等差数列求和PPT学习教案

1、会计学1 等差数列求和等差数列求和 在过去的三百多年在过去的三百多年 里，人们分别在下里，人们分别在下 列时间里观测到了列时间里观测到了 哈雷慧星：哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（ ） 你能预测出下一次 的大致时间吗？ 2062 相差相差 76 第1页/共36页 你能根据规律在（你能根据规律在（ ）内）内 填上合适的数吗？填上合适的数吗？ (3)(3)1, 41, 4， 9 9， 16,16,（ ），），3636， (4)(4) 1,2 1,2，3 ,53 ,5，8, 138, 13，21 21 ，（，（ ） （1 1）3, 4, 5, 6, 7, 8

2、, 9,( ) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,( ) (2)1(2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,( ) , 2, 4, 8, 16, 32, 64,( ) 25 34 128 10 象这样按照一定的规律排列的一组数象这样按照一定的规律排列的一组数, ,我们称为我们称为数列数列, ,其中其中 每个数都叫做数列的项每个数都叫做数列的项, ,排在第一列的叫第一项排在第一列的叫第一项,( ,(也叫首项也叫首项) )一一 般用般用a a 1 1 表示表示, ,第二列的叫第二项第二列的叫第二项, ,用用a a 2 2表示表示,排在第排在第N N个的个的 数叫第数叫第N N项项,

3、 ,用用a a n n表示表示. . +1 +1 +1 +1 +1 +1+1 +1 +1 +1 +1 +1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 21 22 32 33 3 4 44 4 等差数等差数 列列 等比数等比数 列列 斐波拉斐波拉 契数列契数列 平方数平方数 列列 第2页/共36页 第3页/共36页 n， ， ， ， ， ， 第4页/共36页 第5页/共36页 2125 2536 35 67 第6页/共36页 4051215 8495 8665 813 实战演练2 第7页/共36页 小故事小故事 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加

4、起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+.+98+99+100=? 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法. 第8页/共36页 小故事小故事 老师发现：第一个数加最后一老师发现：第一个数加最后一 个数是个数是101，第二个数加倒数第二个，第二个数加倒数第二个 数的和也是数的和也是101，共有共有50对这样对这样 的数，用的数，用101乘以乘以50得到得到5050。这。这 种算法是教师未曾教过的计算等级种算法是教师未曾教过的计算等级 数的方法，高斯的才华使老

5、师数的方法，高斯的才华使老师 彪特耐尔十分激动，下课后特地向彪特耐尔十分激动，下课后特地向 校长汇报，并声称自己已经没有什校长汇报，并声称自己已经没有什 么可教这位男孩的了。么可教这位男孩的了。 卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯 此男孩叫高斯，是德国数学家此男孩叫高斯，是德国数学家 、天文学家和物理学家，被誉为历、天文学家和物理学家，被誉为历 史上伟大的数学家之一，和阿基米史上伟大的数学家之一，和阿基米 德、牛顿并列，同享盛名。德、牛顿并列，同享盛名。 第9页/共36页 四则运算四则运算 （等差数列求和）（一）（等差数列求和）（一） 第10页/共36页 等差数列的主要内容等差数列的主要内容

6、 1、等差数列的基本知识、等差数列的基本知识 2、等差数列的项、等差数列的项 3、等差数列的和、等差数列的和 第11页/共36页 一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识 第12页/共36页 （1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、66 （2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212 （3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、3030 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数数 列列 数列中的每一个数称为数列中的每一个数称为一一项项； 第第1 1项称为项称为首项首项；最后最后1 1项称为项称为末项末项；

7、在第几个位置上的数就叫在第几个位置上的数就叫第几项第几项； 有多少项称为有多少项称为项数项数； （一）数列的基本知识（一）数列的基本知识 第13页/共36页 （二）等差数列的基本知识（二）等差数列的基本知识 （1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差（公差=1） （公差（公差=2） （公差（公差=5） 通过观察，我们可以发现上面的每一通过观察，我们可以发现上面的每一 个数列中，从第二项开始，后项与前项个数列中，从第二项开始，后项与前项 的差都相等的，具有这样特征的数列称的差都相等的，具有这样特征的数列称 为为等差数列等差数列，

8、这个差称为这个数列的，这个差称为这个数列的公公 差差。 第14页/共36页 第15页/共36页 一、定义 ： 例 1： 观察下列数列是否是等差数列： 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项项起，后一项与它的前一项 的差等于的差等于同一个常数同一个常数，那麽这个数列就叫做，那麽这个数列就叫做等差数列等差数列 。 这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。 1，4，7，10，13 ，16， 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 5，5，5，5，5，5， 1, 3, 5, 7, 10, 1

9、3, 16, 19 公差 = 第二项首项 第16页/共36页 习习:按规律把下列数列补充完整按规律把下列数列补充完整,并且指出那些是等差数列并且指出那些是等差数列. 1,3,6,8,16,18,( ),( ),76,78 81,64,49,36,( ),( ) 35,28,22,17,( ),( ) 1,2,4,7,11,16,( ) 2,3,5,8,12,17,( ) 2,3,5,8,13,( )1,3,7,15,( ) 45,55,66,78,( ),( ) 第17页/共36页 二、等差数列的项二、等差数列的项 第18页/共36页 第19页/共36页 等差数列：等差数列：1、3、5、7、9

