误差理论与测量平差基础习题集

1、第七章间接平差 7-1间接平差原理在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关误差方程和法方程的个数是 多少在某平差问题中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差 中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪一个少，为什么如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误 差方程的常数项都会等于零吗P2为高程未知点,在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（乩二，P,测得离差及水准路线长度为:hi二，Si=2km,二，S2 二 2km, h3 二-，S3 二 I km。试用间接平差法求各髙差的平差值。图7!在三角形（图7-2）中，以不等精度测得a=78o23, 12, Pa=1;B

2、 二 85o30 *06 P?二2;y=16006*32H, PY=1;&二343o5324”，P6=1 ；试用间接平差法求各内角的平差值。7.设在单一附合水准路线（图7-3）中已知A, B两点高程为Ha. Hb.路线长为S,. S2,观测高差为h h2,试用间接平差法写出P点高程平差值的公式。7.在测站0点观测了 6个角度（如图7-4所示），得同精度独立观测值：Lf32o25,18, L2 =61o1436,L3 二 94o0940,L, 17201017L5二93o3948, L6=155o24,20已知A方向方位角a人=21o10*15I（,试按间接平差法求各方向方位角的平差值。 7-2

3、误差方程在间接平差中，为什么所选参数的个数应等于必要观测数，而且参数之间要 函数独立能否说选取了足够的参数，每一个观侧值都能表示成参数的函数10在平面控制网中，应如何选取参数11条件方程和误差方程有何异同误差方程有哪些特点.13图7-5中,A,B为已知点，P/Ps为待定点，Pu P5两点间的边长为已知,L- Le为角度观测值，SS&为边长观测值，试确定图中独立参数的个数。在图7-6中，A,B已知点，P. 3为未知点，观测角度Ln,若设角度观测值为参数独立参数有哪些角试列出图7-7中各图形的误差方程式(常数项用字母表示)(l)A, B, C, D为已知点，Pi x P5为未知点.观测高差hh5,

4、设h2.山为参数；A,B为已知点，P/ Ps为未知点，观侧高差Kh?,设巴点高程、高差 为参数；p久为未知点，观测高差hrh6,设只 a点的高程为参数在直角三角形（图7-8）中，测得三边之长为Li 1_2和L3若设参数9 =二f L试列出该图形的误差方程式。17为确定某一直线方y二ax + b,在X,（i = ,2,5）处（设x.无误差）观侧了 5个观侧值y,X i/ci12345y i/c试列出确定该直线的误差方程。7. 2. 18o在待定点P上，向已知点A,B,C进行方向观测。如图7-9所示，设为零方向定向角平差值，LMi二1, 2, 3）为方向 Zp观测值,A, B.C点的坐标及P点的近

5、似坐标均列于表中，试列出全部观侧值的误差方程。图79占号X/mY/m观测值（oAZp21 0342BL,25 1838Cl271 2854PL310222 367. 2. 19在图7T0中,A,B,C为已知点，今在其间加测一点P,其近似坐标为X* 二，啼465. 844m.已知起算数据和观测值列十表中，试列点号坐标X/mY/mAB734. 058C出全部观P2角号1234观测值79o51153o3566o5063o0020501043图7-I I中，A, B, C为已知点，P为待定点，网中观测了 3条边长1,起算数据及观测数据均列于表中，现选待定点的坐标平差值为参数，其坐标近似值为X* 二57

6、 , W二70 998. 26m,试列出各观测边长的误差方程式坐标X/mY/mAB5874 300. 086C5173编号Li有边角网如图7T2所示，A,B,C为已知点,PR为待定点, 角度观测值为观测值/ma 7-12l/l7,边长观测值为S,已知点坐标和观测数据均列于表中，若设待定点坐标为参数，试列出全部误差方程。5坐标X/mY/mABC近似坐标X/mY/mPi角号观测值角号观测值L,33o24 10Ls34o04 45“70o44 461-664o30 221_332o23 52L731o49 18L436o09 48有一中心在原点的椭圆，为了确定其方程，观测了 10组数据(X, y.)

