最值问题解题思路奥数精编版.doc

1、马到成功奥数专题: 离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1. 着眼于极端情形；2. 分析推理确定最值；3. 枚举比较确定最值；4. 估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数， 应用问题等打下扎实的基础。一、从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。题目 1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10 个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“ 4

2、”，黄色小球上标有数字“ 5”，绿色小球上标有数字“ 6”。小明从袋中摸出8 个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的 8 个球全是红球，则数字之和为（48=） 32，与实际的和 39 相差 7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6 4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4= ）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在72=31，因此可用 3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8 个球的数字之和正好等于39。所以要使 8 个球的数字之和为 39，其中最多可能有（8-3-1= ）4 个是红球。

3、题目 2.有 13 个不同正整数， 它们的和是 100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解： 2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有 5 个奇数，但和是奇数，100 是偶数，所以只能少一个偶数， 2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17，最多有 7 个偶数。1+3+5+7+9+11+13+15=64还要 5 个偶数， 100-64=3636=2+4+6+8+16 最少有 5 个偶数。题目 3.一种小型天平称备有1 克、 3 克、 5 克、 7 克、 9 克 5 种砝码。为了能称出1 克到91 克的任意一种整数克重量，如果只允许在天

4、平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。解：要能称出1 克到 91 克的任意一种整数克重量，要有9 个 9 克、 1 个 5 克、 1 个 3 克、 2个 1 克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13 个。1题目 4.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“ 0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77， 707 这样只含数字7 和 0 的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“ 7”键多少次？222222-70000*3=12222 按下了 3 个 712222-7000*1=5222按下了 1 个 75222-700*7=322按下了 7个 7322-70

5、*4=42按下了 4 个742-7*6=0按下了 6个 7。3+1+7+4+6=21 次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目 5.将 6，7，8， 9， 10 按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添 6 和 7，这样积小一些。于是有两种添法：-题目 6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13 个停车站。 如果

6、这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法 1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有56 人，这就是说至少应有56 个座位。说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的， 座位最少有多少， 取决于什么时候车上人数最多， 要保证乘客中每人都有座位， 应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以， 我们不能只看表面现象， 误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。解法 2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站

7、（每站 1 人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此车开出时人数 =（以前的站数+1）以后站数=站号（ 15- 站号）。因此只要比较下列数的大小：114，213，312，411，510，69，78，87，96，105，2114，123，132，141。由这些数，得知78和 87是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56 人，所以它应有 56 个座位。说明：此题的两种解法都是采用的枚举法， 枚举法是求解离散最值问题的基本方法。 这种方法的大意是： 将问题所涉及的对象一一列出， 逐一比较从中找出最值； 或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目 7.在如图18-2 所示得

8、2*8 方格表中， 第一行得 8 个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8 按适当得顺序分别填入第二行的8 个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？解：这8个差分别是 0， 1， 2， 3， 4，5， 6， 7，和为 28，分成两组，每组 14。 8 和 7 必然填在 1， 2 两个方格内。前两列的差是7和 5，第 3 个如果填 6，那么 7+5+3 超过 14，所以只能填5，此时 3 个差为 7、5、 2，和为14，第 4 个格子只能填4，填 6 就会有重复。数字6 只能填在第 7 格，再凑

9、一凑即可得出87541362。三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。题目 8.从 123456789101199100 中划去 100 个数字， 其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。分析与解将此题简化为从 12345678910中划去 9 个数字 . 利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为 91，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从12345678910 中划去 10个数字剩下 9；从111213 484950 中划去 76个数字剩下 4

10、个 9；再从 51525354555657585960 中划去 14 个数字剩下尽可能大的数是785960，从而得到所求的最大数9999978596061 99100。求最小值时，从 12345678910 中划去9 个数字剩下 10，从 11121314 484950 中划去 76 个数字剩下 4个 0，再从 51525354555657585960 中划去 15 个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所求最小数 100000123406162 99100。题目 9.将 1，2，3， ， 49，50 任意分成10 组，每组 5 个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10

11、个中位数之和的最大值与最小值。解： 1 ， 2， 3， 49，50 4，5， 6， 47，4828 ， 29， 30， 31， 323+6+30=165（最小值）1 ， 2， 48， 49， 50 3， 4，45， 46，4719 ， 20， 21， 22， 2348+45+21=345（最大值）3四、和一定问题1 910 19 9例如，和为10 的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知2+8=10 28=16道和为 10的自然数共有 5 对，每对自然数乘积后又得到5 个不同37=10 37=21的数，如下表：4+6=10 46=245+510 55=25由此我们得到，当这两个自然数都取5