10、、11 第第2项：项： 3=1+2 首项首项+公差公差1（2-1） 第第3项：项： 5=1+2 2 首项首项+公差公差2（3-1） 第第4项：项： 7=1+2 3 首项首项+公差公差3（4-1） 第第5项：项： 9=1+2 4 首项首项+公差公差4（5-1） 第第6项：项： 11=1+2 5 首项首项+公差公差5（6-1） 第20页/共36页 a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3da5=a1+4d =1+2 =3 =1+22 =5 =1+3 2 =1+42 =7=9 解:已知a1=1, d =2,a10=？求a21,a34,a57, a66 a10=a1+9d =1+92 =19 a3

11、4=a1+33da21=a1+20d a57=a1+56d =1+562=1+332=1+202 =113=67 =4 1 第21页/共36页 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式： 等差数列的某一项等差数列的某一项= =首项首项+ +公差公差（项数（项数-1 1） an= a1 + d （n-1） 等差数列的首项等差数列的首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1） 适用条件：适用条件：该数列一定要为等差数列该数列一定要为等差数列 第22页/共36页 等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 ） 例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14 求：（求：（1）它的

12、第）它的第10项是多少？项是多少？ （2）它的第）它的第98项是多少？项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？ 分析：首项分析：首项=2 公差公差=3 解：（解：（1）第）第10项：项： 2+3 （10-1）=29 （2）第）第98项：项： 2+3 （98-1）=293 第23页/共36页 等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1） 例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14 求：（求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？ 分析：分析： 被除数被除数=余数余数+除数除数商商 等差数列

13、的某一项等差数列的某一项= 2+ 3（项数（项数-1） 规律：规律： 等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相 对应，公差与除数相对应，（项数对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。）与商相对应。 这个数列每这个数列每1项除以项除以3都余都余2。 等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。项除以它的公差，余数相同。 答：这个数列第答：这个数列第10项是项是29；第；第98项是项是293；这个数列；这个数列 各项除以各项除以3余数相同。余数相同。 第24页/共36页 第25页/共36页 例例2 已知数列已知数列2、5、8、11、1

14、4、17，这个数列有，这个数列有 多少项。多少项。 分析：第分析：第2项比首项多项比首项多1个公差，第个公差，第3项比首项多项比首项多2个个 公差，第公差，第4项比首项多项比首项多3个公差个公差，那第，那第n项比首项比首 项多（项多（n-1)个公差。个公差。 规律：规律：末项比首项多的公差的个数，再加上末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到，就得到 这个数列的项数。这个数列的项数。 等差数列的项数等差数列的项数= 公差个数公差个数 + 1 =（末项（末项-首项）首项）公差公差 + 1 这个数列的项数这个数列的项数= （17-2）3+1=6 第26页/共36页 小结：小结： 等差数列项的有关

15、规律等差数列项的有关规律 等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 ） 等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同项除以它的公差，余数相同 。 等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1 第27页/共36页 练习练习 1、一串数：、一串数：1、3、5、7、9、49。（。（1）它的第）它的第 21项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？ 2、一串数：、一串数：2、4、6、8、2008。（。（1）它的第）它的第25 项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？ 3、一串数：、一串数：101、102

16、、103、104、199。（。（1） 它的第它的第30项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？ 4、一串数：、一串数：7、12、17、22。（。（1）它的第）它的第60项项 是多少是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？ 第28页/共36页 练习答案：练习答案： 1、它的第、它的第21项项=1+2（21-1）=41； 这个数列的项数这个数列的项数= （49-1）2+1=25； 2、它的第、它的第25项项=2+2（25-1）=50； 这个数列的项数这个数列的项数= （2008-2）2+1=1004； 3、它的第、它的第30项项=101

17、+1（30-1）=130； 这个数列的项数这个数列的项数= （199-101）1+1=99 4、它的第、它的第60项项=7+5（60-1）=302； 这个数列各项被这个数列各项被5除有相同的余数。除有相同的余数。 （提示：等差数列的每（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同项除以它的公差，余数相同 。）。） 第29页/共36页 二、等差数列的和二、等差数列的和 第30页/共36页 例：例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=6，末项，末项=38，公差，公差=4 原数列的和：原数列的和

18、：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 倒过来的和：倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和两数列之和=（6+38）9 解：原数列之和解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数 2 第31页/共36页 例：计算例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +.+ 276 分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=276，

19、公差，公差 =5 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2 ？ 等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1 解：等差数列的项数：解：等差数列的项数： （276-1）5+1=56（项）（项） 原数列之和原数列之和=（1+276）562 = 27728 =7756 第32页/共36页 练习练习 1、计算、计算 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+.+403 （3）9+19+29+39+.+99 （4）1+3+5+7+.+99 第33页/共36页 练习答案：练习答案： 解：（解：（1）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列