7、(i=1, 2,，10),已知X,无误差、试列出该椭圆的误差方程。为确定某一抛物线方程y2=ax,观测了 6组数据(x, y.) (i二1,2,., 6),已 知x,无误差，y,为互相独立的等精度观测值，试列出该抛物线的误差方程。某一平差问题列有以下条件方程：V-V2+V3 +5 二0,V3-V-V5 -2二0,V5-V6-V7 +3 二0,+V+V7 +4二 0,试将其改写成误差方程。某一平差问题列有以下误差方程：V,二-Xi+3,V, =-X2-1,V, =-X,+2,V,二讥+1,V, =-X,+ X2-5,试将其改写成条件方程。 7-3精度评定对控制网进行间接平差，可否在观侧前根据布设

8、的网形和拟定的观测方案来 估算网中待定点的精度，为什么在间谈平差中，计算VTPV有哪几种途径简述其推导过程。为什么要求参数函数9的协因数如何求7. 3. 29已知某平差问题的误差方程为v,二V2V1 x r+ 2V3-3,观测值的权阵为:试求参数及协因数阵。7.已知某平差问题的误差方程为：Vi 钳+2,V2 =-见 + 孕2 - 3V，屯-1.仏= 2 + 6,Vs = - ft + 5,观测值的权阵为单位阵，试根据误差方程求单位权中误差估值。如图7T3所示的水准网中，A,B为已知点巴 P3为待定点，观测高差b ” h5,相应的路线长度分别为4km, 2km, 2km, 2km, 4km,若已

9、知平差后每千米观测高 差中误差的估值认如二3咖.试P2点平差后高程的中误差。对某水准网列出如下误差方程X10 0 1_ 100_ 1X _21610_ 8.10 .2 .已知Q二I,试按间接平差法求:未知参数X的协因数阵；(2) 未知数函数口 口 的权4) - Xi - X2设由同精度独立观测值列出的误差方程为试按间接平差法求阳*Q比?o34在间接平差中，q与卩、丫与v是否相关试证明之。如图所示的水准网中，A为已知水准点，B,C,D为待定高程点，观测了 6 段高差h,X ,线路长度& =S2 =S3 =S4=1km, S5 =S6=2km,如果在平差中舍去第6 段线路的高差h,问平差后D点高程

10、的权较平差时不舍去h&时所得的权缩小了百分 之几圏 714图 7-157.如图7T5所示的水准网中，A, B为已知点，PP3为待定点，独立观测了 8段路线的高差h/h8,路线长度$ =S2 =S3 =S4=S5 =S6 =S7 =1km, S8=2km,试问平差后哪一点高程精度最高，相对于精度最低的点的精度之比是多少|fi7-!6在图7-16所示的三角形中，A,B为已知点，C为待定点。A, B点的已知坐标,C点的近似坐标及AC和BC边的近似边长 列于图中（均以km为单位），试按间接平整法求C点坐标的 权倒数和相关权倒数（设P “二2x101参数以m为单位）o某一平差问题按间接平差法求解，已列出

11、法方程为8殳2孕2 + =0）-2?! +7?2 -二0试计算函数的牙=_ +克权。在三角网（如图所示）中，A,B,C为已知点，D为待定点，观测了 6个角度 L,设D点坐标为9二9只参数，已列出其至已知点同的方位角误差方 程：6 a M二-4. 22和 1 04%5叫品少+匕试写出角BDC平差后的权函数式。7.有水准网如图7T8所示，A,B,C,D为已知点，P,x P2为未知点，观测高 差 hi- h5,路线长度为& =S2二S5二6km, S3二8km,S4二4km,若要求平差后网中最弱点平差 后高程中误差W 5mm,试估算该网每千米观测高差中误差应为多少。在图7T9的大地四边形中，A,B为

