概率论与数理统计(第四版-浙江大学出版社)全册配套完整精品课件1

1、概率论与数理统计概率论与数理统计(第四版第四版-浙浙 江大学出版社江大学出版社)全册配套完整全册配套完整 精品课件精品课件1 第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算 一、 随机事件 自然界和人类社会中的各种现象大体可 分为两大类。一类为在一定条件下其结果必 然发生，所谓确定性现象。另一类为在一定 条件下可能出现这样或那样的结果，且不能 断定必出现哪一种结果，所谓随机现象。 按照试验的特点， 中的点可以由有限个点 组成，也可以由无穷多个点（可列或不可列）组 成。 随机试验中出现（发生）的任何一种结果叫 做随机事件(random event)，简称事件。随机事件 通常用大写英文字母 A，B

2、，C表示。随机试 验的每一个可能的基本结果 ，显然也是一个随 机事件，通常称为基本事件。 BAa)( BAb)( BAc)( BAd)( (e) A、B 互不相容 （f ） A B A A B A A B B A B AA 定义 2：设是随机试验 E 的样本空间，A 为 E 的任意一个事 件，P(A)是 A 的实函数，满足： （1）P(A) 0（非负性） ； （2） P()=1（规范性） ； （3） 若 n AAA,., 21 ，两两互不相容，即 jiAA ji ,，i，J=1，2， 则有)()( 11 n i i n i i APAP （有限可加性）; 而)()( 11 i i i i AP

3、AP（可列可加性） 。 【例3】袋中有a只白球，b只黑球，k个人依次在袋 中取一只球，分别按（1）作放回取球；（2）作不 放回取球，求第i个人取到白球概率？ 解：（1） （2） （2）结果说明抽签原则的合理性。 ba a p k ba k ba A aA p 1 1 ba a 【例5】从5双不同号码的鞋子中任意抽取4只，问这4只至 少有2只配对的概率是多少？ 解：法一. n= ,m= 故所求概率p=13/21。 法二.4只全不配对方法有m= 即4只全不配对的概率为8/21，所以至少有2只配对的概率 是p=1-8/21=13/21。 210 4 10 C 1302*2 2 4 1 5 2 5 C

4、CC 802*2*2*2 4 5 C 【例6】统计一周（统计一周（5个工作日）某老师在共个工作日）某老师在共12次次 接待学生的答疑时，都是在周二或周五进行的。接待学生的答疑时，都是在周二或周五进行的。 问由此推断答疑时间是否有规定？问由此推断答疑时间是否有规定？ 解：假定答疑时间没有规定，则解：假定答疑时间没有规定，则12次接待学生的次接待学生的 答疑时，都是在周二或周五进行的概率为答疑时，都是在周二或周五进行的概率为 这是一个这是一个“小概率小概率”事件，按统计原理认为几乎事件，按统计原理认为几乎 不可能发生。由此推断答疑时间是有规定的。不可能发生。由此推断答疑时间是有规定的。 00001

5、7. 0 5 2 12 12 p 几何概型介绍: 例1：设某公交车每10分钟到站一辆，乘客到达车站的时 刻是任意的，求某乘客到站候车不超过5分钟的概率？ 解：设乘客所乘车在a时刻到达，则这辆汽车的前一辆车 在(a-10)时刻到达，乘客在时间段(a-10,a的任意时刻x都可 能到达车站，而若候车不超过5分钟，则x必满足: ,故所求概率=0.5。 例2：（会面问题）两人约定在7点至8点在某地会面。事 先约定先到者等20分钟不见人即可离去。求两人能会面的 概率p？ 解：p= 60 60 axa5 9 5 二二条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 (The conditional probabilit

6、y and multiplication rule)(The conditional probability and multiplication rule) 定义定义 1 1：设：设 A A、B B 为两个随机事件，且为两个随机事件，且 P(A)0,P(A)0,称在已知称在已知 A A 发生发生 的前提下事件的前提下事件 B B 发生的概率为事件发生的概率为事件 B B 发生的发生的条件概率条件概率，记为，记为 P(B|A)P(B|A)。 考虑下面例子，设盒中有考虑下面例子，设盒中有 3 3 个红球，个红球，4 4 个白球，现不放回地个白球，现不放回地 每次取每次取 1 1 球，连续取两次。

7、则（球，连续取两次。则（1 1）第）第 1 1 次取得红球的概率次取得红球的概率 P(A)=P(A)= 7 3 ( (2 2）第第 1 1 次取得红球且第次取得红球且第 2 2 次取得次取得白球的概率白球的概率 P(AB)= 7 2 67 43 ； 【例6】设A、B独立，P(A+B)=0.7，P(A)=0.5，则P(B)=0.4 【例7】P(A)=0.25， P(A|B)=0.5， P(B|A)=0.3，求P(A+B) 解：首先P(AB)=P(A)P(B|A)=0.075; P(B)=P(AB)/P(A|B)=0.15 所以，P(A+B)=0.25+0.15-0.075=0.325 思考：设P