12、 时积有最大值25 。成立。也就是和一定时差最小乘积越大。题目 10.有 3 条线段 a,b,c ，线段 a 长 2.12 米，线段b 场 2.71 米，线段 c 长 3.53 米。如图18-1 ，以它们作为上底、下底和高，可以作出3 个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？解：由于梯形体积 =（上底 +下底） * 高/2 在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见 a+b 与 c 十分接近，所以的面积最大。题目 11.如果将进货单价为40 元的商品按50 元售出，那么每个的利润是10 元，但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价1 元时，其销售量就减少10 个。为了赚得最多的利润，

13、售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X ）个。总共可以获利（ 50x-40 ）（ 500-10x ）=10（ 10+X）（ 50-X ）（元）。因（ 10+x） +（ 50 x） =60 为一定值，故当10+X=50 X 即 X=20 时，它们的积最大。此时，每个的销售价为50 20=70（元）题目 12.用 3， 4，5， 6， 7，8 六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该怎样排列？4【分析与解】 十位数字分别是8、7、6，876, 个位数字分别是5，4，3，543，依据“接近原则”，大小搭配可得837465，三个数最接近因而它们的乘积最

14、大。综上数例， 可以归纳出这样的规律 : 较大数后配较小的数， 较小的数后配较大的数， 这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。综上数例， 可以归纳出这样的规律:较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近 ，乘积越大 。五、积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量， 如果在变化的过程中，乘积始终保持不变， 那么它们的差越小， 和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。

15、题目 13.长方形的面积为144 cm 2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为xcm 和 ycm，则有xy 144。故当 x=y=12 时， x+y 有最小值，从而长方形周长2（x y）也有最小值。题目 14. 农场计划挖一个面积为23m和 4m的432 m 的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和 ym，则有xy 432。占地总面积为S=（ x 6）（ y 8） cm2。于是S=Xy+6y+8X 48 6y+8X+480。我们知道 6y 8X=48432 为一定值，故当

16、6y=8X 时， S 最小，此时有6y=8X=144，故y=24， x=18。5六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。题目 15.在 10， 9， 8， 7，6， 5， 4，3， 2， 1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（ 2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？题目 16.在 10，9， 8， 7， 6， 5，4， 3， 2，1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（ 2）这

17、个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把 10 个数都添上加号， 它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2 倍。因为 55-37 18，所以我们变成减数的这些数之和是182=9。对于大于2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好 （不包括1）。9 最多可拆成三数之和2 34=9，因此这些减数的最大乘积是234 24，添上加、减号的算式是10 9 8 7 6 5-4-3-2137。七、抓不等关系题目 17.某校决定出版“作文集”，费用是 30 册

18、以内为80 元，超过 30 册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50 元以内？解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了（30 x）册，于是总用费为（80+1.2x ）元。故有80+1.2x 1.5 （ 30+x），答案 :117+30=147 以内。题目 18.有 4 袋糖块，其中任意3 袋的总和都超过60 块。那么这4 袋糖块的总和最少有多少块？解：要使其中任意3 袋的总和都超过60 块，那么至少也是61，先在每袋中放20 个糖块，但任意 3 袋中至少一个21，否则就无法超过60。要使任意3 袋中至少一个21，这 4 个袋子的糖块分别是20， 20， 21， 21。和为

19、 20+20+21+21=826八、抓相等关系题目 19.10 位小学生的平均身高是1.5 米。其中有一些低于1.5 米的，他们的平均身高是1.2 米；另一些高于1.5 米的平均身高是1.7 米。那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？解: 要最多有多少位同学的身高恰好是1.5 米，就要使低于和高于1.5 米的人越少，设高于和低于的人分别为a,b 。可得： 1.2a+1.7b=1.5(a+b)2b=3a至少是 5 人那么最多有 10-5=5 位同学的身高恰好是1.5 米。-题目 20.4 个不同的真分数的分子都是1，它们的分母只有2 个奇数、 2 个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2

20、个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？解： 1/ 奇+1/ 奇=1/ 偶+1/ 偶偶/ 奇=（偶 +偶)/ 偶 偶奇 * （偶 +偶） =偶 * 偶 * 偶。因为偶 * 偶 * 偶是 8 的倍数所以偶 +偶是 8 的倍数若是 8，只能为 2 和 6 则 1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意，因为奇相等; 若是 16，有1/6+1/10=1/5+1/15因此本题答案是16。九、位值展开式题目 21.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？解：设两位数位ab（ a 表示十位数字，b 表示个位数字）ab=(10a+

21、b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1a+b 最大是 18，此时余数为9当 a+b=17，若 a=9 余数为 13 若 b=9 余数为 4题目 22.当 a+b=16，若 a=9 余数为 1若 b=9余数为 15 此时余数最大。 由 3 个非零数字组成的三位数与这3 个数字之和的商记为K。如果 K 是整数，那么K 的最大值是多少？解：设这个数为abc（ a 表示百位数字，b 表示十位数字，c 表示个位数字）那么 abc/ （a+b+c）=K(100a+10b+c)/(a+b+c)=K要使这个算式最大，就要让a 尽可能大，b,c 尽可能的小。 试一下：911/（ 9+1+1）=829，811