12、已知点，C,D为未知点，Li L*为角度观 测 值，若设未知点的坐标为参数，试写出求CD边长平差值中误差的权函数式。B4 5丄K7-18图 7-19a 7.177-4水准网平差示例c7. 4. 42在水准网平差中，定权式为Pi =和Si以km为单位，当令c二2时,经平差计 算求得的单位权中误差2代表什么量的中误差在令c二1和c二2两种情况下，经平差分别求得的V, ,以及PVV相同吗”在图7-20所示的水准网中，A, B为已知点HFIO. 210m,禺二,观测各点间的高差为：h,二，h?二，h3二0. 235m,山二一2 311 m,h5二 0. 150m,h6 =h7=,h8 二-2 166m

13、设观测值的权阵为单位阵(各路线长度相同)，试按间接平差法求待定点c, D, E最或是高程及其中误差。7. 4. 44水准网(如图7-21所示)中，A,B为已知点，出二，论二，观测高差和各路线长度为：hi =1. 157m, Si 二2km,hy, S2 二2km.人3 S3 2km,二0. 663m, S4 二2km,hs S5 二4km,试按间接平差法求(1)待定点C, D最或是高程；(2)平差后C, D间高差的协因数赊 及中误差a *在令C二2和C二4两种情况下，经 平差分别求得的。4 *是否相同为什么有水准网如图7-22所示，A,B为已 知点，Ha=21 . 400m, Hb二23. 8

14、10m,各路线观侧离差为:hl =r h2 - rh3二0. 446m, h4 = -3, 668m,h5二 1 250m. h6= h?二设观测高差为等权独立观测值试按间接平差法求P1 P2 P3等待定点平差后的高程及中误差。在图7-22所示的水准网中，加测了两条水准路线& 9 （如图7-23所示），h8,h9二，其余观测高差见题。设观侧高差的权为单位阵，（1）增加了两条水准路线后，单位权中误差是否有所变化（2）增加了两条水准路线后，待定点P, P2 “平差后高差的权较之未增加两条 水准路线时有何变化 7-5间接平差特例一直接平差有附合水准路线（图7-24）, P为待定点，A,B为已知点其高

15、程为乩Hb,观测高差为叽h2,相应的路线长度为S km, S2 km,试求P点平差后高程的权P“Sr78田 7-247. 5. 48在如图7-25所示的水准网中已知高程HA =53 m, HB = m,测得高差 （设每条线路长度相等）h2 二 mh3= m试求：（l）P点高程的平差值;（2） P点平差后高程的权倒数。在如图7-26所示的水准网中，A,B,C为已知点，P为待定高程点，已知出二,Hb二22. 870乩坨二，观测高差及相应的路线长度为：Si 二2km. S2 二6km, S3 二3km,试求；（DP点的最或是高程;（2） P点平差后高程的权（当c-1时）按不同的测回数观测某角，其结果

16、如下:观测值测回数78o18 055095088147156103设以5测回为单位权观测试求图72?(1)该角的最或是值及其中误差(2) 一测回的中误差 7-6三角网坐标平差在图7-27所示的测角网中，C为已知点，P点为待定点。已知点 坐标和P点的近似坐标为：Xa=4 728. 008 m, 丫人二227. 880 m;Xe 二4 m, Yb Xc 二4 750. 191 mr Yc=;x8二4 881 27m, Y世346. 86mo角度同精度观测值丄F 94o29,32 L2= 44020*36. 3U, L3=47o1943 3”.L, =85o59*51 6n rn n J设P点的坐标

