第4章无穷级数1-7(常数项级数(1))

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 高等数学高等数学A A 4.1.1 4.1.1 常数项级数常数项级数 4.1.2 4.1.2 常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 收敛的必要条件收敛的必要条件 4.1.3 4.1.3 正项级数及其收敛性正项级数及其收敛性 4.1 4.1 正项级数正项级数 4.1.3正项级数及其收敛性正项级数及其收敛性 4.1.1 常数项级数的概念常数项级数的概念 常数项级数与正项级数常数项级数与正项级数 4.1.2常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 级数的概念级数的概念 级数的收敛与发散级数的收敛与发散 习例习例1-

2、4 性质性质15 习例习例5-95-9 正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 比较法比较法 习例习例10-11 比较法的极限形式比较法的极限形式 习例习例12 小结与思考题小结与思考题 1. 1. 级数的定义级数的定义: : n n n uuuuu 321 1 (常数项常数项)无穷级数无穷级数. 一般项一般项 部分和数列部分和数列 n i inn uuuus 1 21 级数的部分和级数的部分和 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus . 不存在不存在的极限可能存在也可能的极限可能存在也可能显然部分和数列显然部分和数列 n s 一、常数项级数的

3、概念一、常数项级数的概念 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无无限限增增大大时时, ,如如果果级级数数 1n n u的的部部分分和和 数数列列 n s有有极极限限 s, , 即即 ssn n lim, , 则则称称无无穷穷级级数数 1n n u收收敛敛, ,这这时时极极限限 s 叫叫做做级级数数 1n n u的的和和. .并并 写写成成 n uuus 21 如果如果 n s没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1n n u发散发散. . 余项余项 nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 误差为误差为 n r)0lim( n n r 即即 常

4、常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) ) n n s lim存存在在( (不不存存在在) ) 常数项级数概念习例常数项级数概念习例 例例1 . )2)(1( 1 , 33 0 su nn ssu n nn 与与中中的的写写出出 的的意意义义及及它它们们的的关关系系试试述述 例例2 . )12)(12( 1 1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n nn 例例3 .)0( 2 0 的收敛性的收敛性 aaqaqaqaaq n n n 讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数) 例例4 .)1( 1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n nn 例例1 . )2)(1( 1 , 33 0 su

5、 nn ssu n nn 与与中的中的写出写出 的意义及它们的关系的意义及它们的关系试述试述 解解,limssn n . 1 nnn ssu , 43 1 3 u. 43 1 32 1 21 1 3 s 例例2 . )12)(12( 1 1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n nn 解解 )12)(12( 1 nn un ), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ) 12 1

6、1( 2 1 n , 2 1 . 2 1 , 和为和为级数收敛级数收敛 例例3 .)0( 2 0 的收敛性的收敛性 aaqaqaqaaq n n n 讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数) 解解 时时如如果果1 q 12 n n aqaqaqas q aqa n 1 , 11q aq q a n ,1时时当当 q0lim n n q q a sn n 1 lim ,1时时当当 q n n qlim n n slim 级数级数收敛收敛 级数级数发散发散 时时如果如果1 q ,1时时当当 q ,1时时当当 q nasn级数级数发散发散 aaaa级级数数变变为为 不不存存在在 n n s li

7、m 级数级数发散发散 综上所述综上所述 . ,1 1 ,1 1 0 发散发散时时当当 收敛于收敛于时时当当 q q a q aq n n 例例4 .)1( 1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n nn 解解 )1()23()12(nnsn 11 n )11(limlimns n n n .原级数发散原级数发散 注意注意: . )1( 11 不同不同与与 n i i n n uu .lim )2( 1 是否存在有关是否存在有关是否收敛与是否收敛与 n n n n su ., )3( 1 的近似值的近似值是是收敛收敛若若ssu n n n 性质性质1 .)( .)(, 111 111 n n n

