14分式的加法和减法

1、分式的加法和减法分式的加法和减法 本课内容本节内容 1.4 做一做做一做 13 + = 77 21 = 55 - - ； ； 计算：计算： 4 7 1 5 类似地，同分母的分式类似地，同分母的分式的的加加、减法减法运算运算法则是：法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. = ffhh . ggg 即即 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减. 41 75 1332 + = = 7755 . . ；- - 例例1 计算：计算： 举举 例例 2 33 1+2 + ( ) ( ) ( ) ( ) y

2、xyxx x yx y xyxy ； . .- - - 1+ + 解解 ( ) ( ) yx xyxy + = + xy xy 2 33 = xxy x y - - - - .= 3x = 1 2 33 2( ) ( ) xyx x yx y . .- - - 3 = x x y x y - - - - ()() 分式运算的最后分式运算的最后 结果要化为最简分式结果要化为最简分式. . 分式运算的最后结果要化为最简分式分式运算的最后结果要化为最简分式. 注意注意 下列等式是否成立下列等式是否成立？为什么为什么？ 说一说说一说 = = - - - - - ffff gggg ， . . 0 =0

3、 fff +f + gggg -()() ，因因为为 所以所以=. ff gg - - - - 因因为为 所以所以 = - - - - ff gg ， =.- - - - ff gg 例例2 计算：计算： 举举 例例 + acbc a bb a - + acbc a bb a 解解 - - - - acbc = + a ba b- -()() acbc = a b a b- - - ac bc = a b - - - - c a b = a b - - - - ()() = c 练习练习 1. 计算：计算： 738 1+ xxx - -( ) ( ) ； 2 x 答答案案： 2 2 2 + y

4、x xyxy - -( ) ( ) ； 2222 3( ) .( ) . acbc abab - - - 答案：答案：x- -y c a+b 答答案案： 2. 计算：计算： 22 1 + ( ) ( ) ； ab a bb a- 答答案案： a+b. 23 3+ 3223 ( ) .( ) . yx xyyx- 答案：答案：1 +2 2+( ) ( ) ； mnn n mm n- m+n n m 答答案案： - - 做一做做一做 11 + = 23 21 = 53 - - ； . 计算：计算： 3 2 5 6 6 6 651 15 15 15 51 615 1121 + = = 5233 ；.

5、 .- - 异分母的分数相加减，要先通分，化成同分母异分母的分数相加减，要先通分，化成同分母 的分数，再加减的分数，再加减. 类似地，异分母的分式进行加、减运算时，也类似地，异分母的分式进行加、减运算时，也 要要先化成同分母的分式，然后再加减先化成同分母的分式，然后再加减. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成 同分母的分式的过程，叫作分式的同分母的分式的过程，叫作分式的通分通分. 动脑筋动脑筋 如何把分式如何把分式 通分通分？ 11 23xy ， 通分时，关键是确定公分母通分时，关键是确定公分母. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作一般取各

6、分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，这样的公分母称为为公分母，这样的公分母称为最简公分母最简公分母. 2x的因式有的因式有2，x； 两式中所有两式中所有 因式的最高次幂的积是因式的最高次幂的积是6xy， 11 23xy ， 3y的因式有的因式有3，y， 所以这两个分式的所以这两个分式的 最简公分母为最简公分母为6xy. 2x3 y 从而可以根据分式的基本性质，分别把原来各分从而可以根据分式的基本性质，分别把原来各分 式的分子和分母都乘同一个适当的整式，使各分式的式的分子和分母都乘同一个适当的整式，使各分式的 分母都化成分母都化成6xy. 131 = = 226 3 3 ， y xx y

7、xy y 通分过程如下通分过程如下: 112 = = 336 2 2 . . x yy x xy x 举举 例例 例例3 通分通分： 2 222 1 1 4 3y 435 2 542 x xy acb b ca bac ( ) ( ) ， ( ) ( ) ， ， . . ； 2 1 1 4 3y x xy ( ) ( ) ， 2 222 4 4 = = 33 412 xx xx yyxxy ， 解解 最简公分母是最简公分母是 12xy2. 2 1 3 31 = = 44 312 yy xyxyyxy . . 23 2222 2 2 44 4 16 = = 55 420 aa a ca c b

8、cb ca ca b c ， 最简公分母是最简公分母是 20a2b2c2. 23 2222 2 2 33 5 15 = = 44 520 cc bcbc a ba bbca b c ， 222 435 2 542 acb b ca bac ( ) ( ) ， ， . . 23 2222 2 2 55 10 50 = = 22 1020 bb abab acacaba b c . . 举举 例例 例例4 通分通分： 2 2 11 1 1 2 4 2 4 ( ) ( ) ， ( ) ( ) ， . . x xx x x x ； - - - - - - 2 11 1 ( ) ( ) ， x xx-

9、- ； 11 = 1 x x x x ， ， ()() - - - - 解解 最简公分母是最简公分母是 x( (x- -1) ). 2 11 = 1xxx x . . ()()- - - 2 12 = 2+22 4 xx x ， - - - - ()()()() 最简公分母是最简公分母是 2( (x+2)()(x- -2) ). +2 = = 4 2222+22 . . ()() ()()()()()() xxx x xxxx - - - - 2 1 2 4 2 4 ( ) ( ) ， . . x x x - - - - 练习练习 1. 通分通分： 11 1 46xy ( ) , ( ) ,

