相关系数PPT学习教案

1、会计学1 相关系数相关系数 一、协方差（重点） 1、引入背景 二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？n维变量间的关系 举例： （1）不同地区气温间的关系； （2）人的身高、体重间的关系； （3）不同股票收益率间的关系； （4）公司经营业绩与资本结构间的关系。 第1页/共21页 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。 Cov(X,Y) =E X-E(X)Y-E(Y) 协方差为X,Y偏差 X-E(X) 与Y-E(Y) 乘积的数学期 望 (3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X). 2、协方差的定义 说明： (,)()( )(4) : ijij ij

2、COV X YxE XyE Yp 离离散散型型 (, )(:)( ) ( , )COV X YxE XyE Yf x y dxdy 连连续续型型 (2) Cov(X,Y)0，正相关；Cov(X,Y)0, 负相关。=0，不相 关 第2页/共21页 (4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) (2) 对称性： Cov(X, Y)= Cov(Y, X) (3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常 数 3、协方差的主要性质 Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法 ) (5) D(XY)= D(X)+D(

3、Y) 2Cov(X, Y) 11 ()()2(,) nn iiij ij ii DXD XCov XX 推推广广: : (6) 若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 不相关 第3页/共21页 证: (1) Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) (3) Cov(aX, bY) =EaX-E(aX)bY-bE(Y) = ab cov(X, Y)=Eab X-E(X)Y-E(Y) (4) Cov(X1+X2, Y)=EX1+X2 -E(X1+X2)Y-E(Y) =Cov(X1, Y)

4、+ Cov(X2, Y) =EX1 -E(X1)Y-E(Y) +E X2 -E(X2) Y-E(Y) 第4页/共21页 2 (5) D()()()E XYXYE XY 2 ()()() E XYE XE Y 22 ()( )()(2)E XE XE XYE YE XE YE Y ()( )2(, )D XD YCOV X Y (6) X与Y独立 E(XY) =E(X)E(Y) Cov(X,Y)= 0 . 第5页/共21页 8 3 ,) 00.5, 00, 正相关；0, 负相关； =0,不相 关 第10页/共21页 2、相关系数的性质 (1) 1. XY (2) 1 , ( 0), 1 XY a

5、 bP YabX 存存在在实实数数使使 1) 1, XY YX 与与存存在在严严格格线线性性关关系系. . 2) 0, XY YX 与与 不不存存在在线线性性关关系系. . 3) XY YX 越越接接近近1 1, , 与与 线线性性相相关关程程度度越越高高; ; XY YX 越越接接近近0 0, , 与与 线线性性相相关关程程度度越越低低. . 结论： 第11页/共21页 0D(Y-tX)= t2D(X )-2t Cov(X,Y)+D(Y) (, ) () Cov X Y t D X 令，则上式为 D(Y- tX)= )( ),( )( 2 XD YXCov YD 2 ( )1 ,) () (

6、 ) (CovX Y D X D D Y Y 2 ( )1D Y 2 10 1 证1: (1) 根据方差的性质，对于任意实数t 1, (2) ()0D YbX 时时 5, ()0 1D XP Xa 根根据据方方差差性性质质 1 P YbXaP YabX 第12页/共21页 三、不相关与独立的关系（重点） 1、若X与Y独立，则X与Y不相关。 X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 0 () 不不相相关关 2、X与Y不相关, X与Y不一定独立。 反例：见下页 3、(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立 X与Y不相关 即对正态分布来说，独立与不相关等价。 第13页/共21页 反例（P87-例2） 设

7、(X, Y)的分布律为： XY-1 0 1PX=i -1 0 1 0 0 0 0 0 PY=j 1 从而COV(X,Y)=0, 不相关 PX=-1PY=0= 1/8 PX=-1, Y=0X,Y不独立。 111 424 ()1*0*1*0E X 111 424 ( )1*0*1*0E Y 1 4 ()( 1)*( 1)*0( 1)*0*( 1)*1*0 . 1*1*00E XY 第14页/共21页 , , ,. 例例3(3(考考研研题题目目) ) 将将一一枚枚硬硬币币重重复复抛抛n n次次, , 以以分分别别表表 示示正正面面向向上上 反反面面向向上上的的次次数数求求的的协协方方差差及及相相关关

8、系系数数 X Y X Y ( , ), .( ,1) Xb n pYbpnp解解1 1: : 设设正正面面向向上上的的概概率率为为则则 (), ()E XnpD Xnpq( ), ()E YnqD Xnpq (1, 0,1,2,., ) iin i n P XiC p qqpin令令 ( 0,1,2,., ) jnjj n P YjC pqjn , ( ,0,1,2,., ) 0 iin i n P Xi Yji jn ij C p qijn n 第15页/共21页 00 () ij nn ij E XYijp 0 () n iin i n i C pi nqi 2 ()()nE XE X 2

9、 *()n npnpnpq 2 n pqnpq (,)()()( )Cov X YE XYE X E Y 2 * ()n pqnpqnp nqnpq负负相相关关 (,) ()( ) XY Cov X Y D XD Y 1 npq npqnpq : , (,),2()YnXCov X YCov X nX此此解解因因 (, )(,)Cov X nCov X X()D Xnpq 第16页/共21页 四、矩、中心矩简介 () (1,2,.) k kE Xk阶阶( (原原点点) )矩矩: : 设X和Y是随机变量 (2,3,.)() . k EkXkE X阶阶中中心心矩矩: : 数学期望E(X)：一阶原点

10、矩。 方差D(X)：二阶中心矩。 ( ,1,2,.( ( .). ( ,1,2,.).). ( ) kl kl klk l k E X Y E XE XYE Ylk l 阶阶混混合合矩矩: : 阶阶混混合合中中 ) ) 心心矩矩: : 协方差Cov(X，Y)：二阶混合中心矩。 第17页/共21页 本节重点总结 1、协方差、相关系数的定义、性质及计算。 2、不相关与独立间的关系。 第18页/共21页 11 22 1212 1 ,1, , ,. (),( ), . 备备例例 设设有有一一笔笔资资金金100100万万元元, , 投投资资于于甲甲乙乙两两种种资资产产, ,投投资资 比比例例分分别别为为

11、. . 甲甲资资产产的的收收益益率率为为乙乙资资产产的的收收益益 率率为为均均为为随随机机变变量量 已已知知甲甲乙乙两两资资产产的的预预期期收收益益 率率, , 方方差差( (风风险险) )分分别别为为和和 的的相相关关系系数数为为试试求求使使投投资资风风险险最最小小的的投投资资比比例例 xxX YX Y E XE YX Yx 2222 11121112 (1)2(1)xxxx 1 1112 2 ( )()(1) ii i E PxE rxx 组组合合预预期期收收益益率率 11 (1) , Px Xx Y解解: :组组合合收收益益率率 随随机机变变量量 22 1111 ( )()(1)( )2(1)(,)D Px D XxD Yxx Cov X Y 第19页/共21页 2222 11121112 ( )(1