常见连续时间信号的频谱

1、丄常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)单边指数信号 双边指数信号b创单位冲激信号dr)直流信号 符号函数信号单位阶跃信号%(常见周期信号的频谱密度虚指数信号正弦型信号单位冲激串已知的基本公式这些都应当是12020/2/29常见非周期信号的频谱1-单边指数信号f(t) = catu(t), a0,F(j劲=匚/(扳-阿曲=RePFe-(a+jV一(a + j劲 0a + co幅度频谱为 I劲卜 yla + cd相位频谱为)=一 arc tang)1单边指数信号/=&%（）, do,|F(j 咧=1yla2 + co2ft0(劲=一 arctan00兀/2A CO-ti/2单边指

2、数信号及其幅度频谱与相位频谱常见非周期信号的频谱2. 双边指数信号F创F(j 劲=2j；/(r) cos 血ck = 2j； e cosmck=lQato_ 2a0 a2 + ft2(cosin o)t -acos cot)a2 + co2A幅度频谱为A相位频谱为 似= 03. 单位冲激信号F(z) = C= C )e-jdr = 1*F(j 劲1怦）“A(0冲激信号及其频谱0常见非周期信号的频谱v常见非周期信号的频谱4. 直流信号/=l，-ooW oo直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的方法求出其傅里叶变换。Fl = lim F1 e1 rl =lim 严 =2兀5(q)bogo o-

3、+ arIMb0 CT + CD00a)= 000=2兀00roo 2cyco 伽=2arctan()CT + coCTE34.直流信号III对照冲激、直流时频曲线可看出:时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄; 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。2020/2/297常见非周期信号的频谱cav常见非周期信号的频谱5.符号函数信号 囉符号函数定义为一1t0sgn(f) = 0Fsgne-別=二(_l)e%-恤+ R e%叫0幺(b+jQ)fFsgn(?)J = limbTOr=co(y + yaLo b jo cy + aj02020/2/299常见非周期信号的频谱t = 01t0符号函数的幅

4、度频谱和相位频谱5.符号函数信号一1t0sgn(f) = 0v常见非周期信号的频谱6.单位阶跃信号邮吆)= 仏 + 心) + |mO-(-O=| + |sgn(OI %71Fw（r） = 7tS（v） + |F（j 劲 |0A 0 -Till0阶跃信号及其频谱4 0（力）兀/2二、常见周期信号的频谱密度1.虚指数信号加yA(2k)A CD由壮1弋-阿& = 2兀5（劲虚指数信号频谱密度得幵J如二仁戶炉曲& = 2兀5 -乩）2020/2/292020/2/29同理：Fe_j =仁戶（砂曲& = 2兀/（血+网）2020/2/29常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号COSCt)Qt =-(占如

5、+ ejZ )7l3(ct) 一 S)+ 69 )常见周期信号的频谱密度常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号sin o)Qt = (ej(/ _ e_j69(/)-j兀5(血_ S(co + q。)2jA（兀）|F(沏)*（兀）-71/2A 0（Q）兀/2正弦信号及其频谱函数常见周期信号的频谱密度二、常见周期信号的频谱密度2020/2/29#常见周期信号的频谱密度2020/2/29#常见周期信号的频谱密度2兀D= XCHe72=-00两边同取傅里叶变换-HX)-KX)FAWJ = F(j) = F ZCe=工 CjFQ如n=-oo心yo+coFfT(0 = 2tc 工CQ0-g。)?Z=YO4

6、.单位冲激岸务(0=工 3(M)A2=-O0因为为周期信号，先将其展开为指数形式傅里叶级数:-K0400狞(/)= YnT) = -工如H=-CO1n=co-KO -HX)F3t(r) = 27i 工3(a-nco0) = o)0 工 S(a-nat0)n=cQ T/2=co2020/2/29#常见周期信号的频谱密度4,单位冲激串4-03dT （0 =工典-yiT）n=-4-00 40F3t（） = 2k 工3（a）-n（v0）二现 为 5（。一珂）Zl=Y0 T/7=-fF /2020/2/29251AJX JuJ- iL 十丄xl-线性特性若A (r)Fx (j 砂f2 r2(j 初,则1

7、(o + bf2(o J J aF (j co) + Z?F2(j co) 其中。和均为常数。2020/2/292252. 共辘对称特性若f (0 F(j 69)F(j0)为复数，可以表示为当A0为实函数时，有IF(j効I = IF(-j効I ,(p(a) = - (p(一効Fr(0)= Fr(j 砂 倂(j 劲=许(辺)2.共辘对称特性若f (0 F(j 69)则 /* j 劲 /*(T)V_F*(j 劲当)为实偶函数时，有F(jo) = F*(j劲，F(j効是血的实偶函数当/为实奇函数时，有F(je) = _F*(j劲，是血的虚奇函数2020/2/292253. 时移特性狩（辺）贝 iJ/