8、孩子得病=0.6， P母亲得病|孩子得病=0.5 P父亲得病|孩子及母亲得病=0.4 求孩子及母亲得病而父亲未得病概率？ （答案：0.18) 公式公式 P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(A)P(B|A) 可推广至有限个可推广至有限个: : 如如 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 例例:n:n个人抓阄得个人抓阄得1 1张电影票张电影票, ,则第则第k k个人抓得的概率均为个人抓得的概率均为 。 证：证：P(P(第第k k个人抓得个人抓得)=)= ,.,1 1 个抓得第个抓得第kAA k 121 k kAAAAP )|

9、()|()(213121AAAPAAPAP |121 k k AAAAP knkn kn n n n n n n 1 ) 1(2 3 1 21 n 1 事件 A、B、C 不独立。记 A=红色出现，B=黄色出现，C=蓝 色出现。证明：事件 A、B、C 两两独立，但它们不全部独立。 证明 首先 P(A)=P(B)=P(C)= 2 1 4 2 , 而 P(AB)=P(AC)=P(BC)= 4 1 ,因此满足两两独立的条件； 但 P(ABC)= 4 1 P(A)P(B)P(C),故事件 A、B、C 不独立。 第四节第四节 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式 ( The laws of tot

10、al probability and Bayes theorem) 一一 全概率公式全概率公式 我们先看一个概率计算的例子。我们先看一个概率计算的例子。 【例例 1】设盒中有设盒中有 5 个乒乓球（其中个乒乓球（其中 2 个新，个新，3 个旧的） ，现个旧的） ，现 每次取每次取 1 球（不放回） ，连续取两次，求第二次取出的为新球（不放回） ，连续取两次，求第二次取出的为新 球概率。球概率。 显然，第二次取出的为新球概率显然，第二次取出的为新球概率 P(B)，与第一次取出，与第一次取出 的是新球或是旧球有关。的是新球或是旧球有关。 若第一次取出的为新球若第一次取出的为新球(A)，则第二次取出

11、的为新球概率是，则第二次取出的为新球概率是 P(B|A)= 4 1 ； 若第一次取出的为旧球； 若第一次取出的为旧球(A)， 则第二次取出的为新， 则第二次取出的为新 球概率是球概率是 P(B|A)= 2 1 4 2 因此所求概率因此所求概率 2 1 5 3 4 1 5 2 )()()(ABPBAPBP= 5 2 把这种作法化为一般化，就得到所谓把这种作法化为一般化，就得到所谓全概率公式全概率公式。 定理：如果事件组定理：如果事件组 n AAA,., 21 满足：满足： （1） n AAA,., 21 互不相容且互不相容且niAP i ,.,2 , 1, 0)(； （2） n i i A 1

12、， 则对任意事件则对任意事件 B 有有 )|()()( 1 i n i i ABPAPBP 证证 将将 B 写成写成 n i i n i i BAABBB 11 )(，由假定和式中的事，由假定和式中的事 件互斥，且由概率乘法公式得：件互斥，且由概率乘法公式得： )()( 1 n i i BAPBP=)|()( 1 i n i i ABPAP Ex: 【例例】某重点高校招生可通过某重点高校招生可通过3 3种方式：直接保送占比例种方式：直接保送占比例 1/5001/500；有；有2%2%人取得自主招生考试资格，其中最终有人取得自主招生考试资格，其中最终有10%10%的的 人被录取；其余人被录取；其

13、余（占比（占比489/500）的人参加普通高考，其）的人参加普通高考，其 中能考入该校的人所占比例为中能考入该校的人所占比例为2%。求考生能进入该校学。求考生能进入该校学 习的概率？习的概率？ （答案：（答案：2.356%） 【例4】设有两箱同类的零件，第一箱装有设有两箱同类的零件，第一箱装有50件，其中件，其中 含有一等品含有一等品10件；第二箱装有件；第二箱装有30件，其中含有一等品件，其中含有一等品18 件。现在两箱中随机挑一箱，然后从该箱中取零件两次件。现在两箱中随机挑一箱，然后从该箱中取零件两次 ，每次任取一只，作不放回抽样。求（，每次任取一只，作不放回抽样。求（1）第一次取到）第一

14、次取到 的零件为一等品概率。（的零件为一等品概率。（2）第一次取到的零件为一等）第一次取到的零件为一等 品的条件下，第二次取到的零件也为一等品概率。品的条件下，第二次取到的零件也为一等品概率。 解：解： 分别表示第一，第二次取得一等品，则分别表示第一，第二次取得一等品，则 21, A A 4 . 0 30 18 2 1 50 10 2 1 )( 1 AP ； 194. 0 29 17 30 18 2 1 49 9 50 10 2 1 )( 21 AAP ，所以所以 486. 0)|( 12 AAP 【例例5】设患肺癌人中吸烟者占设患肺癌人中吸烟者占90%，不患肺癌的人中吸，不患肺癌的人中吸 烟

15、者占烟者占20%，如果已知该地区患肺癌的人所占比例是，如果已知该地区患肺癌的人所占比例是 0.1%.。问（。问（1）该地区人口中总共吸烟者所占比例是多少）该地区人口中总共吸烟者所占比例是多少 ？（？（2）若随机抽取）若随机抽取1名吸烟者，问其患肺癌概率是多少？名吸烟者，问其患肺癌概率是多少？ 解：首先，由全概率公式（解：首先，由全概率公式（1）为）为 p=0.1%*90%+99.9%*20%=0.2007 而由逆概率公式（而由逆概率公式（2）答案为）答案为 P(肺癌患者肺癌患者|吸烟者吸烟者)=( 0.1%*90%)/0.2007=0.004484 二二 逆概率公式（逆概率公式（Bayes 定