8、 n n nn n nn n n n n vuvu vuvu 且且 也收敛也收敛则则都收敛都收敛与与若级数若级数 结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 性质性质2 ., 1111 n n n n n n n n ukkukuu且且也收敛也收敛则则收敛收敛若级数若级数 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. . 二、二、 常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 性质性质3 .).1(, 11 且其逆亦真且其逆亦真也收敛也收敛则则收敛收敛若级数若级数 kuu kn n n n 证

9、证 nkkkn uuu 21 , kkn ss k n kn n n n ss limlimlim 则则 . k ss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数 的敛散性的敛散性. 结论结论: : 在在级数的前面加上或去掉有限项，不影响级数的级数的前面加上或去掉有限项，不影响级数的 敛散性敛散性. .但在收敛时，一般说来级数的和会改变但在收敛时，一般说来级数的和会改变. . 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来 的级数的级数. . 证证 )()( 54321 uuuuu , 21 s .l

10、imlimssn n m m 则则 , 52 s , 93 s , nm s 注意注意: (1) 发散级数加括弧后所成的级数不一定发散发散级数加括弧后所成的级数不一定发散. 1111 例如例如 发散发散 )11()11( 收敛收敛 (2) 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级数也发散则原来级数也发散. . (3) 如果加括弧后所成的级数收敛如果加括弧后所成的级数收敛, ,则原来级数不一定则原来级数不一定 收敛收敛. . (4) 如果级数各项为正，则原级数与加括弧后所成的级如果级数各项为正，则原级数与加括弧后所成的级 数的收敛性相同数的收敛性相同. . 性质性质5

11、. 0lim, 1 n n n n uu则则收敛收敛若级数若级数 级数收敛的级数收敛的 必要条件必要条件 证证,limssn n , 1 nnn ssu且且 1 limlimlim n n n n n n ssu 0 ss 注意注意: ., 0lim)1( 1 发散发散则则若若 n nn n uu 判别级数发散判别级数发散 的充分条件的充分条件 ., 0lim)2( 1 不一定收敛不一定收敛则则若若 n nn n uu 例例5 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：).( 1 1 调和级数调和级数 n n 例例6 . 6 1510 0 收敛收敛证明级数证明级数 n n n 例例7 . 32 5

12、1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n n n 例例9 :, 1 下列级数是否收敛下列级数是否收敛收敛收敛设设 n n u . 1 )3( ;)2( ; )0001. 0()1( 11 1000 1 nnn n n n u uu 例例8 . 10 1 2 1 20 1 4 1 10 1 2 1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n n 常数项级数的基本性质习例常数项级数的基本性质习例 例例5 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性：).( 1 1 调和级数调和级数 n n 解解 ?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛在调和级数中有在调和级数中有 n n u ) 2 1 22 1 12 1 (

13、 ) 16 1 10 1 9 1 () 8 1 7 1 6 1 5 1 () 4 1 3 1 () 2 1 1( 1mmm 8项项 4项项 2项项 2项项 项项 m 2 2 1 每每项项均均大大于于 2 1 )1(1 mm项大于项大于即前即前 .新级数发散新级数发散 由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. . 例例6 . 6 1510 0 收敛收敛证明级数证明级数 n n n 证证 00 ) 6 1 () 6 5 (10 6 1510 n nn n n n ,) 6 1 () 6 5 (10 00 收敛收敛与与而而 n n n n 由级数性质可知原级数收敛由级数性质可知原级

14、数收敛. 例例7 . 32 5 1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n n n 解解, 0 2 5 32 5 lim n n n 所以原级数发散所以原级数发散. 例例8 . 10 1 2 1 20 1 4 1 10 1 2 1 的敛散性的敛散性判别级数判别级数 n n 解解 1 ) 10 1 2 1 ( 10 1 2 1 20 1 4 1 10 1 2 1 n nn nn , 2 1 1 收敛收敛又又 n n , 10 1 1 发散发散 n n 由级数性质可知原级数发散由级数性质可知原级数发散. 例例9 :, 1 下列级数是否收敛下列级数是否收敛收敛收敛设设 n n u . 1 )3( ;)

