微分的概念性质及应用

1、x f x。是我们非常尖心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希A X。x2 X2 2xo x图2-1第二章第6节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重 点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：1. 微分的定义计算函数增量y f X。望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的变到X。 X （图21），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为X，面积为A，则A是x的函数：度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量X自X。数A相应的增量A，即从上式可以看

2、出,A分成两部分，第一部分 2xo A是A的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，2 2而第二部分 X在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当x 0时，第二部分X是比X高阶的无穷小即x 20 x。由此可见，如果边长改变很微小，即x很小时，面积的改变量 A可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数y f X满足一定条件，则函数的增量y可表示为其中A是不依赖于x的常数，因此A x是x的线性函数，且它与y之差y A x 0 x，是比x高阶的无穷小。所以，当 A 0,且x很小时，我们就可近似地用Ax来代替y。定义设函数y f x在某区间内有定义，xox及x。在这区间内，如果函数的增量可表示为y

3、A x。x，其中A是不依赖于x的常数，而Ox是比x高阶的无穷小，那么称函数y f x在点xo是可微的，而A x叫定理1函数f X在点X。可微的充分必要条件是函数f X在点X,可导，且当f X在点X。可微时，其微分一定dy f Xo Xo设函数y f x在点Xo可微，则按定义有式成立。 式两边除以X，得于是，当x 。时由上式就得A lim $ adn adx,d ex edx ,d log a x j_dx ,xln ad In x -dx Jxd arcs in xdx，d arccosx j X2d arcta nxd arc cot x1 X2dx，ydx。1 x注：上述公式必须记牢，对以

4、后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如:dx 2dyx dx 丄 d ax b，adx da*。In a4. 复合函数微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设y f u及u x都可导，则复合函数y f x的微分为 dy yxdx f u x dx。由于x dx du ,所以，复合函数y f x的微分公式也可以写成dy f u du 或 dy yudu。这一性质称为微分形dy f u du并不改由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy f u du保持不变式不变性这性质表示当变换自变量时(即设变 u为另一变量的任一可微函数时)，微分形式例4求y的微分解 dy d(e-x) e-xdsi nx e-xcosxdx自我训练：(1) y In 1 求dy(2) y In、X2&x，求 dyxo(3)有一半径为R的铁球，镀上0.01cm厚的