16、理）定理） 如果在上面问题中，已知取得的药品确是次品，问这件药如果在上面问题中，已知取得的药品确是次品，问这件药 品来自哪个厂家的可能性较大？显然这问题取决于两个方面因品来自哪个厂家的可能性较大？显然这问题取决于两个方面因 素，素， 即该厂家产量所占市场份额及该厂产品次品率。计算则相即该厂家产量所占市场份额及该厂产品次品率。计算则相 当于计算条件概率：当于计算条件概率： )( )|()( )( )( )|( 111 1 BP ABPAP BP BAP BAP294. 0 017. 0 01. 05 . 0 用同样方法可得用同样方法可得294. 0)|(,392. 0)|( 32 BAPBAP

17、将此作法一般化，就有所谓将此作法一般化，就有所谓逆概率公式（逆概率公式（Bayes 定理）定理） 定理：如果事件组定理：如果事件组 n AAA,., 21 满足：满足： （1） n AAA,., 21 互不相容且互不相容且niAP i ,.,2 , 1, 0)(； （2） n i i A 1 ， 则对任意事件则对任意事件 B（设（设 P(B)0）有）有 n i ii ii i ABPAP ABPAP BAP 1 )|()( )|()( )|( 解 设 B=鉴别为阳性，A=患有疾病，则 P(A)=0.05% , %95.99)(AP %1)|(%,95)|(ABPABP，由逆概率公式 )|()(

18、)|()( )|()( )( )( )|( ABPAPABPAP ABPAP BP ABP BAP %54. 4 %1%95.99%95%05. 0 %95%05. 0 )|( BAP 定理：设定理：设 P(A)=p, )(kP n 为为 n 重贝努力试验中事件重贝努力试验中事件 A 出现出现 k 次的概次的概 率，则有公式率，则有公式 knkk nn ppCkP )1 ()( 证明证明 为清楚起见，设为清楚起见，设 n=4 , k=2 加以说明。由于在加以说明。由于在 4 次独立重复试验次独立重复试验 中，事件中，事件 A 共出现了共出现了 2 次，所以其结果为次，所以其结果为 AAAAAA

19、AAAAAAAAAAAAAAB,AAAA 显 然 ， 上 述 共显 然 ， 上 述 共6 2 4 C种 结 果 （ 事 件 ） 是 互 斥 的 ， 因 此种 结 果 （ 事 件 ） 是 互 斥 的 ， 因 此 )()( 6 1 k k APBP，其中，其中 k A（k=1,2,6）表示）表示所包含的所包含的 6 个事件。个事件。 但由于独立性假定，显然有但由于独立性假定，显然有)6,.,2 , 1( ,)1 ()( 22 kppAP k , 因此有因此有 222 4 22 )1 ()1 (6)(ppCppBP 解 将问题了解为做 n=5 的贝努力试验， 其中 p=70%，因此 (1)1323.

20、 0)3 . 0()7 . 0()2( 322 55 CPp (2) 45 55 )3 . 0(7 . 05)3 . 0(1) 1 ()0(1PPp=0.969 (3)00243. 0)3 . 0()0( 5 5 Pp 【例 2】设 500mL 的水中，其中含有细菌的浓 度为 0.3/mL， 现从中任意提取 1mL 水样， 求其 中不少于 2 个细菌的概率？ 第二章随机变量及其概率分布 (R Random variables and its probability distributions) 在上一章中，我们了解了概率及其在上一章中，我们了解了概率及其 运算性质。这些运算都是在具体的随机运算

21、性质。这些运算都是在具体的随机 试验假定下进行。为了将上述运算推而试验假定下进行。为了将上述运算推而 广之，数学上就要进一步抽象化，由此广之，数学上就要进一步抽象化，由此 引进随机变量（引进随机变量（random variablerandom variable）的概）的概 念。本章讨论随机变量及其概率性质。念。本章讨论随机变量及其概率性质。 第一节 随机变量 【例例2】独立重复试验，每次成功的概率为独立重复试验，每次成功的概率为p，失败的概，失败的概 率为率为q=1-p，将试验进行到出现第，将试验进行到出现第3次成功为止，以次成功为止，以X表示表示 所需试验次数，求所需试验次数，求X分布律。分

22、布律。 解：首先，解：首先，X的取值范围是的取值范围是3，4，5，而概率为，而概率为 PX=3= , PX=4= , PX=5= , 3 p qppC 22 3 222 4 qppC 【例例3】一袋中装有编号为一袋中装有编号为15的的5个球个球,现随机取出现随机取出3个个,设设X表示取表示取 出球的最大号码出球的最大号码,求求X的分布律的分布律? 解解: X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 【例例4】设一房间有设一房间有4扇同样大小的窗户扇同样大小的窗户,其中一扇是打开的其中一扇是打开的,有一只有一只 小鸟自打开的窗户飞进来小鸟自打开的窗户飞进来,它在房间飞来飞去它在房间飞来飞去,试图