17、平差值为未知参数，X二XpYp，试按间接平差法,(1) 列出误差方程及法方程；(2)计算P点坐标平差值及协因数阵QR在三角形ABC中(如图7-28所示）A, B为已知点，C点为待定点，已知点坐标为：XA=1km, Ya二 1km,km, Yp6kni,c点的近似坐标为：x8 二,Yg =.,近似边长：S晶二，S晶二 5. OkmL L2, L3,是同精度角度观测值。试按间接平差法求C点坐标的权倒数及相 关权倒数。在图7-29所示的三角网中A,B为已知点，Pt , P2为待定点，已知点坐标为Xf867. 156m, XA=252. 080m, X8 二638. 267m, Y,二,待定点近似坐标

18、为：X氏二，Y化二，X& 二，Y& 二，同精度角度观测值为：1_2二94o1521, l_2二43o2242“，L2=38o26*00,L2=102o3552,f L2=38o5801n, L2二42o2143“设Pl , P2点坐标平差值为参数令=ffpjp/xpjpj，试按坐标平差法求 II(1 ) P. , P2点坐标平差值及点位中误差；(2) 观测值的平差值卩.54在图7-30所示的测角网中，A,B,C为已知点，Pi , P2为待定点，L- S为角度观测值已，知点坐标与待定点 近似坐标为图 7-30有三角网如图7-31所示，已知BH边的方位角为cibh二 284o57*29. 5, A

19、 , B 为已知点，其坐标为；Xa二97 689. 562mYa二31 970. 853mXb=102 344. 255 m,Yb二34 194. 167 m,C,D,E点为待定点、观测角值为角号观测值角号观测值角号观测值160o05 ”466o40 ”765o23 256o30,549o21z H860o34 ”363o24 ”663o57 “954o02 1054o14 ”试求:(1)待定点坐标平差值:(2) CE边的相对中误差。 7-7测边网坐标平差在图7-32所示的直角三角形ABC中，边长观测值1_尸278. 61 m. L2= 431. 52m, Lf,0l二I,若选AB及AC距离为

20、未知参数姑，。并令X?= L3 , X?二，试按间接平差法：(1) 列出误差方程；(2) 求改正数V及边长平差值卩(3) 列出BC边边长平差值的未知数函教式，并计算其权。在图7-33所示的侧边网中A, B, C为已知点，P为待定点，已知点坐标为:Xa二8 879. 256m, Ya二2 mXp8 597. 934m, YB=2Xc二8 , Yc二2 540. 460 mP点近似坐标为：Xg二，Yg= 332. 800 m 同精度测得边长观测值为：Si= in, Si=168. 415 叫 Si=试按坐标平差法求：(1) 误差方程；(2) 法方程；(3) 坐标平差值及协因数阵。补(4) 观侧值的

21、改正数X及平差值几在图7-34所示的测边网中，A,B, C为已知点，P, P2为待定点，观测了 7条 边长，观测精度为。&二、/Si(cm)(Si的单位为m)设100ni长度的观测精度为单位权中误差，观测值及各观测值的权为:编号边观测值/m1234567已知坐标和近似坐标为5已知坐标/mX/mY/mAB设待定点坐标平差值为参数，试(1)列出误差方程及法方程试2)求出待定点坐标平差值及点位中误差；(3)求观测值改正数及平差值。7. 8. 59如图7-35所示的单一附合导线,A,B为已知点R , P2 , P3为待定点, 观测角中误差 S = 3,观测边中误差为。5二、,52+ (5 X Si (

22、km) X 10 _ 6)2(mm)已知数据和观测值为：近似坐标/mX/mY/mPiP2占号已知坐标已知方位角X/ mY/mA6 556. 947449o30”B8 748. 1556角号观测角边号观测边/mo 1291 45 27. 8s.12275 16s213128 49 32. 3S314274 57S1 511. 1855289 10值。在图7-36的单一附合导线上观翻了 4个角度和3条边长。已知数据为Xp203 020. 348m, Yp59 049. 801Xf203 059. 503 m. , Yc二59 aAB=226o44,59, a co 二324o4603观侧值为:点号

