【精品】分式知识点及题型总结超好用

1、分式知识点及题型、分式的定义:A一般地，如果A, B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。B二、与分式有关的条件 分式有意义：分母不为 0 B 0 分式无意义：分母为 0 B 0A0分式值为0:分子为0且分母不为0 )B0分式值为正或大于 0:分子分母冋号A0 或A0)B0B0分式值为负或小于 0:分子分母异号A0 或A0)B0B0分式值为1 :分子分母值相等A=B 分式值为-1 :分子分母值互为相反数A+B=0 )三、分式的根本性质分式的分子和分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。A A ? C A A C字母表示： A，A，其中A、B、C是整式，C

2、 0。B B?C BBC拓展：分式的符号法那么：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变,A A A A即：B B BB注意：在应用分式的根本性质时，要注意 C 0这个限制条件和隐含条件 B 0。四、分式的约分1 定义：根据分式的根本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3 注意：分式的分子与分母 均为单项式时可直接约分，约去分子、分母 系数的最大公约数，然后约去分 子分母相同因式的最低次幕。 分子分母假设为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没

3、有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式确实定方法：1系数取分子、分母系数的 最大公约数 作为公因式的系数2取各个公因式的最低次幕 作为公因式的因式3如果分子、分母是多项式，那么应先把分子、分母分解因式 ，然后判断公因式.五、分式的通分1 定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。依据：分式的根本性质！2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母确实定方法：1 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数2 取各个公因式的最高次幕作为最简公分母的因式3 如果分母是多项式，那么应先把每个分

4、母分解因式，然后判断最简公分母六、分式的四那么运算与分式的乘方分式的乘除法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为:分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为:a亠ededa ?ebTda ? d a ?d b e b ?e分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为:分式的加减法那么：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为:异分母分式加减法:先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为:e a b d整式与分式加减法：再通分。分式的加、减、乘、可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为除、乘方

5、的混合运算的运算顺序cad bebd1的分式,先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提 高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要标准，不要随便跳步，以便查对 有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式或整式。整数指数幂引入负整数、零指数幕后，指数的取值范围就推广到了全体实数，数幕一样适用。七、即:mnaab nna b并且正正整数幕的法那么对对负整数指(a 0)任何不等于零的数的零次幕都等于1其中n均为整数。八、分式方程的解的步骤：产生增根的过程去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

6、解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0,那么原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0,那么是原方程的解。0。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 九、列分式方程一一根本步骤： 审一仔细审题，找出等量关系。 设一合理设未知数。 列一根据等量关系列出方程组 解一解出方程组。注意检验 答一答题。分式典型例题一、分式(一)从分数到分式题型1:考查分式的定义题型2:考查分式有,无意义,总有意义(1 )使分式有意义:令分母亠0按解万程的万法去求解；(2)使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意

7、：(x21工0)例1:当x1时，分式有意义；2x例2:分式x52例3:当x时，分式一x1-有意义。1例4:当x例5:x，y满足关系x时，分式-xy无意义；y例6:无论x取什么数时，总是有意义的分式是()2x x3x1-中，当xx时，分式时，分式没有意义-有意义1x212x 1x31x 5D.厂x例7:使分式有意义的x的取值范围为(C.例8:要是分式J2没有意义，那么x的值为(x 1)(x 3)A. 2B.-1 或-3C. -1D.315卞万iih罕岀、8a2b、9a 5ab3a2b22、2- 、15xy211 x 1 3xy3丨八亠7 J1、x y-23 2xy4am6x 22x ya1中分式

8、的个数为()(A)2(B)3(C)4(D)5m练习题：(1)以下式子中，是分式的有.2z 2x 7、 x 15a；(3)x 52 3a2:xx 2:2弓 E 22xy 2b2x y(2 )以下式子，哪些是分式？a3. y . 7x .x xy ；1b5x24 y8x 2y45 .题型3:考查分式的值为零的条件使分式值为零：令分子 =0且分母工0,注意：当分子等于 0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍土 去。1 2a时，分式的值为0a 1例2:当时,2分式X-的值为01例3 :如果分式-的值为为零，那么a的值为2A. 2B.2C. 2D.以上全不对例4:能使分式2X2XX的

