定积分的定义

1、第一节定积分的概念、问题的提出O二、定积分的定义三、存在定理五、小结思考题、I可题的提出实例1 （求曲边梯形的面积）曲边梯形由连续曲线IIIIIIJ = /(x)(/(x)O)x轴与两条直线兀=a、x=b所围成用矩形面积近似取代曲边梯形面积（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系3个分割点的圈示1.（上和-下和）1.05556 （积分近似值）曲边梯形如图所示，在区间仪上内插入若干个分点,a = x0x1x2- xH_j xn = b,以九1,旺曲底，/(&)为高的小矩形面积为 A. =/(.)Ar.曲边梯形

2、面积的近似值为i=l当分割无限加细即小区间的最大长度2 = max Ar x 9 Ar 2 Ar/z趋近于零(20)时，曲边梯形面积为A = limX/()Ar/A0 _实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度卩=（/）是 时间间隔厲,笃上 的一个连续函数，且 叩），求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值.(1)分割 A = 4 V g V(2 V V v tn = T2求和皿卩（务）笛1=1(2)(3)取极限 2 = maxAx,A

3、Z2AZ/f路程的精确值 = limv(Tt)AZ,A 0 z_o o o二、定积分的定义定义 设函数/(兀)在0上上有界,在為方中任意插入 若干个分点 a = x0xlx2- xii_ixi =b 把区间归上分成/个小区间，各小区间的长度依次为 Ar,. = xt 一兀,(i = 1,2,)，在各小区间上任取 点$),作乘积/(ejAXi (i=l,2,) 并作和S =/($)&“Z=1记2 = maxArnAr2ArJ,如果不论对方怎样的分法，也不论在小区间上 点6怎样的取法，只要当2TO时，和S总趋于确定的极隔r,我们称这个极限r为函数/（兀） 在区间。,方上的定积分，记为I帜分上限、分

4、下 f(x)dxI =啊工/(灯)口/KT 1=1被积函数被积表达式积分变量仪上积分区间注意：(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分妞的字麻关. f(x)dx = f(t)dt = af(u)du 定义中区间的分法和g的取法是任意的.(3)当函数/(巧在区间上的定积分存在时,称/(兀)在区间归上上可积.三、存在定理定理1当函数/（兀）在区间。上上连续时,称于（兀）在区间a,耐上可积.定理2设函数/（兀）在区间仪上上有界,且只有有限个间断点，则/（兀）在 区间a,方上可积.?/(x)0, /(x)t/x = A 曲边梯形的面积5Axr/ x/(x)+8X4-00 11 lim 力(2

5、 一 1) = In 2，XJl-00dx =艸斗丁&=lim(2* - l)=ln2设函数/在区闻0，1上连续，且取正值. f ln/(x)Jx试证limWoo证明利用对数的性质得eJolimnJ/-OO =ein,im/-oo V极限运算与对数运算换序得指数上可理解为：ln/(x)O,l区间 上的一个积分和.分割是将0期等分分点为乞,(i 必)n因为/（兀）在区间0，1上连续，且/（x）0 所以111/（巧出0,1上有意义且可积，一8 i=1lim ln f ”= ln f(x)dxeJof In f(x)dx五、小结1.定积分的实质：特殊和式的极限.2定积分的思想和方法：化整为零求和J求

6、近似以直（不变）代曲（变） 积零为整0取极限取极限精确值一一定积芬思考题将和式极限：lim-sin- + sin + -n n表示成定积分. + sin(h-1)k思考题解答原式sin - + sin + + sin +sin 空n nnn兀 sin xdx.onn犯利用定积分的几何意义，说明下列等式:练习题、填空题1、函数/(X)在。，方上的定积分是积分和的极限,艮卩J f(x)dx = 2、定哦分的值只与及有关，而与的记法无关3、4、定积井的几何意义是区间长度的定积分表示是犯利用定积分的几何意义，说明下列等式:犯利用定积分的几何意义，说明下列等式:二、利用定积分的定义计算由抛物线y = x2 +1，两直线 x=a,x=b(b a)及横轴所围成的图形的面积三、利用定积分的