23、飞出房间试图飞出房间.假定小假定小 鸟是没有记忆的鸟是没有记忆的,即飞向各扇窗户是随机的即飞向各扇窗户是随机的.以以X表示其飞出房间所需表示其飞出房间所需 的试飞次数的试飞次数,求求X的分布律的分布律? 解解: X 1 2 3 P 25. 075. 025. 0 25. 075. 0 2 二几种常见的离散型随机变量的概率分布二几种常见的离散型随机变量的概率分布 1. 两点（两点（0-1）分布）分布 如果随机变量如果随机变量 X 只取两点值，例如令只取两点值，例如令 出现 出现 A A X , 0 , 1 ，而其分布律可以表示为，而其分布律可以表示为 X 0 1 p q p 其中其中 q=1-p

24、。而。而 X 的分布函数为的分布函数为 1, 1 10 , 0, 0 )( x xq x xF 2. 超几何分布超几何分布 设设 N 件产品中含有件产品中含有 M 件次品，现从中任意取出件次品，现从中任意取出 n（假（假 定定)(MNn）件产品，）件产品，X 表示其中次品数，则有表示其中次品数，则有 lk C CC kXP n N kn MN k M ,.,1 , 0, ),min(nMl ，MNnMN,，称，称 X 服从参数为服从参数为 N， M，n 的的超几何分布超几何分布(hypergeometric distribution) 超几何分布分布具有性质：超几何分布分布具有性质： （1）0

25、 kXP （2）通过比较等式）通过比较等式 NMNM xxx)1 ()1 ()1 ( 中中 n x的系数可以证明的系数可以证明1 0 l k n N kn MN k M C CC （3）若）若,p N M N（n,m 保持不变）有：保持不变）有： knkk n n N kn MN k M ppC C CC )1 ( 即超几何分布分即超几何分布分布的极限为布的极限为二项分布二项分布。 3二项分布二项分布(binomial distribution) 如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为 nkppCkXP knkk n ,.,2 , 1 , 0,)1 ( 称称 X 服从参数为服从参数

26、为 n, p 的二项分布。的二项分布。 我们已经知道二项分布是源于我们已经知道二项分布是源于 n 重贝努力重贝努力 试验，由于试验，由于 1)1 ()1 ( 0 n n k knkk n ppppC 因 此 得 名 二 项 分 布 。 它 具 有 性 质 ：因 此 得 名 二 项 分 布 。 它 具 有 性 质 ： npn, ,.1 , 0, ! )1 ( ke k ppC k knkk n 后者为后者为泊松分布泊松分布 二项分布的最可能取值二项分布的最可能取值 （1）n=10,p=0.3。最可能值为。最可能值为(n+1)p=3 k=0 1 2 3 4 5 6 p=0.0282 0.1211

27、0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 024681012 系列1 * （2）n=9,p=0.3。最可能值为。最可能值为(n+1)p-1=2或或(n+1)p=3 k=0 1 2 3 4 5 6 p=0.040 0.1556 0.2668 0.2668 0.1715 0.0735 0.0210 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0246810 系列1 * 【例例1】某车间有某车间有20台车床独力工作，每台车床工作时间占总台车床独力工作，每台车床工作时间占总 工作时间的工作时间的30%，

28、而每台车床开车时用电为，而每台车床开车时用电为1个单位，求：个单位，求： （1）车间需用电力的最可能取值？（）车间需用电力的最可能取值？（2）若供给车间电力）若供给车间电力 为为9个单位，则因电力不足而耽误生产的概率是多少？个单位，则因电力不足而耽误生产的概率是多少？ 解：（解：（1）因因(n+1)p=6.3，所以用电力的最可能取值，所以用电力的最可能取值=6 （2）因电力不足而耽误生产的概率是）因电力不足而耽误生产的概率是 04796. 0)( 20 10 k k APp 4. 泊松分布泊松分布(Poisson distribution) 如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为

29、0,.,2 , 1 , 0, ! ke k kXP k 称称 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。 显然有显然有0 kXP，又因为，又因为 1 ! 00 ee k ee k k k k k 因而上述分布律满足离散随机变量概率分布的基本性质。因而上述分布律满足离散随机变量概率分布的基本性质。 【例【例 2 2】设电话总机在某时间段接到的呼叫次数】设电话总机在某时间段接到的呼叫次数 X X 服从参数为服从参数为 2 2 的泊松分布，求：的泊松分布，求： （1 1） 该时间段恰好接到该时间段恰好接到 3 3 次呼叫的概率；次呼叫的概率； （2 2）该时间段接到次数不超过）该时间段接到次

30、数不超过 6 6 次的概率。次的概率。 解解 由于由于,.2 , 1 , 0, ! 2 2 ke k kXP k ， 所以（所以（1 1） 180. 0 ! 3 2 3 2 3 eXP (2 (2） 995. 0 ! 2 6 2 6 0 e k XP k k 最后最后,说明以上几种分布之间关系说明以上几种分布之间关系: 两点分布在相同条件下两点分布在相同条件下,独立进行独立进行n次化为二项分布次化为二项分布;而二项分布而二项分布 在在n趋于无穷大时化为泊松分布。趋于无穷大时化为泊松分布。 （后面有补充习题）（后面有补充习题） 补充题补充题: 1.设一袋中装有编号为设一袋中装有编号为1、2、3、

