护士工作时间调度优化方案

1、护士工作时间调度优化方案【摘要】本文是在一定约束条件下求最值问题，是典型的规划问题，为此我们 针对题目中的两个问题建立了相应的数学模型。为简化约束条件，避免因 变量过多导致求解不便，我们首先在满足工作时间和强度约束的条件下优 选出两种工作模式，然后充分利用集循环函数的特点建立非线性规划模型。 然后利用数学模拟和 Lingo 规划对其进行了有效的编程求解。问题一：我们要研究的是 ,在满足护士每日工作时间，工作强度以及当 班人员配备要求的条件下，达到护士需求量最少的目的。由于各时段所需 护士数量不同，且护士工作存在间歇性，所以如何安排护士工作时段就成 了解题的关键。针对此问题，我们从所有满足工作时

2、间和强度约束的工作 模式中，优选出两种独立的工作模式 s1, s2 ，利用其推导出所需护士人数12即目标函数表达式为： M 1 s1(i) s2( i) ，Lingo 求解结果为：i1min M 1 87 ，即为满足需求该医院至少需要 87 名护士，护士工作时间调 度方案详见附录。问题二：我们所要研究的是 ,在限定医院护士人数为 80 的前提下，安 排最少的护士加班，完成医院需要达到的固定工作量。它给出的限制是加 班的护士在完成正常时段工作后继续加班两小时。这仍是一个求最小值的 规划问题。同样的，我们也相应选出一组独立工作模式 s1,s2 ，此时加班12人数即目标函数变为 M 2s 1( i

3、) ,Lingo 求解结果为 min M 2 26 ，i1即最少需要 16 名护士加班，对应的护士工作时间安排方案详见附录。 最后通过对求解结果和问题的再分析，我们发现在医院工作总量不变 的前提下，目标人数其实已经可以确定。同时我们对数据的灵敏度以及模 型的优缺点也进行了分析，并据此对模型的改进方向和可应用领域分别作第1页，共 18页出了说明和推介【关键字】 规划模型 工作模式 集循环函数 应用分析一、问题重述某医院一个工作日（分为12个两小时长的时段）每个时段需要护士人数如 下表：每个时段的人员需求表编号时段需要护士人数iil000am-02am!15102am-04am151204am-0

4、6am151:306am-08am135408am-10am40:1510am-12pm40!i612pm-02pm:140!702pm-04pm301:1804pm-06pm311906am-08pm:35:1008am-10pm:30:11110pm-12am1201:问题1 :假定每个护士每天工作8小时，且在连续工作4小时后需要休息2小时，请计算为满足需求至少需要多少个护士。问题2 :此医院目前只有80名护士，这个数目不足以满足需求，因此需要安排部分人加班，每天加班时间为2小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，请给出护士工作时间安排方案，以使需要加班的护士人数最少。、模

5、型假设与符号约定2.1模型假设（1）假设所有护士都能保持全勤率。（2）假设所有护士都能服从安排，准时上下班。（3）假设不考虑各种客观因素对护士人数的影响。（4 ）假设没有突发事件发生，医院无需做出人员调整2. 2符号约定i, j:表示第i, j个工作时段，i, j 1,2.12；n:表示护士编号即第n个护士;An1,表示n护士在i时段不、值班0,表示n护士在i时段不值班M1 :表示所需护士的人数；M 2:表示所需加班护士的人数；p :表示i时段所需护士的人数；s1, s2:表示设定的护士每日当班的时段排列情况即值班模式s1(i):表示第i个时间段以si模式开始工作的人数 ；s2(i): 表示第

6、i个时间段以s2模式开始工作的人数；ij :表示为满足时段循环而定义的算法，ij i j k*12j 1,12k,N三、问题分析本题是一个规划问题，我们想到建立一般规划模型求解，为能够用数学语言表示, 引入一组二维的0-1整型变量An 1,表示r护士在时段值班0,表示n护士在i时段不值班， 利用集循环函数建立相应模型顺利的完成了求解，其分析过程如下: 问题一，针对问题需要我们主要引用的集函数为fun cti onsets:times/1.12/:start1,start2,required;min=sum(times:start1+start2)和 for，相应数学语言转化：start1 即