9、值为零的所有X的值是1DX例5:要使分式2X29的值为0，那么Xx 5x 6的值为)A.3 或-3B.3C.-3a例6 :假设-10,那么a是A.正数B.负数a题型4:考查分式的值为正、负的条件【例】(1) 当4彳X为何值时，分式-为正；8 X(2)当X为何值时，分式5 x 2为负;3(X 1)2(3)当X为何值时，分式22为非负数.X 3C.零D.任意有理数、分式的根本性质a3b3()a ()题型1：分式的根本性质的应用ABACABA CB CBC C0例 1: XV6x( yz)+ 中 53a ；如果1)5成立那么a的取值范围是aaby3(yz)2y z7(3a1)7“ab21b cbc分

10、式的根本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变例2 :a 2 b例3 :如果把分式中的a和b都扩大10倍，那么分式的值a bA、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 D 、不变例4 :如果把分式 卫匚中的X，y都扩大10倍，那么分式的值x yA 扩大100倍 B 扩大10倍 C 不变 D 缩小到原来的丄10例5:如果把分式 xy 中的x和y都扩大2倍，即分式的值x yA、扩大2倍;B、扩大4倍;C、不变;D缩小例6:假设把分式3y的x、y同时缩小2x12倍，那么分式的值A.扩大12倍B.缩小12倍 C.不变D.缩小6倍7 :假设x、y的值均扩大为原来的2

11、倍，那么以下分式的值保持不变的是A、3 B2y3x环D2y3x3例8:根据分式的根本性质,分式a可变形为b例9 :不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数,a b0.2x0.012x 0.05例10:不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数,1 x2 =1 x x题型2:分式的约分及最简分式 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的根本性质. 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式. 约分的结果：最简分式分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数

12、字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例1:x以下式子1 p-xy1(2)ba2y xyca()A、1 个B、2个C、3个D、例2 :以下约分正确的选项是)a b bal1 ； (4)x y-y中正确的选项是;(3)a cabx yx y4个6 x 2 xB、C、xy2xy214x2y2例3 :以下式子正确的选项是A2x yB.c dD.-a例4:以下运算正确的选项是A、a21 1 12m m m例5:以下式子正确的选项是A.b2a b1 D0.1a0.3ba3ba b0.2ab2ab例6 :化简2小m的结果是m)A、B、

13、D、例7:约分:4x2y13y3x 5y例8 :约分:ax ay例9 :分式A. 1 个 B题型3:6xy2a24a2 4a220.6xx 93xyxyy.4xya(ab)xy: 22416( yb(ab)(xy)2x2 16x2914a2bc3 2x2 8x 162x621a3bc5abx29o20 a b4ax 6x 9a ba2b212(a b)1中，最简分式有x 2.2个 C . 3个 D . 4个分式的通分及最简公分母通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式要先把分母因式分解x24分为三种类型：“二、三型；“二、四型；“四、六型等三种类型。例如：2 x最简公分母

14、就是x 2 x 2 ox 2 x 2(C .、四型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。三型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积例如:最简公分母就是 x24四、六型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如:x2x2最简公分母是：2x x 2x x 2例1 ：分式 一，一- , 的最简公分母是m nmnmna. (m n)(m2 2、n )B.(m2例2:对分式y，2xx3y21通分时,4xya.2 4 x2y3B .122x y22 2 2n ) c . (m n) (m n) d最简公分母是()C. 2

15、 4 xy2 D . 12 xy2例3:下面各分式：x21 x yx 12 2x y，其中最简分式有()个。2 2 2 x x x y x 12 2x yA. 4B. 3C. 2D. 11例4 :分式 ca 4，a的最简公分母是2a 4例5 :分式a与1的最简公分母为 b例6 :分式 2 1 2 , 2 1的最简公分母为x y x xy二、分式的运算(一)分式的乘除(-)n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方b题型1：分式的乘，除，乘方分式的乘法:乘法法测：ac=acbdbd分式的除法:除法法那么：a .ca=d=adbdbcbc分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就