31、4、5的的5个球，现从中随机取出个球，现从中随机取出3 只，以只，以X表示取出的球号码最大数，求表示取出的球号码最大数，求X的分布律。的分布律。 (答案答案:PX=3=0.1 ,PX=4=0.3 ,PX=5=0.6) 2.进行独立重复试验，每次成功的概率为进行独立重复试验，每次成功的概率为p，失败的概率为，失败的概率为q=1-p。 （1）将试验进行到出现第一次成功为止，以）将试验进行到出现第一次成功为止，以X表示所需试验次数，表示所需试验次数， 求求X分布律（分布律（几何分布几何分布）。）。(答案答案: ) （2）将试验进行到出现）将试验进行到出现r次成功为止，以次成功为止，以Y表示所需试验次

32、数，求表示所需试验次数，求 Y分布率（分布率（巴斯卡分布巴斯卡分布）。）。(答案答案: ) （3）一蓝球运动员投蓝命中率为）一蓝球运动员投蓝命中率为45%，以，以X表示他首次投中时累计表示他首次投中时累计 已投的次数。（已投的次数。（a)求求X的分布律。的分布律。(b)求求X为偶数的概率。为偶数的概率。 (答案答案:(a) (b) ) 3.设在设在15件同类零件中含有件同类零件中含有2件次品，现每次抽取件次品，现每次抽取1件件(不放回不放回)，连，连 续抽续抽3次。以次。以X表示表示3件中次品数，求件中次品数，求X的分布律及概率分布函数。的分布律及概率分布函数。 (答案答案:PX=0= ,PX

33、=1= ,PX=2= ) ,.2 , 1, 1 kpqkXp k ,.1,)1 ( 1 1 rrkppCkYP rkrr k ,.2 , 1,)55. 0 (45. 0 1 kkXP k 31 11 2 1 k kXpp 35 22 35 12 35 1 第三节第三节 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布 (Continuous random variables and its probability distributions) 一一概率密度函数概率密度函数 (probability density function) 如果随机变量如果随机变量 X 的取值不是有限个或不可以一

34、一罗列出的取值不是有限个或不可以一一罗列出 来，则通常属于所谓连续型随机变量，其特点就是来，则通常属于所谓连续型随机变量，其特点就是 X 取值于有取值于有 限或无穷区间。例如，候车时间；误差分布等。对于连续型随限或无穷区间。例如，候车时间；误差分布等。对于连续型随 机变量机变量 X，一般情况下，谈论，一般情况下，谈论 X 取某点值的概率取某点值的概率 PX= 0 x意意义义 不大，而是经常计算不大，而是经常计算 PaXb。为此，我们引进。为此，我们引进 )()( xpxF 此外，由于，所以此外，由于，所以1)(F, p(x)满足性质：满足性质： 1)( dxxp （几何意义！ ）（几何意义！

35、） 以上性质就约定了作为概率密度函数所要满足的要求。以上性质就约定了作为概率密度函数所要满足的要求。 【例【例1 1】 设设 0, 0 0, )( 3 x xke xp x 为随机变量为随机变量 X X 概率密度函数，概率密度函数，(1) 求求 k 值； （值； （2）分布函数）分布函数 F(x)； （； （3）计算）计算 概率概率 P1X -11 0 x 0(x) 2 0 2 2 1 )( x ex u x0 曲线的比较 所以所以 Y 的概率密度函数的概率密度函数 p(x)=p(x)= 2 2 2 1 )( x Y exF 即即 Y Y 服从标准正态分布。服从标准正态分布。 应用上述性质，可

36、以将一般正态变量的概率计算转化为标应用上述性质，可以将一般正态变量的概率计算转化为标 准正态变量的计算。准正态变量的计算。但是，由于函数但是，由于函数 2 2 2 1 )( x exp 没有初等没有初等 的原函数，因此的原函数，因此,用积分方法，无法计算形如用积分方法，无法计算形如 b a x dxe 2 2 2 1 的值。的值。 解解 由假定要求，由假定要求，200120 XP90. 0 由于由于 X Y) 1 , 0( N，这里，这里=160， 所以有所以有90. 0 4040 YP 由此推出由此推出 95. 0) 40 (,90. 1) 40 (2 。由于分布函数。由于分布函数)(x是是

37、 x 的不减函数，所以上要求等价于的不减函数，所以上要求等价于 32.24,645. 1)95. 0( 40 1 。 练习题练习题: 1.设设X服从服从(0,5)均匀分布均匀分布,求方程求方程 实根概率。实根概率。 2. 2. 设设 且且P(2X4)=0.3,P(2X4)=0.3,计算计算 P(X0)P(X0)值。值。 ),2( 2 NX 02 2 XX 补充题补充题: 1.某地区某地区18岁女青年血压岁女青年血压(收缩压收缩压)服从服从N(110,144)。现在该地区任选。现在该地区任选 一一18名岁女青年，测量其血压名岁女青年，测量其血压X。求（。求（1）PX105， （2）P100 x0

38、.05。 （答案（答案（1）0.3384 (2) 0.5952 (3)x=129.74 ) 2.某型号元器件寿命某型号元器件寿命X具有以下概率密度具有以下概率密度(单位：小时）：单位：小时）： 现从该批元器件中任取现从该批元器件中任取5件件,求其中至少有求其中至少有2件寿命超过件寿命超过1500小时概率小时概率 (答案：答案：0.9547 ) 3.以以X表示某商店从早晨开始营业直到第一个顾客到达的等待时间表示某商店从早晨开始营业直到第一个顾客到达的等待时间( 分钟分钟),其分布函数为其分布函数为 求求(1)P至多至多3分钟分钟;(2)P至少至少4分钟分钟;(3)P34分钟分钟;(4)P恰好恰好

