能和平均转动动能？能和平均转动动能？(3)

25、单位体单位体 积内气体分子的总平动动能？积内气体分子的总平动动能？ (4) 设该气体有设该气体有0.3 mol，气体，气体 的内能？的内能？ 1 求求 第30页/共37页 一容器内某理想气体的温度为一容器内某理想气体的温度为273K，密度为，密度为= 1.25 g/m3， 压强为压强为 p = 1.010- -3 atm (1) 气体的摩尔质量，是何种气体？气体的摩尔质量，是何种气体？ (2) 气体分子的平均平气体分子的平均平 动动能和平均转动动能？动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平单位体积内气体分子的总平 动动能？动动能？ (4) 设该气体有设该气体有0.3 mol，气

26、体的内能？，气体的内能？ 解解 1 求求 p RT M 是是N2 或或CO 。 (1) 由由 ，有，有 RT M m pV 53 3 10013. 110 27331. 81025. 1 kg/mol028. 0 第31页/共37页 一容器内某理想气体的温度为一容器内某理想气体的温度为273K，密度为，密度为= 1.25 g/m3， 压强为压强为 p = 1.010- -3 atm (1) 气体的摩尔质量，是何种气体？气体的摩尔质量，是何种气体？ (2) 气体分子的平均平气体分子的平均平 动动能和平均转动动能？动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平单位体积内气体分子的总平 动

27、动能？动动能？ (4) 设该气体有设该气体有0.3 mol，气体的内能？，气体的内能？ 解解 1 求求 kg/mol028. 0 10013. 110 27331. 81025. 1 53 3 p RT M 是是N2 或或CO 。 (1) 由由 ，有，有 RT M m pV (2) 平均平动动能和平均转动动能为平均平动动能和平均转动动能为 J1056. 52731038. 1 2 3 2 3 2123 kT t J1077. 32731038. 1 2123 kT r 第32页/共37页 (3) 单位体积内气体分子的总平动动能为单位体积内气体分子的总平动动能为 32 23 2 21 J/m1052. 1 2731038. 1 10013. 1 1056. 5 kT p nE ttt J1070. 127331. 8 2 5 3 . 0 2 3 RT iM E (4) 由气体的内能公式，有由气体的内能公式，有 (1) 气体的摩尔质量，是何种气体？气体的摩尔质量