16、是n式子表示为:(a)n=?_(n为正整数) b bn例题:计算:26x2 ? 25x46715x39y(2)3416x y10125a56x4100a13计算:(3)a b _ a2b2 a4 a2 abab a(4)2aa2 4a 4计算:(5)2x23?5y6x10y21x2(6)x21x2 6x 9(1x 3 x)?飞 x计算:(7)2aa2 4a求值题：(1):(2):2aa2 2a 11a21x2x2 2xy y2x-的值。2x xy9y2 y2 y的值。(3):求 2x 3xyx 2xy y?求xyX；的值。4 x y z211b x yC Dy1 yyC.D .x1化简x的结果

17、是)A. 1yxB. xy计算：i2x3 8xx2 4x 4x 22x 4(2)2X2 2x 1x212 2xx 1(3)2a 2严1 a2 2a 1a 12a 2计算：(1)(?)33x2a(2)b5(3)3y3 32x22 322 3计算：(4)b=2(5)旦?b2ab4 =2a2ba例题:求值题：i：-丫23x2 x ：x2 10x 25 y 3 0求的值。2xy 2y2练习：计算x2 y -一y ? -yj的结果是x x y二分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先

18、观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进 行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。2n例2 :2a2 3a2 1a24a21 -例 3:yx =例4: x 2yy2xx y y x2 2x y2 2y x2 2x ym m计算：1(2)a b(3)2a(a b)2b2(b a)25a2b 3ab23a2b 5ab28 a2bab21 1 1例5:化简丄+ 等于x 2x 3x例 6: b c aa b c13115A.2x B.2x c.6x D.6x2aa

19、2 4例8:3x(x 3)2x 6x2 3x2a 1练习题：113:14：(4)b215：abb2 a2计算a请先化简:的结果是2x-2 x：x24x三分式的混合运算题型1 :化简分式4x216H)?2例 10： aa 2a24例11:(2)(5)4x24(3)a212-2 a，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值1 2x2 x的值。4x 4例2：x2x3?x2 2x1 x2 4x 3x2 2x2x2y2 2x 2xy y题型2:分式求值问题:1 :x为整数，且2 2x+3 xx22 : x = 2, y= 1224y)23 :实数x满足4x2-4x+I=O，例6: 1x yx 2y2

20、x2 2x 4xy 4yx2x 2x 118 为整数,924(x y)2求所有符合条件的的值.1那么代数式2x+的值为2x1例4 :实数a满足a2+ 2a 8=0,求 a 1a 3a2 1 2a 1的值.a 4a 32a 1 a 3 a 6a 9a 3 a 2 a 4(1)x2 4xx2 8x 16，其中x=5.(2)a2 aba2 2ab b2,其中a=-3，b=2(3)a21a2 4a 4a 1；其中a 2a=85;x2，其中x= -1(5)先化简，再求值:2x 45勺x+2).其中 x=- 2.(6)代2 2 ) a 2ab b2a2 a1,其中2，b3例5:卄12 x的值是1111右x

21、 3求42).A .B .C.-D. 一xXX181024例6:1 13，求代数式2x 14xy2y的值xyx 2xyy例7:先化简，再对a取一个适宜的数，代入求值练习题：先化简再求值题型3:分式其他类型试题: -x(x24)Bx Cx2，那么A,C3y 7(y 1)(y 2)A. A 10, B 13A1A，那么()y 210, B 13 C. A10, B13 D. A10,B13例1:观察下面一列有规律的数：2338415 524，6735 48 5根据其规律可知第n个数应是数例2 :观察下面一列分式：丄,2,48 , ,16 5，-.,根据你的发现，它的第8项是，第n项是x x x x

22、 x1 10例3 :当x=时，分式与互为相反数.5 x 2 3xn为正整2例6:2x 3y，求 2xy 22的值;x y x y解:1n(n 1)1(n 1)(n 2)1(n 2)(n 3)1(n 2007 )(n2021)例7 :先填空后计算：1 1 =1。1o11 =o (3 分)nn 1n 1n 2n2n 31本小题4分计算：111n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2)(n3)(n2007)(n2021)三、分式与方程(一)分式方程的解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的 分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

