微积分复习资料

1、基本知识复习一、不定积分1不定积分概念，第一换元积分法(1) 原函数与不定积分概念设函数F x与f x在区间a,b内有定义，对任意的 x a,b，有IF x f x 或 dF x f x dx，就称F x是f x在a,b内的一个原函数。如果F x是函数f x的一个原函数，称f x的原函数全体为f x的不定 积分，记作f x dx F x C,(2) 不定积分得基本性质d1. f x dx fx2。 F x dx F x Cdx3。 Af x Bg x dx A f x dx B g x dx.(3) 基本不定积分公式表一kdx kx C k是常数，1 x dx L C 1 ,1(3 - dx

2、In x C,x(4) dx2 arctanx C,1 x _dxarcsinx C,V1 x2(6) cosxdx sinx C,(7) sin xdx cosx C,(8) dx sec xdx tanx C, cos2 x(9) d： csc xdx cotx C, sin x(10) secxtanxdx secx C,(11) cscxcot xdx cscx C,x(12) axdx 丄 c,In a (13)shxdxchxC,(14)chxdxshxC,(15)二 dxthxC,ch x(16)丄dxcthx C.sh x(3)第一换元积分法(凑微分法)设f u具有原函数，ux

3、可导，则有换元公式fxx dxf uudu .x设x2.第二换元积分法，分部积分法(1)第二换元积分法11t是单调的、可导的函数，并且t0 又设ftt具有原函数，则有换兀公式f x dxftttdx,其中 1 x是xt的反函数设函数u u X及v v X具有连续导数那么55移项，得uvuvuvuvuv,对这个等式两边求不定积分，得uvdxuvuvdx.这个公式称为分部积分公式它也可以写成以下形式udv uvvdu.（3） 基本积分公式表二(17)tan xdxIn cosx C,(18)cot xdxIn sinx C,(19)secxdxIn sec tanx C,(20)cscxdx叫cs

4、cx cot C,(21)(22)dx22a x 举dxx a-arcta n? c, a a C,(23)(24)(25)dxTOTadx:2 2 y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x xo时，y yo, y yo.或写成y|xxoyo，y|xo yo，其中xo yo和yo都是给定的值.上述这种条件叫做 初始条件.确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.一阶微分方程的初值问题，记作y f(x, y),y x 勺 yo.(12)微分方程的解的图形是一族曲线，叫做微分方程的积分曲线初值问题(12)的几何意义，就是求微分方程的通过点 (xy。)的那条积

5、分曲线.二阶微分方程的初值问题y f(x,y,y)y| x xo y0, y |x xoy0的几何意义，是求微分方程的通过点(x0, y0)且在该点处的切线斜率为 y0的那条积分曲线.可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f (x)dx( 5)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程g(y)dy f(x)dx.设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y) F(x) C .( 6)齐次方程一、齐次方程 如果一阶微分方程dy中的函数f(x,y)可写成y的函数，即fdy)x的未

6、知函数则称这方程为齐次方程，引进新就可化为可分离变量的方程代入方程(1)，便得方程(2).因为由(2)有y ux,孚 udx dxdux -，du (、 u x (u)， dx即xdu (u) u.dx分离变量，得du dx(u) u x两端积分，得求出积分后，再以 y代替u，便得所给齐次方程的通解x可化为齐次的方程方程dydxax by caix bi y ci当c G 0时是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令x X h,y Y k，其中h及k是待定的常数.于是dx dX,dy dY，从而方程(3)成为如果方程组dYaX bY ah bk cdX aiX

7、 biY aih bik ciah bk c 0aih bik &0的系数行列式ai方程(3)便化为齐次方程求出这齐次方程的通解后，在通解中以当 ai _ba ba b方程可写成上述方法不能应用b-，那么可以定出h及k使它们满足上述方程组 这样,bdYdXaX bYaiX biYx h代X， y k代Y，便得方程的通解.时，h及k无法求得, a b但这时令，从而dxax by c (ax by)ci引入新变量v ax by，则dvdxa bdy，或也1 dv a b dxdxdx于是方程(3)成为1 _dvav cb dxVC1这是可分离变量的方程以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程dy f

8、 ax by c dxaix biy Ci一阶线性微分方程一、线性方程方程dyP(x)y Q(x)(i)dx叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 y及其导数是一次方程.如果Q(x) 0,则方程(1)称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程(1)称为非齐次的.设(1)为非齐次线性方程为了求出非齐次线性方程(1)的解，我们先把Q(x)换成零而写dy P(x)y 0( 2)dx方程(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程.方程(2)是可分离变量的，分离变量后得dyP(x)dx，两端积分，得lnyP(x)dx G，y Ce P(x)dx , CeC1这是对应的齐次线性方程(2)的通解.

9、这里记号P(x)dx表示P(x)的某个确定的原函数.现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解.这方法是把(2)的通 解中的C换成x的未知函数u(x)，即作变换y ueP(x)dx于是dy dxP(x)dxu eP(x)dxuP(x)e.(4)将（3）和，（4）代入方程（1）得PgdxP(x)dxz、P(x)dx、u euP(x)eP(x)ueQ(x)，即u eP(x)dxQ(x),uP(x)dxQ(x)e.两端积分，得Q(x)e P(x)dx dx C .把上式代入（3）,便得非齐次线性方程（1）的通解P（x）dx / c/、 P（x）dxy e （ Q（x）e dx C）.（

