热传导方程扩散方程剖析PPT学习教案

1、会计学1 热传导方程扩散方程剖析热传导方程扩散方程剖析 1.1 数学模型的建立 数学模型建立的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。 第1页/共45页 第一节 热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出： 给定一空间内物体 ，设其上的点 在时刻 的温度为 。 模型： 问题 ： 研究温度 的运动规律。 G ( , )x y z t( , , )u x y z t ( , , )u x y z t 第2页/共45页

2、 1、热量守恒定律: 2、傅里叶（Fourier）热传导定律: 温度变 化吸收 的热量 通过边 界流入 的热量 热源放 出的热 量 ( , ), u dQk x y zdSdt n 为热传导系数。( , )k x y z 3、热量公式 : Qcmu 第3页/共45页 任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。 1 Q 热传导方程的推导： GS 热量 守恒 定律 区域 内各点的温度从时刻 的温度 改变为时刻 的温度 所吸收（或 放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这 段时间内通过曲面 流入（或流出） 内的 热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即 1 t 2

3、t 1 ( , , , )u x y z t 2 ( , , , )u x y z t 1 t 2 t S 内温度变化所需要的热量 =通过曲面 流入 内的热量 +热源提供的热量 Q S 2 Q 下面分别计算这些热量 第4页/共45页 ( , , ),cc x y z （1） 内温度变化所需要的能量 Q G 那么包含点 的体积微元 的温度从 变为 所需要的热量为 1 C 21 ( , , ,)( , , ,)dQcu x y z tu x y z tdV dV 设物体的比热（单位质量的物体温度改变 所需要的热量为 密度 为 ( , , ),x y z ( , , )x y z 1 ( , , ,

4、 )u x y z t 2 ( , , , )u x y z t 整个 内温度变化所需要的能量 Q 22 11 21 ( , ,)( , ,) ()(1.1) tt tt QdQcu x y z tu x y z tdV uu cdt dVcdV dt tt 第5页/共45页 （2）通过曲面 进入 内的热量 1 QS 由傅里叶热传导定律，从 到 这段时间内通过 进入 内的热量为 2 t 1 t S 2 1 1 ( , ), t t S u Qk x y zdSdt n 由高斯公式 x S divAdxdydzA ndS 知 2 1 1 ()()().(1.2) t t uuu QkkkdV d

5、t xxyyzz 第6页/共45页 （3）热源提供的热量 2 Q 用 表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 到 这段时间内 内热 源所提供的热量为 ( , , , )F x y z t 2 t 1 t 2 1 2 ( , , )(1.3) t t QF x y z t dV dt 由热量守恒定律得： 22 11 2 1 ()()() ( , , , ) tt tt t t uuuu cdVdtkkkdV dt txxyyzz F x y z t dVdt 由 及 的任意性知 12 ,t t ()()()( , , , ).(1.4) uuuu ckkkF x y z t t

6、xxyyzz 第7页/共45页 三维无热源热传导方程： 222 2 222 0 .(1.6) uuuu a txyz 三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 都为常数的物体） 222 2 222 ( , , ),(1.5) uuuu af x y z t txyz 2 , kF aff cc 其中称为非齐次项（自由项）。 ,ck 通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。 第8页/共45页 二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件： ( , )( , ),( , ),0: (1.7)u x tx y zx y zGt 边界条件： 1、第一边界条件

7、（ Dirichlet 边界条件） 特别地： 时，物体表面保持恒温。( , , )0g x y z t ( , , ),( , ),0,(1.8)ug x y z tx y zt ()G 第9页/共45页 2、第二边界条 件 （ Neumann 边界条件） ( , , )0g x y z t 特别地： 时，表示物体绝热。 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 ) ( , , ),( , ),0,(1.9) u kg x y z tx y zt n ( , , ),( , ),0,(1.10) u ug x y z tx y zt n 11 1 0,. kk gu kk 其中： 表示 沿边

8、界 上的单位外法线方向 的方向导 数 u n u n 注： 第10页/共45页 注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 的物体放入 空 气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为 ，它与物体表面的温度 并不相同。这给出了 第三边界条件的提法。 1( , , , ) u x y z t ( , , , )u x y z t ( , , , )u x y z t 热传 导试 验定 律或 牛顿 定律 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比 ： 11 (),(1.11)dQk u u dSdt 其中比例常数 称为热交换系数 1 0k 第11页/

9、共45页 流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶 定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定： 11 (), u kdSdtk uu dSdt n 或 11 (). u kk uu n ( , , ) ()|( , , , ). x y z u ug x y z t n 即得到（1.10）： 第12页/共45页 例 长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 0 q ，写出这个热传导问题的边界条件。 在边界上有： 若端点是绝热的， 则 解： n u kq 0 0 |qq x u k n u k n lx lx x=l处 ： 0| 0 x lx x u x u x q 0 q 0 nn

10、k q x u x 0 0 | x=0处： 00 )( |qq x u k n u k n lx x k q x u lx 0 | 第13页/共45页 三、定解问题 定义1 在区域0,)G 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。 2 12 0,0,0, ,0( ),0,0, ,( ),( ),0,0. txx x ua uxlt u xxxl t u o ttul thu l ttth 例如三维热传导方程的第一初边值问题为： 2 0 ( , , ) ()( , , , ), ( , , , ),0, ( , , , )|( , , ),(

11、, , , ), |( , , , ),0. txxyyzz t x y z ua uuuf x y z tx y z tt u x y z tx y zx y z t ug x y z tt 第14页/共45页 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题 。 例如三维热传导方程的初值问题为： 定义2 在区域 3 0,)R 上，由偏微分方程和初 23 3 0 ()( , , , ), ( , , , ),0, ( , , , )|( , , ),( , , , ). txxyyzz t ua uuuf x y z tx y z tRt u x y z tx y zx y z tR 第15页/共