15、2( ; )0001. 0()1( 11 1000 1 nnn n n n u uu 解解, 00001. 0)0001. 0(lim)1( n n u .)0001. 0( 1 发散发散 n n u ,)2( 11 1000 同时敛散同时敛散与与 n n n n uu. 1 1000收敛 收敛 n n u , 1 lim)3( n nu . 1 1 发散发散 nn u 三、正项级数及其审敛法三、正项级数及其审敛法 1.1.定义定义: :，中各项均有中各项均有如果级数如果级数0 1 n n n uu 这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数. . ., 0 1 散性散性与正项级数有相同的敛与正

16、项级数有相同的敛则级数则级数如果如果 n nn uu n sss 21 对于正项级数有对于正项级数有 部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. . n s 2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: : 定理定理 1. 有界有界收敛收敛 nn n n suu )0( 1 3. 正项级数的比较审敛法：正项级数的比较审敛法： 定理定理 2 , 11 n n n n vu 与与设有两个正项级数设有两个正项级数 ;,), 2 , 1()1( 11 收敛收敛则则收敛收敛且且若若 n n n nnn uvnvu .,), 2 , 1()2( 11 发散发散则则发散发散且且若若 n

17、n n nnn uvnvu 证证 .,)1( 1 收敛于收敛于的部分和为的部分和为设设 n n n v nn n n uuusu 21 1 的部分和的部分和则则 nn vvv 21 n n n n slimlim , 1 n su即即.有界有界故故 n s . 1 收敛收敛 n n u ,)2( 1 收敛收敛反设反设 n n u.,)1( 1 与已知矛盾与已知矛盾收敛收敛可得可得由由 n n v . 1 发散发散 n n u 注意注意: (1)比收敛级数还小的级数收敛，比收敛级数还小的级数收敛， 比发散级数还大的级数发散比发散级数还大的级数发散. .,),0,()2( 11 收敛收敛则则收敛收

18、敛且且若若 n n n nnn uvkNnkvu .,),0,()3( 11 发散发散则则发散发散且且若若 n n n nnn uvkNnkvu 正项级数比较法习例正项级数比较法习例 例例11 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性： ).0( 1 1 )4( ; 2 sin)3( 1 1 )2( ; )1( 1 )1( 11 1 2 1 a a n nn n n n n nn 解解,1时时当当 p , 11 n n p .级数发散级数发散则则 p ,1时时当当 p, 11 1 pp xn nxn 有有 n np n npp x dx n dx n 11 1 则则 1 )1( 1 1 1 11 p

19、p nnp (*) 1 )1( 1 11 2 pp n nn 考虑级数考虑级数 )1( 11 ) 3 1 2 1 () 2 1 1( 11111 ppppp n nn s 1 )1( 1 1 p n , 1lim n n s从而级数从而级数(*)收敛收敛.级数收敛级数收敛故故 p . ,1 ,11 1 发散发散时时当当 收敛收敛时时当当 级数级数 p p n p n p 例例11判别级数的敛散性：判别级数的敛散性： ).0( 1 1 )4( ; 2 sin)3( 1 1 )2( ; )1( 1 )1( 11 1 2 1 a a n nn n n n n nn 解解, 1 1 )1( 1 )1(

20、 nnn , 1 1 1 n n 发散发散而级数而级数所以原级数发散所以原级数发散. , 1 1 1 )2( 22 nn , 1 1 2收敛 收敛而级数而级数 n n 所以原级数收敛所以原级数收敛. nn 22 sin)3( , 2 1 收敛收敛而而 n n 所以原级数收敛所以原级数收敛. , 01 1 1 lim,1)4( n n a a时时当当 所以原级数发散所以原级数发散. , 0 2 1 1 1 lim,1 n n a a时时当当 所以原级数发散所以原级数发散. , 1 1 1 ,1 nn aa a 时时当当,) 1 ( 1 收敛收敛而而 n n a 所以原级数收敛所以原级数收敛. 注意注意: 比较审敛法中的比较级数通常比较审敛法中的比较级数通常 是是p-级数和几何级数级数和几何级数. 4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: : 定理定理 3. 设设 1 n n u与与 1 n n v都是正项级数都是正项级数, , 如果如果 则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1 n n v