7、s1 模式:1，1，0，1，1start2 即 S2 模式：1，0，1，0，1，0，1我们设定每名护士只能按其中一种工作模式值班，这时我们可以得出所需护士人数就是12按照两种独立工作模式值班的护士之和即目标函数M1S1(i) S2(i);由于工作模i 1式以满足两个约束条件，此时只有各时段护士需求约束，为解决首尾时段连续的影响， 我们定义了一个算法ij i j k*12,j 1,1：k|,N，此时该约束可以表示为： st:s(i) s(i8) s(i9) s(i11) S2(i) m(i6) &(i8) s(i10) P(i)最后利用lingo编程即可进行求解。问题二，由于问题的相似性，据问题

8、一的分析过程，我们可以很简单的将问题二的模型建立起来，首先设定相应工作模式：start1 即 S1 加班模式：1，1，0，1，0，1，1start2 即 S2正常模式：1， 0， 1，0， 1， 1此时加班护士人数即为按照S1模式值班的护士人数：12M 2s1(i)i 1P(i) si(i) si(i 6)si(i7)si(i 9) si(i 11)s2(i)S2(i7) S2(i 8)s2(i10)除此约束外，问题二还增加了一个限制条件，护士总人数确定为80人即12si(i)S2(i)80，i i最后利用lingo应用集循环函数编程即可完成求解。四、模型建立根据以上分析，建立相应的规划模型如

9、下:模型一:模式设定：Si模式：1，1，0，1，1S2模式：1，0，1，0，1，0，1(1表示工作，0表示休息)(1表示工作，0表示休息)12Min M is1(i)s2( i)i 1st: si(i) s1(i 8)s1(i 9) s1(i 11)s2(i) s2(i 6)s2(i 8)s2(i 10)P(i)/ i时段护士配备约束模型二：模式设定：Si加班模式：1，1，0，1，0，1 ，1( 1表示工作，0表示休息)S2正常模式：1，0，1，0，1，1( 1表示工作，0表示休息)12Min M 2s1( i)i 1st:si(i) s1(i6) s1(i 7) s1(i 9) s1(i 1

10、1)s2(i) s2(i 7)s2(i 8) s2(i 10) P(i)，/ i时段护士配备约束12s1（i）s2（i）80, /总人数约束i 1五、模型求解5.1数据预处理表一：各编号对应的工作时段（注：为计算方便，我们将编号从1开始计数，对应时段如下表所示）编号123456789101112时段00-002-004-006-008-110-112-114-116-118-220-222-2246802468024表二：在i时段所需要护士的人数P.iPP2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12人数1515153540404030313530205.2编程求解模型一：Lingo求解结果

11、如下（代码见附录）：结论：在每个护士每天工作8小时，且在连续工作4小时后需休息2小 时的条件下，该医院为满足工作量的需求至少需要 87名护士，对应调度安排见附录。 模型二：Lingo求解结果如下（代码见附录）结论：在医院只有80名护士的前提下，为满足加班要求，至少需要 26名护士加 班。对应护士工作时间安排方案见附录。六、模型检验与结果分析6.2模型一的目标是在满足各种约束条件下，使所需护士人数最少，要做的决策是如何安排护士工作时段。应用Lingo求解的灵敏度结果如下:OBJ Bound 86.5，Best 87,对该题进行再分析知，该医院护士工作时段总量是12固定的，结果为Pi 346 ，由

12、于每个护士需要工作4个时段是确定的，在不考虑工i 1作强度的约束下，我们可以求出最优解 M 346/486.5,考虑到M是整数，即所需最少护士数为87人。这与我们的模型求解结果刚好一致，这时总工作量为 348个时段， 与理论计算的吻合度比较好。6.2模型二Lin go求解的结果是80人中至少需要26人加班，即每人每日需工作5 个时段，其余54人工作4个时段。此时有总工作时段为26*554*4346，刚好与要求的工作量一致，说明该模型所得出的护士工作时间安排方案是满足要求的优化方案。七、模型评价及改进7.1模型优缺点优点：文中数据处理采用图表的形式给出，清晰，直观；预设两种工作模式，避免约束条件