10、； 3112 412612 , , yx = = xxyyxy 答答案案： 3 222222 4721 824624 yyx = = xyx yxx y 答答案案： , , 75 2 78yx ( ) , ( ) , ； 22 3 bc ab ( ) , ( ) , ； 22 7 4 86 y xyx ( ) , ( ) , . . 497540 785656 答答案案： yx = = yxxyxy , , 32 22 222 2 答答案案： bbca c = = aa bba b , , 2. 通分通分： 23 1 2+3+ ( ) , ( ) , ()()()() yx y xyx xy

11、2 2 39 = 2+6+ 24 = 3+6+ , , ()()()() . . ()()()() xx y xyxy xy yy x xyxy xy 答答案案： 2 1 2 y . y x xxy - - - - ( ) , ( ) , 2 11 = = xxyx x y yxy . y x x x y , , ()() ()() 答答案案： - - - - - - - - - 动脑筋动脑筋 从甲地到乙地依次需经过从甲地到乙地依次需经过1km的上坡路和的上坡路和2km的的 下坡路下坡路. 已知小明骑车在上坡路上的速度为已知小明骑车在上坡路上的速度为v km/h， 在下坡路上的速度为在下坡路上

12、的速度为3v km/h，则他骑车从甲地到乙，则他骑车从甲地到乙 地需多长时间地需多长时间？ 这是异分母的分式的加法，因此我们应先把它这是异分母的分式的加法，因此我们应先把它 们化成同分母的分式，然后再相加，即们化成同分母的分式，然后再相加，即 小明骑车走小明骑车走1km上坡路和上坡路和2km下坡路的时间分下坡路的时间分 别为别为 ， ，那么骑行所需的总时间为，那么骑行所需的总时间为 . 1h v 2 h 3v 12 +h 3 v v 12 + 3 32 =+ 33 3+25 = . 33 v v vv vv 因此，小明骑车从甲地到乙地需因此，小明骑车从甲地到乙地需 . 5 h 3v 举举 例例

13、 例例5 计算计算： 1 49 2 234 - - - - yx xy abc + baab ( ) ( ) ( ) .( ) . ； 1 49 ( ) ( ) yx xy - - 94 = 4 994 y yx x x yy x - -解解 22 94 = 36 . . yx xy - - 643 = 2 63443 a ab bc + b aa bab - - 22 64+3 = 12 . . abc ab - - 2 234 - - abc + baab ( ) ( ) 举举 例例 例例6 计算计算： 2 22 16 1+ +39 13 2 1 - - - - - - - xx xx x

14、 +xx ( ) ( ) ( ) .( ) . ； 2 16 1+ +39- -xx ( ) ( ) 16 = + +3+33xxx- -()()()() 解解 36 = + +33+33 x xxxx - - -()() ()()()() ()() +3 = +33 x xx- -()()()() 1 = . 3x- - 13 = 111 xx x x+x+x - - - - -() ()()() ()() 22 13 2 1 ( ) ( ) xx x +xx - - - - - 2 13 = 1111 xx x x x+xx x+x - - - - ()()()() ()()()()()(

15、)()() 22 213 = 11 xx+xx x x+x - - - ()() ()()()() 1 = 11 x+ x x+x- -()()()() 1 = . 1x x- -()() 举举 例例 例例3 计算：计算： 1 +1+1x x- - . . 1 +1+1x x 解解 - - +11 = + 11 x x- - +111 = + 11 ()()()()xx xx - - - 1+1+1 = 1 ()()()()xx x - - - - 2 1+1 = 1 x x - - - - 2 2 = 1 - - - - x x 注意注意 把把“x+1”看作看作“ ”，有助，有助 于寻找两个

16、分式的公分母于寻找两个分式的公分母. +1 1 x 练习练习 1. 计算计算： 75 1 78 ( ) ( ) ； yx - - 4940 56 - - 答答案案： yx xy 22 22 3 23 ( ) ( ) ； ba + ab 4 +9 12 yx xy 答答案案： 2( ) ( ) ； ab xyyz - - 253 4+ 34 ( ) .( ) . x xy - - az bx xyz - - 答答案案： 44 22 3+2 6 ba a b 答答案案： 2. 计算计算： 11 1+ +22 ( ) ( ) ； xx- - x y xy - - 答答案案： 2 21 3 4 24

17、( ) ( ) ； + xx- - - 1 2+2x 答答案案： - - ()() 2 + ( ) ( ) ； ()()()() yx y xyx xy - - 1 41 1 ( ) ( ) . x - - - - 2 2 4 答答案案： - - x x 1 答答案案：- - - - x x 3. 甲、乙两城市之间的高铁全程长甲、乙两城市之间的高铁全程长1500km，列车，列车 运行速度为运行速度为b km/h. 经过长时间试运行后，铁路经过长时间试运行后，铁路 部门决定将列车运行速度再提高部门决定将列车运行速度再提高50km/h，则提，则提 速后列车跑完全程要少花多长时间速后列车跑完全程要少花多长时间？ ( ( )= 1500 150075000 h). +50+50)bbb b 答：答： 提速后列车跑完全程提速后列车跑完全程要少花要少花 ( 75000 h. +50)b b 中考中考 试题试题 例例1 化简：化简： 的结果是（的结果是（ ）. A.- -x- -y B. y- -x C. x- -y D. x+y 22 - - - yx y xy x 解析解析 22 = xy y x - - - - 原原式式 A + = x yx y x y - - - ()()()() ()() = x+ y- -()() =