简单随机抽样

1、第2章 简单随机抽样 2.1 定义和符号 2.2 简单估计量及其性质简单估计量及其性质 2.3 比率估计量及其性质估计量及其性质 2.4 回归估计量及其性质估计量及其性质 2.5 简单随机抽样的实施简单随机抽样的实施 简单随机抽样简单随机抽样 用于估计总体均值的统计量是样本均值。-两者 同形同构之意 直接从总体（而不是层之间的子总体）抽取单 元（而不是一群个体的大单元）- 单纯之意 在任何其他概率抽样方式或多或少包含简单随 机抽样的成分，如分层抽样在每层内部均采用 简单随机抽样，整群抽样以群为单位进行简单 随机抽样。 -基本之意 许多日常场合，采用的抓阄摇号等都是简单随 机抽样。-操纵简单之意

2、 2.1 定义和符号定义和符号 所讨论的总体是抽样总体(实查总体)： （1）具体总体 （2）有限总体 (3) 与抽样框存在一一对应关系 单元：指构成抽样总体的抽样单元。 抽样单元并不总是等于个体， 有时可 能包括几个或很多个个体，个体为最 小的不可再分的单元 2.1 定义和符号定义和符号 书上，简单随机抽样三个等价定义： 设有限总体共有 N 个单元， 1. 一次整批取n各单元，使每个单元被抽中的概 率相等，任何n个单元被抽中的概率也相等 2. 逐个不放回抽取单元，每次抽取到尚未入群 的任何一个单元的概率都相等，直到抽足n个 单元为止 3. 抽取n 个单元的所有不同组合构造所有可能 的 个样本，

3、从这 个样本中随机抽取1个 样本，使每个样本被抽中的概率都等于 n N C n N C 1/ n N C 2.1 定义和符号定义和符号 简单随机抽样 设有限总体共有 N 个单元，从中抽取容 量为 n 个单元组成样本，使得每一个可 能的样本都有相同的概率被抽中，这种 抽样方法就是简单随机抽样（simple random sampling） 。 具体抽样时，通常是逐个抽取样本单元， 直到抽满n个单元为止。 简单随机抽样分为：有放回抽样和无放 回抽样（with/without replacement） 放回简单随机抽样在每次抽取样本单元 时，都将前一次抽取的样本单元放回总 体，因此，总体的结构不变，

4、抽样是 进行的，每个样本被抽中的概率 为1/N. 在不放回简单随机抽样中，每个被抽中 的单元不再放回总体，而是从总体剩下 的单元中进行抽样，因此，每次抽样时 总体中单元个数不同，抽样是不独立的， 但可以证明每个单元被抽中的概率仍然 为1/N。 2.1 定义和符号定义和符号 r-11 r-11211 P(r-1r =PA A .A =PA |A .AP A |AP A 11211 =. 121 r r NrNN NrNrNNN 前次未被抽中而第 次被抽中） （） （） （） （ ） P(第一次未被抽中而第二次被抽中） 111 = 1 N NNN 111 22 =P A A =PA |AP A（）

5、 （） （ ） 2.1 定义和符号定义和符号 设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按 放回简单随机抽样的方式抽取2个单元， 则所有可能的样本为 个 （考虑样本单元的顺序）： 1，12，13，14，15，1 1，22，23，24，25，2 1，32，33，34，35，3 1，42，43，44，45，4 1，52，53，54，55，5 2 525 n N 例1：放回简单随机抽样 2.1 定义和符号定义和符号 设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按 不放回简单随机抽样的方式抽取2个单元， 则所有可能的样本为 个 1，22，33，44，5 1，32，43，5 1，42，5 1，5 2 5 5

6、4 10 2 1 n N CC 例2. 不放回简单随机抽样 2.1 定义和符号定义和符号 简单随机抽样的抽取原则： （1）按随机原则取样； （2）每个抽样单元被抽中的概率都是已 知的或事先确定的； （3）每个抽样单元被抽中的概率都是相 等的 不放回简单随机抽样的样本量要受总体 大小的限制。在实际工作中，更多的 采用不放回简单随机抽样。 2.1 定义和符号定义和符号 - 约定大写表示总体 - 小写表示样本 12 1 1 N N i i YYY YY NN n yyy y n y n n i i 21 1 1 2.2 简单估计量及其性质简单估计量及其性质 总体均值 样本均值 总体均值 的简单估计量