39、2.5分分 (答案答案:(1)0.699 ;(2)0.202 ;(3)0.099 ;(4) 0 ) 其它, 0 1000, 1000 )( 2 x x xf 其它, 0 0,1 )( 4 . 0 xe xF x 证明：设证明：设Y=2X+3 , 其分布函数为其分布函数为 ，)(xYPxFY )()( xpxF YY 则则 为为Y的密度函数。而的密度函数。而 32)(xXPxYPxF Y 2 3 2 )( 2 2 2 1 2 3 x x dxe x XP 做变量替换：做变量替换： ，积分化为，积分化为 x s dsexF s x Y 2 2 )32( 2 2 1 )( ，求导数可得，求导数可得

40、)()( xpxF YY 2 2 )2(2 )32( )2(2 1 x e 即即)4 , 32( 2 NY p(x,y)称为密度函数。p(x,y)具有性质： 1),(),(Fdxdyyxp 对平面上任何区域 D，则有 D dxdyyxpDYXP),(),( 定义 4 设 G 是平面上一有界区域，其面积为 A，若（X，Y）的 联合密度函数 其它, 0 ),( , 1 ),( Gyx A yxp 称（X，Y）服从 G 上的均匀分布。 【例【例 2 2】设平面区域】设平面区域 G G：100 ,100yx。(X(X,Y),Y)服从服从 G G 上上 均匀分布，求（均匀分布，求（1 1）5YXP； （

41、； （2 2）15YXP 解解 首先由于首先由于 G 的的 面积为面积为 100，所以，所以 （X，Y）的密度函数）的密度函数 其它, 0 ),( , 100 1 ),( Gyx yxp 于是，结合二重积分作为面积的几何意义于是，结合二重积分作为面积的几何意义 同理， （同理， （2）在不放回情景中，）在不放回情景中， 3 1 1, 3 2 0XPXP， 3 1 1, 3 2 0YPYP 如果（如果（X，Y）为连续型二维随机向量，则由（）为连续型二维随机向量，则由（X，Y）的）的 联合密度函数可以确定联合密度函数可以确定 X（或（或 Y）的边际分布密度函数。）的边际分布密度函数。事实事实 上，

42、由于上，由于 x X dudvvupxFxF),(),()( 所以所以 X 边际密度边际密度 dyyxpdvvxpxp X ),(),()( 同理同理 Y 边际密度边际密度 dxyxpypY),()( 【例【例 4 4】 设连续型二维随机变量的密度函数设连续型二维随机变量的密度函数 其它, 0 ),( ,8 ),( Gyxxy yxp 其中其中 G：xyx0 , 10，求边际密度函数。，求边际密度函数。 解解 对任意对任意 x , 由由 p(x,y)定义，定义，10 x,有有 3 0 48)(xdyxyxp x X 而对其它而对其它 x 值，值，00)( dyxpY 即即 其它, 0 10 ,

43、4 )( 3 xx xp X 同理可得同理可得 其它, 0 10),1 (4 )( 2 yyy ypY 定义定义 4 二维正态变量（分布） （见书上）二维正态变量（分布） （见书上） 可以说明，二维正态分布的边际分布仍可以说明，二维正态分布的边际分布仍 为（一维）正态分布，即由联合密度函数可为（一维）正态分布，即由联合密度函数可 以确定边际密度函数；反之不然，即由两个以确定边际密度函数；反之不然，即由两个 一维正态变量一般不能确定二维正态变量。一维正态变量一般不能确定二维正态变量。 但如果满足“独立性” ，则可以做到。但如果满足“独立性” ，则可以做到。 三三随机向量的独立性随机向量的独立性

44、(Independence of random vectors) 当当 X、Y 满足某种独立性条件时，由边际分布满足某种独立性条件时，由边际分布 就可以决定联合分布。为此，我们引进随机变量独就可以决定联合分布。为此，我们引进随机变量独 立的定义立的定义 定义定义 5 设设 X 与与 Y 是两个随机变量。如果对任何满足是两个随机变量。如果对任何满足 ab , cd ，有，有 )(dYcbXaP dYcPbXaP 称称 X 与与 Y 相互独立。相互独立。 【例例1】已知已知(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 Y X 1 2 3 1 2 问：a，b为何值时X，Y相互独立？ 答案： 6 1 9 1

45、 18 1 3 1 a 1 b 1 2 9 a, b=9 。 同理可得同理可得 dyyytpzpZ),()( 特别地，若特别地，若 X、Y 独立有独立有 dxxzpxpzp YXZ )()()( dyypyzp YX )()( 利用上结果，不难推出，利用上结果，不难推出，若若 X X、Y Y 独立独立 且服从标准正态分且服从标准正态分 布，则布，则)2 , 0( NYX 一般地说，若一般地说，若),(),( 2 22 2 11 NYNX，且，且 X X、Y Y 独独 立，则立，则),( 2 2 2 121 NYX 例：进行打靶练习，设弹点例：进行打靶练习，设弹点(X,Y)两坐标独立且同服从两坐

