数字信号处理学习之傅里叶变换篇

1、数字信号处理学习之傅里叶变换篇作者：头铁的小甘在数字信号处理里面傅里叶变换是基础数学， 也是最重要的内容，通过傅里叶变 换，将信号转变到频域，通过频域对信号进行分析处理，可以对信号增强、对信 号进行滤波等操作，但是生活中的信号都是无限长、 连续的模拟信号，不利于计 算机的处理，因此需要将模拟信号进行了采样处理， 变成时间离散的信号，时间 离散信号对应于频域是周期信号，也就是采样让模拟信号频域进行周期延拓， 而 且周期为采样频率，和频域信号连续，这个过程叫做DTFT （离散时间傅里叶变换）。但是这样得到的频谱仍然是连续的而不是离散的，因此我们需要对离散时 间序列进行周期延拓，这样得到的频谱也是周

2、期离散，便于计算机的处理，这个 过程叫做DFS,再一步，由于序列仍然是无限长，计算机仍然无法处理，因此为 了计算机操作，把序列取主值区，这一步就是最后的DFT操作。时间信号和频域信号关系如下表。时域信号特征频域信号特征连续非周期连续非周期离散非周期连续周期连续周期离散非周期离散周期离散周期对应时域、频域空间曲线如下（）离电的* IAJFTXa jDTFT:X ejDTFT的周期是DFT;X k傅里叶变换公式F xa txa t e j tdtDTFT x nx n enj - nkNIDFT:1 N1j，kx nX k e NN k 0DFT的频域取不同的离散值。很明显，如果信号并不是绝对可积

3、，信号的傅里叶变换不存在，因此引入Z空间，在Z空间收敛域内，信号绝对可积，也就是稳定有界。Z变换：%(z) = x(n)= x(n)zHZ变换一般用于描述系统，特别是通过系统的差分方程就可以得到 Z变换表达式 的传递函数。对于Z变换和离散傅里叶变换的关系，如果把 Z收敛域是单位圆，并在圆上面 采样，得到的就是DFT内容，也延伸出频率采样定理，频域离散导致时域的周期 延拓，延拓周期是频域采样点总数。例程考虑一个余弦函数，频率为 200HZ。MATLAB代码234 _5 一6 7 一8 -9 一10 .11 一12 -13 一14 -15 一16 一1718 19 一务定义二角为数的金频率、定义步

4、长.尽量小岳听模拟信工%时间区间%85函数药定义沥瓜易大的领率+频域长度和时间域一样%敌手信三处理一一傅里叶受授篇%轨模拟信号超里叶支挨 w=2*pl*100;dt=O. 0001;t=0:dt:52*Dl/w：xa=L0*cos(w*t);wirax=2*pl*1000:K=length Lt) -1;k,0:K：vi-k*wnax/K;Xa=xa*exp (-1 i+t J *dt;%用守三泰法f昔求和subplot (2. 2. 1)plot (t, xa)titled横拟信号”)subplot (2, 2t 2)%画出双边频话pLot(-fliplr(ww/(2*pi) ww(2:en

5、d)/(2*pi), fliplr(real(Xa) real(Xa(2:end) titled篌拟信号傅里叶变换”)20%21蝌 DTFT22 一dt=l/400;，采样时间间隔，韦要满足奈主所特定会23 -n=0:LOO;%祥点数目24 一x=10*cos(w*n*dt):25 一K=I50:领域一个用期点,故目26 k=O:K:27 一w=k*pi/K：%单边颠城最大值28 一X=x4exp(li*n?;%DTFT29 一subplot (2, 2, 3)30 -plot (n, X)31-title(时间离散数字信号”)32 -sutplot(2, 2, 4)33 plot(-flip

6、lr(ww/pi) ww(2:end)/pil, fliplr(real(X) real(X(2:end)34-高射信号 DIPT)353637 -38 -39 -40 -41 -42 -43 -44 -45 -46 -47 -48 -49 -50 -51 -52 -53 -545556 -57 一58 -59 -60%赋DFT注意填零提升密度，增加采样点提升分辨率figure(2)dt=l/400;%采样点舟领域采样点n=0:10;x=10*cos(w*n*dt);n=0:length(X)-1;K=20;k=0:K-l;X=x*exp(-li*2*pi/K*n *k); %DFT subp

7、lot (2, 2, 1) stem(x) title (离散数字信号”) subplot (2, 2, 2) stem(real(X) title (离散数字信号DFT) subplot (2, 2, 3) stem(x) title (离散数字信号”)%马IDFTx=X*exp(li*2*pi/K*k *n)/K; %IDFT subplot(2, 2, 4) stem(real (x)title (离散数字信号IDFT)6061626364656667686970717273747576il787980018283%*Z变换用filter (b, a, x)%freqz (b, a,画出系统传递函数 b= 1, 0. 5; a= 1 -0. 5; inp=imseq (0, 19, 0); yy=f liter (b, a, inp); figure(3) subplot (2, 2, 1) stem(inp) title (“神檄序列) subplot 2, 2) stem(yy) title (系统神激响应”) ww=(0:50)*2*pi/50; yk=freq2 (b, a, ww); subplot (2, 2, 3) stem(abs (yk) title (系统传递函数幅频特性) subplot 2