7、 Y 12 1 1 n n i i yyy Yyy nn N N i i YYYYY 21 1 n n i i yyyy 21 1 总体总值 样本总值 总体总值的 简单估计量为1 n i i N YNyy n Y 简单估计量 2 22 1 1 11 N i i N SYY NN 2 2 1 1 n i i syy n 总体方差 样本方差 修正总体方差 修正样本方差 2 2 1 1 N i i YY N n i i yy n s 1 2 2 1 1 简单估计量 N i i Y NN A P 1 1 10或 i Y n i i y nn a p 1 1 10或 i y X Y X Y X Y R

8、N i i N i i 1 1 1 1 n i i n i i y y Rr x x 总体比例 (rate) 样本比例 总体比率 （ratio） 样本比率 简单估计量 某一类特征的单元占总体单元数中的比例P 总体中具有研究特征的单元总数 总体中具有研究特征的比例 总体比例P的估计为（比例估计化为均值估计） Y i i 1 0 ，第 个单元具有所考虑的特征； ，否则 1 N i i A N AYY PY 1 n a in i PpyyY 简单估计量 判断下面要估计的总体目标量分别属于什么 类型？ 调查城市居民家庭平均用电量。 估计湖中鱼的数量。 估计居民家庭用于做饭菜及饮用的用水 量占家庭总用水

9、量的比重。 检测食盐中碘含量。 估计婴儿出生性别比。 简单估计量 例3. 设总体为0,1,3,5,6，计算总体均值 =3、总 体方差 和 ；给出全部 的样本 验证 及 。 2 5.2 2 6.5S 2n E yY 22 E sS 1010.5-2.50.5 2031.5-1.54.5 3052.5-0.512.5 4063018 5132-12 615308 7163.50.512.5 835412 9364.51.54.5 10 平均 565.52.50.5 306.5 方差1.95 样本编号单元1单元2样本均值 样本方差 yY 简单估计量 一、对总体均值的估计一、对总体均值的估计 引理2.

10、1: 从N个总体中抽取n个简单随机样 本，则总体中每个特定单元人样的概率为 n/N，两个特定单元人样的概率为 (1) (1) n n N N 简单估计量的性质简单估计量的性质 引理2.2：在简单随机抽样中，引入随机变量 则 1 0 i i i Y Y 如果 入 如果 不入 N n EE ii )()( 2 (1)(0) ii nNn PP NN 样 样 2.2 简单估计量及其性质简单估计量及其性质 )1 ( 1 1 )1 ()()()(),cov( 2 N n N n NN n N n N n EEE jijiji 1 ()(1; 2222; NN ii ii NN ii ii N i YNP

11、YNP Y YYYYNYNP YNYNP 2.2 简单估计量及其性质简单估计量及其性质 总体方差： 22 1 22 1 22 1 () 1 1 (2) 1 1 2 1 1 (1) 1 N i i N ii i SYY N YYYY N NPNPNP N NPP N 2.2 简单估计量及其性质简单估计量及其性质 例：某超市新开张一段时间之后，为改进销售 服务环境，欲调查附近几个小区居民到该超 市购物的满意度，该超市与附近几个小区的 居委会取得联系，在总体中按简单随机抽样 抽取了一个大小为=200人的样本，调查发现 对该超市购物环境表示满意或基本满意的居 民有130位，要估计对该超市购物环境持肯定

12、 态度居民的比例，并在置信度95%下，给出 估计的近似置信区间、极限绝对误差。假定 这时的抽样比可以忽略。 2.2 简单估计量及其性质简单估计量及其性质 95%近似置信区间为 58.37%，71.63% %65 200 130 n a p 11 0.65 0.350.0338 1200 1 f V ppq n 0338. 096. 165. 0 2.2 简单估计量及其性质简单估计量及其性质 (1) 1.96 pp n p 2.3 比率估计量及其性质估计量及其性质 主要变量的总体均值 的比率估计量： 主要变量的总体均值 Y 的比率估计量： 引理2.3：对于简单随机抽样，n较大时， 的期望为： R

13、r ( )( )( ) y Y xX E RE rER Y 1 y RRxN YyXX R RR YN YX R 例：设所有可能样本数为8个 不是无偏的 I 1111 2240.5 3250.4 4350.6 5360.5 6360.5 7480.5 86130.46 平均360.56 i y i x i R 31 86 ( )0.55770.5 i E RRR 2.3 比率估计量及其性质估计量及其性质 定理2.6：对于简单随机抽样，n较大时， 的期望为： 推论2.11：对于简单随机抽样，n较大时， 的期望为 RR Yy ()() RR E YE yXRY RR YNy ()() RR E Y