8、a-r0）-F（j）.e-j式中为任意实数证明：F/(r-r0) = f(t-tAt令兀二o，则dx = dtf代入上式可得Ff（t-t0） = Q /（廿如）dx 二F（辺）严信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移.而幅度频谱保持不变。例1试求图示延时矩形脉冲信号fl的频 谱函数尸山効。2 2F（j（x） = Ar Sa（竺解：无延时且宽度为17的矩形脉冲信号加)如图, 其对应的频谱函数为因为=故，由延时特性可得迥町 F3)= F(jg0Sa(罗府何4. 展缩特性若/ F(j 劲 贝1 F(j -)a a101025证明令x = at，则dx = adt,代入上式可得i禺Ff

9、(at) = -C /e ua时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。2020/2/29104.展缩特性5嗣则g）亠衲与/()2F(2co)T0T2A tco_7l071f(02 2F(q)/ /、.亠兀c2I Ar/ f(2t)扑（卜）4兀o4方10尺度变换后语音信号的变化10102020/2/2927105. 互易对称特性A M)A12 2lF(jO/27tAtTTT Tco112020/2/29#若6. 频移特性（调制定理）式中列为任意实数证明：由傅里叶变换定义有WO-ew = C )e叫f=i2 /(Cegf)a =FjS %)6.频移特性(调制定理)1 二 1 二cos coQt

10、 = - F/(r)eJ + - Ff(t)e =| Fj(-0) + | 幵j9 + S)1Jnr-信号/()与余弦信号cos列湘乘后其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移5,幅度减半。同理 F/(0 sin a)ot = Ff (r)e - Ff(r)e_jyr 2j2j F jO -y0)l + | Fj(血+ )1 厶厶302020/2/2913例2试求矩形脉冲信号加）与余弦信号cos 相乘后信号的频谱函数。解：已知宽度为啲矩形脉冲信号对应的频谱函数为F(j) = Ar-Sa(2020/2/2932#2020/2/2932#应用频移特性可得F/(0 cos二-Fa) %) + 丄尸!jQ

11、+ 5 )1At cd-cota+ Sa(6?+ 0)r2例2试求矩形脉冲信号f(f)与余弦信号cos 相乘后信号的频谱函数。2020/2/2932#2020/2/2932#A F/(r)cos(6y0r)”a)cos 如At/2一 QoQo2020/2/2932177. 时域积分特性则匚/丄F( j劲+兀尸(0)5(劲若信号不存在直流分量即尸(0) =0则仃(如宀护(嗣2020/2/2932#例3试利用积分特性求图示信号/的频谱函数。代)A y(r)=/?(f-0.5)01u 1解:f(t)=匚 pit-0.5)d/ =匚 y(t)dt由于 p(t- 0.5) y(j 劲=Sa (0.5 劲

12、利用时域积分特性，可得F(j劲二丄Y(辺)+夜(0)5(劲=丄&(0.5血旭% +兀50)例4试利用积分特性求图示信号/的频谱函数。解：将张）表示为/卫）+/210I如1厂即/()=1 + J_g P(t 0.5)6tF(je)=丄5 (0.5e)LJ% + 3兀沢 g)2020/2/29j 6935#8. 时域微分特性则竽亠如S)dtn丄9(辺)(0)例5试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函 数。(A)-r/20r/2 T TCO-169F/f(0 = Ae 2 -Ae 2 (-A)A 2jsin(ft)由上式利用时域微分特性，得2F广(01 = (j 血)F( j 血)=4 2 j s i

13、n 彳)24Tcdt=F (j co)=sin(6y) = AzSa()co222020/ 有3723例6试利用微分特性求图示信号冷)的频谱函 数。解:ft) = p(t-0.5)Sa(05gJ%2020/2/29#2020/2/29#利用时域微分特性，可得孑F(j劲二丄Sa(0.5劲y 工丄 Sa(0.5)e_J-56? +37i5(y)0388 时域微分特性一修正的时域微分特性记广(何若/亠F(j劲久则心讣営例7试利用修正的微分特性求图示信号/的 频谱函数。解=2020/2/29252020/2/29#ft) = P 0.5) = f、(0Fx (j 0 Sa (0.5 劲护皿CO 利用修

14、正的微分特性，可得.F(je)=兀(/(a) + /(8)3() +=3兀5(劲 + Sa(O.5)e_jO5F(j0)则m)亠j竺罟da严M)吧(j3dF(j6?) g证明：F(j)=JX f(Oejafdt=匚 / 二血=Q(-jr)/(Oe-jdr acoaco将上式两边同乘以j得 j啤型呛do)2020/2/2927例8试求单位斜坡信号饥的频谱。解：已知单位阶跃信号傅里叶变换为:Fw(/)=兀8co) H故利用频域微分特性可得:Ftu (0 = jTlS(69)+ =71丄&CDCO10. 时域卷积特性若AO）二许（灯）E二劲贝M* AW许（j劲竹（j劲 证明Ffi * A W = EE /1（r）f2 （t - r）dre-dr=L/i耳（j唤“此解：2严f(t) = p2(typ2(t)/ 卩22Sa(69)-2 o 2由齐 a)*/2(dFi(0)F2(j)F(j) = 4Sa2(ty)2020/2/293929例10 y(t) =2 e2r - eg)dG (f -2)计算其频谱刃j）。15-解:y(t) =2 e_2r. e_5a_r)dr= e_2rw(r + 2)*e_5rw(r)利用Fouriei变换的卷积特性可得Y