46、标独立且同服从N(0,1)，规，规 定当弹点落入区域定当弹点落入区域 ,得得2分分;当落入当落入 时时,得得1分分;当弹点落入当弹点落入 ,不得分。以不得分。以Z表示打靶得分表示打靶得分 ，求，求Z的分布律。的分布律。 解：设点（解：设点（X,Y)落入区域为落入区域为D，则由独立及正态分布得，则由独立及正态分布得 例如在例如在 ,其值为其值为 ,同理可得同理可得 ,在在 , ;在在 , 。 于是于是,所求分布律为所求分布律为 Z 0 1 2 p 1| ),( 22 1 yxyxD41 | ),( 22 2 yxyxD 4| ),( 22 3 yxyxD D yx dxdyep 2 22 2 )

47、2( 1 1| ),( 22 1 yxyxD 2 1 1 0 2 2 2 0 1 2 1 erdredp r 41 | ),( 22 2 yxyxD 2 2 1 eep 4| ),( 22 3 yxyxD 2 ep 2 ep 2 2 1 eep2 1 1 e 补充题补充题 1.设随机变量设随机变量X服从服从U(0,1)，求（，求（1） 的密度函数的密度函数 ;(2) 的密度函数。的密度函数。 (答案：答案： ) 2.设设X、Y为两独立随机变量，其中为两独立随机变量，其中X服从服从U(0,1)，Y的密度函数为的密度函数为 求（求（1） X、Y联合密度函数；（联合密度函数；（2）求）求a的二次方程

48、的二次方程 有实根的概率。有实根的概率。 （答案：（答案： X eY XYln2 其它, 0 1 , 1 )() 1 ( ex x xfY 其它, 0 0, 2 1 )()2( 2 xe xf x Y 其它, 0 0, 2 1 )( 2 xe xf x Y 02 2 YXaa 其它, 0 0, 10 , 2 1 ),() 1 ( 2 yxe yxf y 1445. 0)0() 1 (21)2(p 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 ( (C Characteristic values of random variables)haracteristic values of ran

49、dom variables) 尽管随机变量的分布函数全面地反映了其概率性质，但是，尽管随机变量的分布函数全面地反映了其概率性质，但是， 在具体问题中，想求随机变量的分布函数经常是难以完成乃至在具体问题中，想求随机变量的分布函数经常是难以完成乃至 无法做到。而有时只需求随机变量的某个或某几个参数就够了。无法做到。而有时只需求随机变量的某个或某几个参数就够了。 例如，如果已知随机变量例如，如果已知随机变量 X 服从正态分布，只要知道其参数服从正态分布，只要知道其参数、 2 为何，则便知其分布函数了。为何，则便知其分布函数了。本节主要讨论随机变量的两个本节主要讨论随机变量的两个 数字特征，即数字特征

50、，即数学期望数学期望(expected value or mean value)和和方差方差 (variance)的概率性质。的概率性质。 第一节第一节 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 例：某长途汽车站例：某长途汽车站8:009:00,9:0010:00都恰有一辆汽车到站，但都恰有一辆汽车到站，但 到站的时刻不确定，且两辆汽车到站时间是独立的，其规律为到站的时刻不确定，且两辆汽车到站时间是独立的，其规律为 到站 时刻 8:10 9:10 8:30 9:30 8:50 9:50 概率0.150.550.30 假设某乘客假设某乘客8:20到达汽车站，计算他候车时间的数学期望。到达汽车站，计算

51、他候车时间的数学期望。 解：首先计算候车时间解：首先计算候车时间X（分钟）的分布律（分钟）的分布律 X1030507090 p0.55 0.300.02250.08250.045 所以候车时间的数学期望为所以候车时间的数学期望为EX=25.45（分钟）（分钟） 2. 几个典型离散型随机变量的数学期望几个典型离散型随机变量的数学期望 （1） 二点分布二点分布 设设 X 的分布律为的分布律为 X 0 1 P q p 则则 X 的数学期望的数学期望 pqpEX01 (2) 二项分布二项分布 设设 X 的分布律为的分布律为 nkqpCkXP knkk n ,.,1 , 0, 则则 X 的数学期望的数学

52、期望 n k knk qp knk kn EX 0)!( ! ! n k knk knk qppnn 1 )1()1(1 )!1() 1()!1( )!1( npqpCnp n t tntt n 1 0 )1( 1 (= 1 )( n qpnp) ) (3) 泊松分布泊松分布.设设 X 分布律为分布律为 ,.1 , 0, ! ke k kXP k 则则 X 的数学期望的数学期望 e k kkpEX k k k k 10! e t e k t t k k 01 1 !)!1( Ex 证明证明超几何分布超几何分布： n N kn MN k M C CC kXp 的数学期望的数学期望 N nM EX

53、 其它, 0 21 ,2 10 , )(xx xx xp 由定义，由定义， ),(, 0 ),(, 1 )( bax bax ab xp,所以所以 2 )( ba ab xdx dxxxpEX b a 即即a , b上的均匀分布的期望恰为区间中点。上的均匀分布的期望恰为区间中点。 （2） 指数分布指数分布：设：设 X 的密度函数为的密度函数为 )0( 0, 0 0, )( x xe xp x 求其数学期望求其数学期望 EX。 1 000 dxexedxexEX xxx （3）正态分布正态分布：设：设随机变随机变),( 2 NX, ,则则 2 2 2 )( 2 1 )( x X exp 求其数学