13、的复杂化，简化了运算，从Lin go程序的编 写可以感觉到该模型求解的方便。充分利用集循环函数的特性，使该模型具有很好的可行性和推广性，即该模型 求解的思路可以应用其它相类似领域，如策划工厂，学校等的值班安排方案等。 不足：该模型的建立是在一定理想情况得出的结果，未考虑各种客观因素的影响，难 免有一些欠妥之处。另外，该模型设定的工作模式只是所有可能模式中的一种，不能涵盖所有的优 化方案，在实践中不能很好的应对各种突发状况。7.2模型改进（1）上述模型建立过程中，为将多目标规划转化为单目标规划，其中工作模式的选 取存在偶然性。在实际中，考虑到客观因素对医院、护士本身出勤的影响，我们应该尽 可能多

14、的选取不同工作模式进行求解，这样可以根据不同情况做出调整，增强模型的适 应性。（2）在解决护士工作时间问题的规划后，我们建议设置一个客观因素的权重系数，代表各个客观因素对护士人数的影响大小，通过对他们进行分析，确定相应的约束目标，然后通过本模型的求解思路得出对应最优解。【参考文献】1 宋来忠、王志明./数学建模与实验M.北京：科学出版社，2005.8 ；2 朱道元等/数学建模案例精选P28-41页 北京：科学出版社,2003. 3 ；3 清华大学数学建模讲义关于集循环函数应用章节（姜启源）/网络查询2009.5.4 苏伶娥；护理人力资源配置不足现状及对策J;广西医科大学学报；2006年S2期5

15、 吴慧堃，曾桂珍；有限护理人力资源的合理使用J;实用护理杂志；2003年03期附录: 模型一 Lin go程序代码如下：model :sets:times/1.12/: start1,start2,required;en dsetsdata :!每天所需的最少职员数；required = 15 15 15 35 40 40 40 30 31 35 30 20; en ddata!最小化每时间段所需职员数；min =sum (times: start1+start2);for (times: gin (start1);for (times: gin (start2);for (times(J):

16、start1( wrap (J+8,12)+start1( wrap (J+9,12)+start1( wrap (J+11,12)+start1( wrap (J,12)+start2( wrap (J+6,12)+start2( wrap (J+8,12)+start2( wrap (J+10,12)+start2( wrap (J,12)=required(J);End运行结果:0)i123689101112457111011211011n结论：在各种约束条件下，该医院 为满足需求至少需要87名护士 .对应护士工作时间安排方案如下（注：空格处全部为护士 nGlofcal opt iixi

17、al so lut ion found at iteration:.DOOGAObject ive v a1ue j87.VariableValuededuced CostSTiRT1.( 1)9 - OCIDOOO1.0000002)n.aoDooa1.000000STARTLE 3)8 OOGOOOl,000000START!. ( 4口口OCOOD1.000000STiRTI. 5) -CIDOOO1.000000STATiTlt E)i-ooooooi .OQOcon7)Ct 0000001.000000ST ART 1( B)01*000000et直5)D-OOODOCIi.onoo

18、onSTA&TLf 10)4.000000i .OQOcon5TART1( 11)Ct 0000001.000000START1( 12)21.000000ET直HT2 ( i)D-OaODOOi.onooonSTARTS( 3)n.oDooool.OQDCOOSTART2 3)5 口0口口1.000000START2 ( 4)14.000001.000000STARTS ( 5)00000ooocooSTkRT2 ( 6)证.OCOOQQOOQQ( 7)口aQooaol,aQQt)QQSTAKT2 ( S)O.OODOQOi.aoooooSTARTS ( 9)D口00000ooocoo5TX