23、1、交叉相乘法：例1.解方程：13xx22、化归法：例2.解方程: 1220x 1x13、左边通分法：例3：解方程：x818x/7 x4、分子对等法：例4.解方程：1a1 b(ab)axb x5、观察比拟法：例5.解方程：45xx25x 24x1746、别离常数法：例6.解方程：x1x 8x 2x 7x2x 9x 3x 87、分组通分法：例7.解方程：1111x 2 x 5 x 3 x 4(二)分式方程求待定字母值的方法1 假设分式方程旦无解,x求m的值。2 假设关于x的方程亠x 1k22x 不会产生增根，求 k的值。x 13 假设关于x分式方程x 2十有增根，求k的值。x 4x的方程一1x1

24、 x(二)分式方程的题型例4 假设关于-有增根x 1，求k的值。x21题型1 :化为一兀一次的分式方程(1) 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程一一分式方程。(2) 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。(3) 解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；验根.x 1例1 :如果分式的值为一1，那么x的值是；2x 1 54例2 :要使一与一的值相等，贝U x=。x

25、1 x 22mx 11例3 :当m=寸，方程 =2的根为一.m x2例5:解方程:x2 16x2x2x24 x2例6:：关于x的方程1ax无解，求xNB.M=NC.M 0.也就是说，采购员 A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购置方式合算.例 1. 3 某商场销售某种商品，一月份销售了假设干件，共获得利润 30000元; 二月份把这种商品的单价降低了 0.4 元，但是 销售量比一月份增加了 5000件，从而获得利润比一月份多 2000元，调价前每件商品的利润为多少元？解： 可以列出三个等量关系： 1. 2月份销售量一 1 月份销售量 =50002 . 2月份销

26、售量X 2月份利润=2月份总利润1月份利润一 2月份利润=0.4二、工程类应用性问题例2 . 1甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的1倍，问甲乙单独做各需多少天？解析： 2单独做所需时间一天的工作量1实际做时间工作量甲x天X12天乙-X天23 X 2(2+1)天1等量关系：甲队单独做的工作量 +乙队单独做的工作量=1例2 . 2甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的 3倍，因此比甲少用 20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？解析：输入汉字数每分钟输入个数所需时间甲1500 个X 个

27、/分1500乙1500 个3x个/分150)03x等量关系：甲用时间=乙用时间+20 分钟例2 . 3 某农场原方案在假设干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割 40公顷，结果提前4天完成任务，试求原方案一天的工作量及原方案的天数。解析1 :工作总量一天的工作量所需天数原方案情况960公顷X公顷96UX实际情况960公顷(X+40)公顷960X 40等量关系：原方案天数=实际天数+4 天解析2 :工作总量所需天数一天的工作量原方案情况960公顷X天960X实际情况960公顷(x 4)天等量关系：原方案每天工作量=实际每天工作量-40 公顷例2 . 4某工程由甲、乙两队合做 6天完成，厂家需

28、付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、2丙两队共9500元，甲、丙两队合做 5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共 5500元.3求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？假设工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.所以,由甲队单独完成此工程花钱最少.6(-)1，Xy110(丄)1，X 1+X1 1 11+11R+ _ =_ .yz6105xyz 55(-)2Xz3 X1，得1 =1，即 z = 30，6z30X1,得1=1.，即 x = 10，10 ：x10X1，得1 =1，即 y = 15 .5y15经检验，x = 1

29、0，y =:15，z = 30是原方程组的解.设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得6(ab)8700，a 800，10(bc)9500，b 650，由可知完成此工程不超过工期只有两个队:甲队和乙队.5(ca)5500c 300 .解：设甲队单独做需X天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成，依题意可得:此工程由甲队单独完成需花钱10a8000元；此工程由乙队单独完成需花钱 15b9750元.111评析：在求解时，把 ，一，一分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解.xyz例2. 5某工程需在规定日期内完成，假设由甲队去做

30、，恰好如期完成；假设由乙队去做，要超过规定日期三天完成现由 甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?解：工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天,那么乙单独完成工程所需的天数就是(x + 3)天.，乙的工作效率是设工程总量为 1，甲的工作效率就是，依题意，得，解得.即规定日期是6天.例2 . 6今年某大学在招生录取时， 为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比拟两人的输入是否一致.教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用 2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙

31、每分钟能输入 x名学生的成绩，那么教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，依题意，得：=11时，2x= 22,符合题意.即教师甲每分钟能输入 22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入解得x = 11经检验，x = 11是原方程的解，且当x11名学生的成绩.例2. 7甲乙两人做某种机器零件。甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做 60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个?解析：甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是(90 - x)小时，还可用式子90x小时来表示。乙每小时做(x-6)个零件，做60个零件所用的时间是60 一 (x -6)小时，还可用式子60x 6小时来表示等量关系：

32、甲所用时间=乙所用时间三、行程中的应用性问题例3.1甲、乙两个车站相距 96千米，快车和慢车同时从甲站开岀，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早 40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？所行距离速度时间快车96千米x千米/小时96慢车96千米(x-12 )千米/小时x96x 12等量关系：慢车用时=快车用时+ 40 (小时)例3.2甲、乙两地相距828km,6一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚岀发2h, 比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度.分析：这是一道实际生活中的行程应用题，根本量是路程、速度和时

33、间，根本关系是路程=速度X时间。解：设普通快车车的平均速度为 x km/ h，那么直达快车的平均速度为1.5 x km/h，依题意，得x 46是方程的根，且符合题意.x 46，1.5x 69，828 6x = 828，解得x 46，经检验 x 1.5x即普通快车车的平均速度为46km/ h,直达快车的平均速度为 69km/ h.例3.3A、B两地相距87千米，甲骑自行车从 A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由 B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离 B地45千米C处相遇，求甲乙的速度分析:所行距离速度时间8745甲(87-45 )千米x千米/小时OfFkJx乙4

34、5千米(x+4)千米/小时45x 4等量关系：甲用时间=乙用时间+ 30 (小时)例3.4 一队学生去校外参观他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校岀发，按原路追赶队伍假设骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校岀发到追上队伍用了多少时间？解：设步行速度为x千米/时，骑车速度为 2x千米/时，依题意，得：检验：当x = 15时，2x = 2X 15工0，所以x= 15是原分式方程的根，并且符合题意.，二骑车追上队伍所用的时间为30分钟.例3.5农机厂职工到距工厂 15千米的生产队检修农机，一局部人骑自行车先走

35、，40分钟后，其余的人乘汽车岀发，结1515 40解：设自行果他们同时到达，汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为 3x千米/小时，依题意，得:解得 x = 15.经检验x= 15是这个方程的解.当x = 15时，3x= 45.即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为 45千米/小时例3.6甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B;假设从原地出发，但是互换彼此的目的地，那么甲将在乙到达A之后35分钟到达B,求甲与乙的速度之比。分析：B等量关系：甲走 OB的时间-乙走OA的时间=35分钟四、轮船顺逆水应用问题例4. 1轮船顺流

36、、逆流各走 48千米，共需5小时，如果水流速度是 4千米/小时，求轮船在静水中的速度。路程速度时间顺流48千米x+4千米/小时48x 4逆流48千米x-4千米/小时48x 4分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度等量关系：顺流用时+逆流用时=5小时例4. 2轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度。解析：顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间，即30千米20千米顺水航行速度逆水航行速度设船在静水中的速度为x千米/时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数

37、表示，问题可解决.30 =20 ，解得x 10 .经检验，x 10是所列方程的根.即船在静水中的速度是10千米/时.x 2x 2五、浓度应用性问题例5 要在15%勺盐水40千克中参加多少盐才能使盐水的浓度变为20%分析：设参加盐x千克浓度问题的根本关系是：溶质=浓度.溶液解：设应参加盐X千克，依题意，得40 15% x= 20溶液溶质浓度加盐前4040 X 15%15%加盐后40+ x40X 15% x20%40 x 100X 2.5是所列方程的根，即参加盐 2.5千克.100(40 X 15% x) = 20(40 + x)，解得 X 2.5 .经检验,六、耕地问题1、 块面积相同的小麦试验

38、田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000Kg,第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。2、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把局部旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田 的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。3、 退耕还林还草是我国西部实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5: 3,设退耕还林的面积是 X公顷，那么应满足的分式方程是什么？七. 数字问题1例1 :一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,那么这个分数等于，求这个分数.4例2: 一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调