22、/（ 8+1+1）=811，711/（ 7+1+1）=79，所以 K 最大是 79。7题目 23.用 1，3，5，7，9 这 5 个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用 0，2，4，6，8 这 5 个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ 。求算式 ABCDEFGHIJ的计算结果的最大值。解：要使 ABC*DE-FGH*IJ 这个算式最大就要使ABC*DE最大， FGH*IJ 最小。那么前面最大是751*93 。后面最小是468*20 。那么算式的最小值是751*93-468*20=60483十、“估计 +构造”“估计 +构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该

23、量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。题目 24.把 1 ，2，3， ，12 填在左下图的12 个圆圈里， 然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数 n， n 至少是多少？为什么？并请你设计一种填法，满足你的结论。解：因为 1+2 3 12=78， 78212 13，所以 n13。又考虑到与 12 相邻的数最小是 1 和 2，所以 n 至少是 14。右上图是一种满足要求的填法。十一、转化与对称思想转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的. 在平面上有两个点 A、B，把 A、B 用线连

24、结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等. 在这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段AB 的长叫 A、B 两点间的距离。我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面N点放上食品，在长方体侧面ABCD上 M点放一只蚂蚁（如图 3），蚂蚁从侧面经过棱AD到 N 有无穷多种走法（如图4），我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结MN则不经过棱 AD，与条件不符 . 为了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结MN交 AD于 P. 由公理，两点之间线段最短，可知蚂蚁从 M点沿直线 MP爬到 P 后，再由 P 点沿直线 PN爬到 N 时走过的路程最短

25、。题目 25. 如图 11 某次划船比赛规定从 A 点出发，先到左岸然后到右岸然后再到B 点，时间少者取胜 . 请你设计一条航线，使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。8如图，找到A 点关于左岸的轴对称点，B 点关于右岸的轴对称点，连结AB，与左岸、右岸分别有交点C、 D，沿折线ACDB航行就是最短航线。十二、学写说理题题目 26.23 个不同的自然数的和是4845。问：这 23 个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由。.17 。解：设这 23 个彼此不同的自然数为a1，a2， ， a22， a23，并且它们的最大公约数是

26、d，则a1=db1， a2=db2， ， a22=db22， a23=db23。依题意，有4845=a1+a2+ +a22+a23=d（b1+b2+b22+b23）。因为 b1， b2， ， b22， b23 也是彼此不等的自然数，所以b1+b2+b231+2+23=276。因为 4845=d（b1+b2+b22+b23） 276d，所以又因为 4845=191715，因此d 的最大值可能是17。当 a1=17，a2=172，a3=173， ， a21=1721，a22=1722，a23=1732时，得a1+a2+a22+a23=17（ 1+2+22）+1732=17253+1732=1728

27、5=4845。而（ a1， a2， ， a22， a23） =17。所以 d 的最大值等于17。解题在于实践：题目 27.设 a ， a ， a ，a ， a ， a是 1 到 9 中任意 6 个不同的正整数，并且a a a 123456123a a a 。试用这6 个数分别组成2 个三位数，使它们的乘积最大。456分析与解：由于a1， ， a6 具体大小不清楚，因此先取特殊数1，2， 3，4，5，6 这 6个不同的数考虑。 要使 2 个三位数的乘积最大， 必须使这 2 个数的百位数最大， 应分别是6，5；而十位数次大，应分别为4， 3，个位数最小，应分别为2， 1。因为当 2 个数之和一定时

28、，这2 个数之差越小，它们的乘积越大，所以这2 个数是 631和 542。9题目 28.8 个互不相同的正整数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是44。问：剩下的数中，最小的数是多少？解：因为最大数与最小数的和是56 44=12，所以最大数不会超过11。去掉最大和最小数后剩下的6 个互不相同的自然数在210 之间，且总和为44，这 6 个数只能是4， 6， 7，8， 9， 10。题目 29.采石场采出了200 块花岗石料，其中有 120 块各重 7 吨，其余的每块各重9 吨，每节火车车皮至多载重 40吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？解：每节车皮所装石料不能超出5 块，故车皮数不能少于 2005=40（节），而 40 节车皮可按如下办法分装石料： 每节装运 3 块 7 吨的和两块9 吨的石料，故知 40节可以满足要求。题目 30. 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开 4 个进水管时需要 5 小时才能注满水池；当打开2 个进水管时，需要15 小时才能注满水池；现在需要在 2 小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？分析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题，因没