12、45页 2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样； 3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。 1、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以 刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程； 注 4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分 布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导 方程： 2 2 2 .(1.12) uu a tx 而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程： 22 2 22 ().(1.13) uuu a txy 第16页/共45页 当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导 、扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的 物理量 不随时间变化

13、而变化，因此 . u 0 u t 如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到 不随时间变化而变化的温度 所满足的方 程： , , ,u x y z t 222 222 0,(*) uuu xyz 方程(*)称为三维拉普拉斯(Laplace)方程或者 调和方程，它通常表示成为 或者 的形式。 0u 2 0u 第17页/共45页 拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。 222 222 , ,( ) uuu fx y z xyz 其中 , ,( , , )/ .fx y zF x y xk 如果我们考虑有源的稳定热场，则可以

14、得到方程： 非齐次方程 通常叫做泊松(Poisson)方程，记作 , ,ufx y z 或 者 2 , ,.ufx y z ( ) 第18页/共45页 ()( , , ),( , , ), ( , , )|( , , ),( , , ). xxyyzz uuuf x y zx y z u x y zx y zx y z ( , , ),( , , ), ( , , ),( , , ). uf x y zx y z u x y zx y z n ( , , ),( , , ), ( , , ),( , , ). uf x y zx y z u ux y zx y z n 1、Dilichlet问

15、题。 2、Neumann问题。2、Neumann问题。 3、 第三边值问题。 第19页/共45页 波动方程（双曲型） 声波、电磁波、杆的 振 动； 热传导方程（抛物型） 热传导，物质扩散 时 的浓度变化规律, 土壤力学 中的渗透方程; Laplace方程 （椭圆型） 稳定的浓度分布, 静电场的电位, 流体的势。 总 结： 第20页/共45页 初始条件和边界条件通称为定解条件。 定解问题是指泛定方程和相应定解条件的结合体。 泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为初值 问题或者柯西(Cauchy)问题。 )( )(| )0,( 0 0 2 xxu txuau t xxt 第21页/共45页 )(

16、| )( )(| )0,( 0 0 0 2 xu xxu txuau tt t xxtt 波方程的Cauchy问题 由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。 ).,( ,),( , 0 yxfu yxu Laplace方程的边值问题 第22页/共45页 由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。 ), ,()( ),( ),( 0,),( 0)( 0 2 tzyxfu n u zyxzyxu tzyxuuuau t zzyyxxt 热传导方程的混合问题 第23页/共45页 22 2 0,0; 22 uu axlt tx , 2 2 ll l 0 例 设弦

17、的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。 解： ,0 2 ,0 0 0 , 2 l xx u u t lt t lxxl 0; 0 uu xxl 第24页/共45页 一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以 下几个方面： 1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的 ，否则称解是不稳定的。 2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 第25页/共45页 数理方程的一些基本概念 (1) 偏微分

18、方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 222 22 ( , , ,)0 uuuuu F x yu xyxyx y 其中( , ,)u x y 是未知多元函数， 而 , ,x y 是未知变量； , uu xy 为u 的偏导数. 有时为了书写方便，通常记 2 2 , xyxx uuu uuu xyx 第26页/共45页 (2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶 (3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为 偏微分方程的次数 (4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所 有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程， 高于一次以上的方程称为非

19、线性方程 第27页/共45页 (5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程 (6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项 第28页/共45页 5、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程 成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续， 则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。 通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意 常数的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。 6、求解方法 分离变量法、 特征线法、格林函数法 第29

20、页/共45页 ),(),( 1 atxFtxu ,F xG x )(),( 2 atxGtxu 21 uu 和 xot0 2 xxtt uau 解 直接计算可得 ).( ),( 2 1 2 1 atxF x u atxF x u ).()( ,)( 22 2 1 2 1 atxFaaatxF t u aatxF t u 2 1 2 x u 2 1 2 t u 2 u 代 ， 到方程中即得结论成立. 类似可证 也是方程的古典解. 第30页/共45页 第31页/共45页 (4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程； (5) 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程 3、微

21、分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程； 第32页/共45页 x x u a t u 2 2 2 2 2 22 2 22 uu au xt 2 2 2 uu axu xt 2 22 11 0 uu 判断下列方程的类型思考 第33页/共45页 第34页/共45页 2 111 0 nnn iki iki iki uu ABcuf x xx fFu y u E x u D y u C yx u B x u A 2 22 2 2 2 一般

22、二阶线性偏微分方程（n个自变量） 两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式 线性方程的叠加原理 第35页/共45页 称形如 0 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 x x B c y b x b y a yx a x aL 的符号为微分算子。 0 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 x x u uB c y u b x u b y u a yx u a x u auL 第36页/共45页 二阶偏微分方程 fcu y u b x u b y u a yx u a x u a 21 2 2 22 2 12 2 2 11 2 可简写为.fuL 定解条件 g x u x 0 可简写为.guB 第37页/共45页 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上) 第38页/共45页 线性方程的解具有叠加特性 ii fLu ffi uui fLu 0 i Luuui 0Lu 4、叠加原理 叠加原理的物理意义：几种不 同的原因的综合所产生的效果 等于这些不同原因单独产生的 效果的累加。 （以热传导方程为例）叠加原理I 设 ,3 , 2 , 1),(ktxuk 是下面方程的解： (1) ),( , 2 Gtxuau xxt (2) )