23、角度 b i -边长Ah左23c.230 32 37180 00 42170 39 22236 48 37204.952200. 130345.153已知测角中误差二5”，测边中误差8二、/$ (mm),试按间接平差法求：(1) 导线点2、3点的坐标平差值；(2) 观测值的改正数和平差值。7. & 61有一个节点的导线网如图7-37所示，A,B,C为已知点，P.,P2, P3,人为待定点，观测了 9个角度和6条边长。已知测角中误差。op二10”, 测边中误差5二、/S； (mm) (i二1,2，Si以m为单位)，已知起算数据和待定 点近似坐标为已知坐标/m至点已知方位角占近似坐标/mXYXYA

24、D202 42PlBE313 57 29.p2CF2p3130 57 20.1观测值为编号角观测值0 编a边观测值/m1128 0702. 112233 1323100 0934212 0045138 1556110 3046. 367210 048226 089149 19EB7-37设待定点坐标为参数，试按间接平差法求:(I误差方程;(2)单位权方差;(3)待定点坐标平差值、协因数阵及点位中误差。7.有导线网如图7-38所示，A,B,C,D为已知点，PP&为待定点，观测了 14个角度和9条边长。已知测角中误差，a 10,测边中误差0Si=/Si (mm)(i =1,2,9), Si图 7-

25、38占号八2 J坐标占号近似坐标X/mY/mPX/mY/mA871. 18931825.810B632.21732740. 107C840. 94003(2)D4观测数据为:编号角度观测值0 / 编号角度观测值0 / /编号1301 368145 5812203 229125 092394 4110118 3534224 1711131 184595 051268 2256318 1613146 196753 5114139 09789边长观测值/m设待定点坐标为参数，试按间接平差法求：(1) 误差方程；(2) 待定点坐标平差值及点位中误差。7-9 GPS网平差图7-39为一个GPS网，GOK

26、 G02为已知点，G03、G04为待定点，已知点的三X/mY/mZ /m1-2 4110-4 733 73 519 02-2 4114-4 733 53 518 7维坐标为：待定点的三维坐标为:X/mr/mZ/m3-2 486 5-4 73153 518 64-2 418 6-4 7323 515 8用GPS接收机测得5条基线，每一条基线向量中3个坐标差观测值相关，各基线向量互相独立，观测数据为：基线号 X /m A / /m A Z /m基线方差阵0.02473143S0 8920.02876S5905 486-0.0150977357 429対0.0665508758 432-0.0285

27、111124 36S称0.0309438987 7920.0502008806794 一 0.03281445633910.09218776881308 0.0469678724634称0.05623398228820.0407009983 916 对0.0441453007 0700.0岀7437135 132 称-0.0274864940 544-0.0413990S40 0520.288695420 4770.047032470乃 13对40.0277944383 522对0.0315226383 6880.0692051980 483 称-0.0177584958 203 0.0310

28、603246 5370.0347083205 95950.0373160099 279对0.0407449555 4S30.0S00162721 033称-0.02452S0W5 335 0.03S02S6407 7990.04469407S4 S91设待定点坐标平差值参数文，文二禺丫, z3 x4 y4 z4r o试按间接平差的法求：（D误差方程及法方程；（2）参数改正数；（3）待定点坐标平差值及精度。7-10综合练习题现观测高差hi h8,相应的路线长度为：S1= S2二S3二S4二S5二S6二2km, S7二S8二1km,若设2km观测高差为单位权观测 值，经平差计算后的戸VW二（価），试计算网中3个待定点平差后高程的中误差o有大地四边形如图7-41所示，A, B为已知点，好、为待定点，观测了8个内角S观测精度为 =；又观测了 2条边S】、52,观测精度为%二何（cm）, S以山为单位。图 7-41X 广662. 467叫 yt = ；X B=, B待定点近似坐标为：角度和边长的观测值为:编号角观测值编号角观测值0 / /0 / /144 545