54、期望求其数学期望 EXEX。 按定义，按定义， xEXdxe x 2 2 2 )( 2 1 ，作变换，作变换dydx x y , , , 积分化为积分化为 dye y EX y 2 2 2 )( 即正态分布的均值为即正态分布的均值为，特别标准正态为，特别标准正态为 0。 ( (2 2）设）设 X X 是随机变量，是随机变量，k k 为常数，则为常数，则 E(kX)=k(EX)E(kX)=k(EX)。 以连续型随机变量加以说明：以连续型随机变量加以说明： )()()(EXkdxxkxpkXE (3)(3)设设 X X、Y Y 为随机变量，则为随机变量，则 E(X+Y)=EX+EYE(X+Y)=E

55、X+EY。 仍以连续型随机变量加以说明：设仍以连续型随机变量加以说明：设 p(x,y)p(x,y)为联合密度函数，为联合密度函数， )(),(ypxp YX 为边际密度，则为边际密度，则 dxdyyxpyxYXE),()()( EYEXdyyypdxxxp YX )()( 【例例4】设某种产品销售一件可获利设某种产品销售一件可获利m元元,而积压一件损失而积压一件损失n 元。若销售量元。若销售量Y服从参数为服从参数为0.001的指数分布。求（的指数分布。求（1）获）获 利的期望值；（利的期望值；（2）应生产多少产品使期望值达最大？）应生产多少产品使期望值达最大？ 解：由假定，解：由假定，Y的密度

56、函数为的密度函数为 设生产件数为设生产件数为x，销售量，销售量Y，获利为，获利为Q，则有，则有 从而有从而有(1) (2) 对对x求导数求导数,得当得当 期望值最大。期望值最大。 其它, 0 0,001. 0 )( 001. 0 ye yp y Y Ymx xYYxnmY YQ , ),( )( x x x Y dyypyQYEQ 00 )()()(nxenm x )1)(1000 001. 0 )ln(1000 n nm x （2 2）二项分布二项分布. .前面已经说明其可以看成前面已经说明其可以看成 n n 个独立的两点分布个独立的两点分布 之和，即之和，即 k n k k XXY, 1

57、为两点分布，故由方差性质为两点分布，故由方差性质 npqppXDYD n k n k k 11 )1 ()()( 这里这里 q=1q=1- -p p (3) 泊松分布泊松分布.设设 X 分布律为分布律为 ,.1 , 0, ! ke k kXP k 求方差求方差 D(X)。 e k ke k kXE k k k k 10 22 )!1(! )( 100 !)!1( ! ) 1( tt tt t t e tt e t t 2 1 所以所以 22 )()()(EXXEXD （4 4）均匀分布均匀分布：设：设 X X 服从服从a,ba,b上均匀分布上均匀分布 解解 由定义由定义 , , )( 3 1

58、)( 22 2 2 baba ab dxx XE b a 所以所以 12 )( )()()( 2 22 ab EXXEXD （6 6）正态分布正态分布：设：设),( 2 NX，求，求 D(X)D(X)。 2 2 2 )( 2 1 )( x exp, , 22 )(xXE)(xpdxdx dyey y 2 2 2 )( 2 1 dyey y 2 2 2 2 2 2 对后面积分用分布积分法，上式对后面积分用分布积分法，上式 22 2 2 2 2 2 dye y 所以，所以， 222 )()()(EXXEXD 因此，若因此，若),( 2 NX，则，则 2 )(XD。 )20,70(),15,75(

59、22 NYNX 160)2(;)1 (YXPYXP )( 2 2 2 1 补充习题补充习题 1.某产品次品率为某产品次品率为 0.1， 检验员每天检验， 检验员每天检验 4 次产品。 每次随机抽取次产品。 每次随机抽取 10 件产品件产品 检验，如果发现其中多于检验，如果发现其中多于 1 件次品，即对设备进行调整。若件次品，即对设备进行调整。若 X 表示一天中表示一天中 调整设备的次数，求调整设备的次数，求 E(X)=？( (答案：答案：E(X)=1.056 ) 2.设工厂生产的某产品寿命（年）服从参数为设工厂生产的某产品寿命（年）服从参数为 0.25 的指数分布。的指数分布。工厂出售工厂出售

60、 一件产品可赢利一件产品可赢利 100 元，而若出售的产品在一年之内损坏可以进行调换，元，而若出售的产品在一年之内损坏可以进行调换， 调换一件产品工厂需花费调换一件产品工厂需花费 300 元。试求工厂出售一件产品净赢利元。试求工厂出售一件产品净赢利数学期望。数学期望。 (答案答案：E(X)=33.7 ) 3.设设 X、Y 的密度函数分别为的密度函数分别为 p(x)、p(x-c)。证明。证明 它们期望只相差它们期望只相差 c 而方差相等。而方差相等。 4.设设 X、Y 独立，证明独立，证明:D(X+Y)=D(X)+D(Y) 5.设设 X、Y 为任何随机变量，则为任何随机变量，则 D(X+Y)=D