19、RT2( 10)1,000000i. aoooocSTARTS ( 11)口aQooaol,aQQt)QQSTXRT2 ( 12 )1.0Q00Q0i.aooooctREQUIRED( 1)1占.aooooooocooREQUIRED( Z )込口 00000 ,aODOQPREQVIRE&( 3)15,Q00a0口 .aaatiQQREQUIRED(钥3S.ODOOOD.GOOOOOREQUIRED( 5)O.ODOOOaoooooREQUIRED( 6)今口口00000 ooooooREQUIRED( 7)o.ocoaD00000REQUIRED( 0)30.00000aoooooREQU

20、IREI( 9)HI.ODOOOaoooooREQUIREU( 10)35.口0口口口o oooooaREQUTRUD 11)o.ocoaD.000REQUIRED ( 12)ao.oooaoaoooooRd5Lech： ou SurplusDuel Price17OCOaD-a ,000000y Solution Repurt -第间31101141101151101161101171101181101191101110110111111011121101113110111411011151101116110111711011181101119111102011110211111022111

21、102310111241011125101010126101010127101010128101010129101010130101010131101010132101010133101010134101010135101010136101010137101010138101010139101010140101010141101010142101010143101010144101010145101010146101010147101010148101010149101010150101010151101010152101010153101010154101010155101010156101

22、01015710101015810101015910101016010101016110101016210101016310101016410101016510101016610101016710101016810101016910101017010101017172737475767778798081828384858601018701010统计 Pi15151535410101011010101101010110101011010101101010110101011010101101010110101011010101101010110101011010101101010110111404

23、03032363020模型二：Lingo程序代码model :sets:times/1.12/: start1,start2,required;en dsetsdata :!每天所需的最少职员数；required = 15 15 15 35 40 40 40 30 31 35 30 20; en ddata!最小化每时间段所需职员数；min =sum (times:start1);sum (times:start1+start2)=80; for (times: gin (startl); for (times: gin (start2);for (times(J):start1( wrap

24、(J,12)+ start1( wrap (J+6,12)+ start1( wrap (J+7,12)+ start1( wrap (J+9,12)+ start1( wrap (J+11,12)+ start2( wrap (J+7,12)+ start2( wrap (J+8,12)+ start2( wrap (J+10,12)+ start2( wrap (J,12) =required(J);end运行结果：丄 Soln+ion Rep art 第二问G-lotoal opt imal solution found. Objective value: Otojecbive laau

25、nd:Inieasitoilities!Extended solver steps: Total Solvet Iterations:Var lath 丄 eGTJLPT1 ( 1) STAJTl (引 STAKT1( 3) STAKT1 ( -i) STJLRT1 ( ) STAPT1 ( START1( 7) STAF.T1 (硏 START1( 9)START1( 10)START1( 11)START1( 12) START2 ( 1) STARTS( Z) STARTS( 3 J STARTS( 4) STkFTS ( 5) START2 (石) STARTS( 7) START2(

26、 8) STARTS ( 5)STARTS( 10)START2 ( 11)STARTS( 12)REQUIFED( 1) REQUIRED 2) REQUIRED( 3) REQUIRED( 4) REQUITED( S) REQUIRED( 6) REQUIRED( 7) REQUIRED(爲) REQUIRED( 9) 口EQUIRED 10) REQUIRED 11) REQUIRED( 12)Z6,00000 6.oooao o.oooaoo soA1*72ValueR皀duced Costo.oonoanl.oooaooo,ooaooo1*0000002.aaooooi+oooao

27、o1LUOQDO1,QOOQQO12.000001,00000000000001ocoooo1.00000口1.000000Q.QQQQOOl.QQOQOQOOOOOOO1,000000oonooo1ocooooo.ooaoan1.aooooo口oooooo1.口00000Jooooooa+ooaoooiionoooOOOOOO3.OOOOOD0.OOOOOO,0000000*0000003 OOOOOO0,000000-iOOOOOO0,000000li.ciDonoO.OOuOOO4.0000000.0000000,0000000.OOOOOO.0口ooo0.00口ODD3.OOOOOOaT oooooo4.000000o.ooaoooIS.OOOOD0.OOOOOO1亍00000.OOOOOOL5口皿口DO+ OOOOOO35.onooo0,00000040.000000.00000040 OQ0000.OOOOOO呛D00000