10、 5）将（5）式改写成两项之和P（x）dxP（x）dxP（x）dxy Cee Q（x）e dx，上式右端第一项是对应的 齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1） 的一个特解（在（1）的通解（5）中取C0便得到这个特解）.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和二、伯努利方程方程dy P（x）y Q（x）yn （n 0,1）（ 13）dx叫做伯努利（Bernoulli ）方程.当n 0或n 1时，这是线性微分方程.当n 0,n1时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.事实上，以y除方程的两端，得(13)(14)yn

11、P(x)y1n Q(x)dx容易看出，上式左端第一项与d y1 n只差一个常数因子1 n,因此我们引入新的未知dx函数1 nz y ，那么dzn dy(1 n)y.dx dx19，把一个微分方程化为变量.下面再举利用变量代换(因变量的变量代换或自变量的变量代换)可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法 一个例子例5解方程dydx x y解若把所给方程变形为dx x y， dy y即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解 也可用变量代换来解所给方程：dy dudx dxdu令 x y u，则 y u x，1代入原方程，得1 - dx u dx1 du u

12、1分离变量得dx,两端积分得Inx C.u x y代入上式，即得InCieyy 1,(C1eC).可降阶的高阶微分方程y(n)f(x)型的微分方程(n)微分方程y f(x)的右端仅含有自变量 x.容易看出，只要把 y(n1)作为新的未知函数，那么(2)式就是新未知函数的一阶微分方程.两边积分，就得到一个 n 1阶的微分方程y(n 1)f (x)dx G .同理可得y(n 2)f (x)dx C1 dx C2.依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(2)的含有n个任意常数的通解.20y f (x, y)型的微分方程方程y f(x,y)的右端不显含未知函数y .如果我们设y p，那么dpdx而方程

13、(7)就成为P f (x, P).这是一个关于变量x、 p的一阶微分方程设其通解为 P (x,G).但是p dy，因此又得到一个一阶微分方程dxdydx对它进行积分，便得方程(7)的通解为(x,Ci).y (x,G)dx C2.三、 y f (y, y)型的微分方程方程y f(y,y)(11)中不明显地含自变量 X为了求出它的解，我们令 yp，并利用复合函数的求导法则把y化为对y的导数，即dp dp dy dx dy dxpf这样，方程(ii)就成为这是一个关于变数 y、p的一阶微分方程.设它的通解为y p (y, Ci)，分离变量并积分，便得方程(ii)的通解为题型分析1 简单积分法例:求

14、J1 X，G X? dx三 Ldx.d xd x ii x2 yi x2arcsinx In x 4lx c.2 抽象函数结合分部积分例：设f(x)的一个原函数为卫咚,则xf(x)dx 。xxf (x)dx xf (x)f (x)dxxf(x)sinxcxxcosxsinx sinxxxcosx 2si nxcxc故应填:cosx 2c.角函数有理式积分例。求3 cosx解:令tanx t2dx2dtTcosx1 t2dx3 cosx3 U：1 tdt2t242 dt1 tdt2辽arctan乜2 22T 2 tan-arctan24 角代换去根号例：求 x d x(1 x2)/2x 2 32

15、 dx. 令x tantdx sec2tdt(1 X)；22 2原式 tan t sec tdt 一 t3 sec 2 .sin t27cos tcostdt 2 .沁dtcost2 .1 cos t.x dt costIn | sect tantsint cc.lnx J1 x25.单无理式积分dx例：求4x 1 坂令(x 1)u6 dx6u5du原式u5du3u .duu 16 (u21)du哥6x1ln 6 x 11原式J0,求,f (x)dx2pinx0 I1 26(x2_)2dx24 (cosx sin x)dx02(sinx cosx)dx 2(x2sinx cosx 2cosx

16、sinx 240dx 1 1. dt t0 e设xx(t)是由方程sintx ie U2du10所确定的隐函数，试求t 07变限函数求导法.例：若是由x(方 )程所确定1的，则eu 习 u 0icost e (x 1) x (t)0x(t)cost e(x 1)再关于t求导，得x (t)e(x 1)sint 2(x 1) x (t)由已知方程得t 0, x 2x (0) e2x (0) 2e7. 函数光滑性的关系. 可导比连续强，连续比可积强.8. 参数方程结合变上限函数求导xcosududy1例:设y则lnt,(t0)dxt costx设参数方程tt sinu ”1 uu，(0 t)所确定的

17、函数是yy(x) (求氏dy，邑- dx dxysintt cost,dxsintdydttdtdyt sintdxsinttsintt2t(0，2t2 sint9积分的对称性的应用1例sinx2 In dx 01 1 x210. 广义积分的计算例求 0 x3exdx.令x2 t原式te dtobim teflim ( tet e)； 2b1 211. 可降阶方程的解法的特解。例：求微分方程y y 2y2满足条件y(0)0, y (0)令 y p(y),y pppp pp2得 z 2z 2y21 Cie2y，由条件得Ci 02 y2 y i2Inx C2由 y(o)得 C2In特解为:In.2

18、例：求微分方程(Xp,yy11exa)y xyp,(x a)pxd x的通解。xpCi2(x a)2(x a) x2 CiInCiarcta n- C2 CiCiI2.x,y在方程中对称地位的应用.例.求微分方程d x xsiny(i x cosy) d y的通解。山 xsinyx2 siny cosydy.1 d x . i .sinyx siny cosy dy解得x 1 Cecosy cosy 1或 x(cosy 1) Cecosy 113. 积分方程求解x例已知 o y( )d x2 y(x)，求 y(x)。两边关于x求导得xy(x) 2x 吐dx即4 xy 2xdx竺xdxy 2x2y CeT 2由y x o 0，求得 C 2故原方程的解为：y 2e2