14、E NyNXRY 2.3 比率估计量及其性质估计量及其性质 引理2.4：对于简单随机抽样，n较大时， 的方差为： 其中， Rr 2 2 12 11 1 1 1222 1 ( )( )() (2) N f iinN X i f xxn X V RV rYRX SR S SR S 2222 11 11 11 1 1 1 () ,() ()() , yx x NN ixiNN ii N S yxiiNS S i SYYSXX SYYXX 2.3 比率估计量及其性质估计量及其性质 定理2.7：对于简单随机抽样，n较大时， 的方差为 推论2.12：对于简单随机抽样，n较大时， 的方差为 RR YNy R

15、R Yy 122 1 1 1 ()() N f RiinN i V YNYRX 12 1 1 1 ()() N f RiinN i V yYRX 2.3 比率估计量及其性质估计量及其性质 很难比较哪种方法好 2 2 12222 11 12222 22 ()()(2) ()()(2) f Ryxxn f X Ryxxn x VyX V RsR sR s VyX VRsRsR s 2 2 12222 1 12222 2 ()(2) ()(2) f Ryxxn f X Ryxxn x V YNsR sR s VYNsRsR s 2 2 1222 1 1 1222 1 2 ()(2) ()(2) f

16、yxxn X f yxxn x VRsR sR s VRsRsR s 两套公式 2.3 比率估计量及其性质估计量及其性质 2.5 简单随机抽样的实施方法 样本容量的确定原理 当n越接近于N，则抽样误差就越接近于零。公式 影响样本容量n的三个基本因素：总体规模N，目 标抽样误差 和总体方差S2 22 11 1 () nN f V YSS n 2 11 V Y nN S VY 未知 另一方面, 目标抽样误差 与总体方差S2有关 估计的精度水平， 误差限度（绝对误差限度d或相 对误差限度r）和置信度有关系： 即： 于是 影响样本容量n的因素：总体规模N，置信度 绝对误差限度d 和总体方差S2 VY

17、| |11 y Y d V YV Y PyYdP /2 /2 dd Z V Y ZV Y 2 22 /2 11d nN ZS 1 2.5 简单随机抽样的实施方法 例： 表： 例： 表： 2 22 /2 11d nN ZS 2 10000, 195%,0.25NS d0.140.100.040.03 n4995566964 10000, 195%,0.05Nd S200.090.160.210.240.25 n113624313356370 2.5 简单随机抽样的实施方法 例： 表： 不同抽样方式会影响样本容量 设计效应 一般地，不能得到有效信息的原因有： -抽样框存在缺陷 -受访者调查期间不在

18、 -访问员的疏失 -设计和管理上的缺陷（不总是可以完全避免） 2 195%,0.05,0.25dS N501005001000 n4479217278 2.5 简单随机抽样的实施方法 样本量的确定步骤： 确定估计的精度水平， 包括误差限度（绝对误 差限度d或相对误差限度r）和置信度 按照保守（样本容量宁大勿小），预估S2 -利用先前的调查结果和经验 -利用预调查结果 -利用同类或相似或有关的二手数据的结果 -利用某些理论上的结论(总体比例p(1-p)=0.25) -利用有经验的专家的判断 1 2.5 简单随机抽样的实施方法 最大绝对误差（绝对误差限 ）或 最大相对误差（相对误差限 ） 相对误差

19、限度r 样本量： d r Pd 1Pr 1 2.5 简单随机抽样的实施方法 y Y d YY rdrY 2 2 2222 /2/2 () 111 rY d nNN ZSZS 3. 初始样本量n0计算： 4. 确定抽样方式, 调整样本容量, 设计效应 deff=任意抽样方式抽样方差/简单随机抽样的抽样方差 -简单随机抽样: deff=1 -分层抽样：deff1 - 效率低 -系统抽样：deff1 2 22 /2 1 0 1 / () d N ZS n 10 nndeff 2.5 简单随机抽样的实施方法 Deff （基什L. Kish提出 ）的作用： - 评价抽样设计的一个依据, 如果deff1

20、- 比简单随机抽样的效率低 - 计算样本量 如多阶段抽样的 Deff大约在22.5之间。 n= n(deff) n为简单随机抽样所需样本量。 2.5 简单随机抽样的实施方法 放回简单随机抽样的deff为： 常用于复杂抽样样本量的确定；在一 定精度条件下，简单随机抽样所需的 样本量比较容易得到，复杂抽样的样 本量为， nN N NnSnN NnSN deff 1 )()( )() 1( 2 2 deffnn 2.5 简单随机抽样的实施方法 5. 判定回答率， 调整样本容量 6. 对分组数据分别计算样本量， 再相加得到总样 本容量。 7. 考虑权衡费用、时间、资源等。再计算样本量。 21 /nnr 2.5 简单随机抽样的实施