江苏专转本高等数学真题(附答案).doc

1、2009 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分 24分）1、已 知limx 2ax b3，则常数a, b 的取值分 别为x 2x2（）A、 a1, b2B、 a2, b 0C 、 a1, b 0D、 a2, b12、已知函数 f ( x)x 23x2，则 x2 为 f ( x) 的x24A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间断点0,x0在 点 x0处可导，则常数3 、 设 函 数 f ( x)xsin10的取值范围为, xx（）A、 01B、 01C、1D、14、曲线y2x1的渐近线的条数为( x1) 2（）A、 1B、

2、2C、 3D、45 、 设 F ( x)ln( 3x1)是函数f (x) 的一个原函数，则f (2x 1)dx（）A、1CB、3CC、1CD、6x6x4412 x 83C12 x86 、 设为非零常数，则数项级 数nn 1 n2（）A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性与有关二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分）7、已知 lim (xxC) x2 ，则常数 C.x8、设函数 ( x)2 xdt ，则 (x) tet.09、已知向量 a(1, 0,1) ， b(1,2, 1)，则 a b 与 a 的夹角为.10、设函数 zz ( x, y) 由方程 xz 2yz1 所确定

3、，则z .xan1 ，则常数 a11、若幂函数2 xn (a0) 的收敛半径为.n1n212、微分方程 (1x2 ) ydx(2y)xdy0 的通解为.三、计算题（本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分）13、求极限： limx3sin xx0 xxln(1t)214、设函数 y所确定，求 dy , d y .y( x) 由参数方程t 22t 3ydx dx 215、求不定积分：sin2x1dx .1x216、求定积分：dx .02x217、求通过直线xy1z 2 且垂直于平面xy z20 的平面方程 .32118、计算二重积分yd，其中 D( x, y) 0x2, xy2, x 2y

4、22 .D19、设函数 zf (sin x, xy) ，其中 f ( x) 具有二阶连续偏导数，求2 zx.y20、求微分方程y yx 的通解 .四、综合题（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）21、已知函数f ( x)x 33x1，试求：（1）函数f ( x) 的单调区间与极值；（2）曲线yf ( x) 的凹凸区间与拐点；（3）函数f ( x) 在闭区间 2, 3 上的最大值与最小值.22 、设D1 是由抛物线y2x 2 和直线xa, y0 所围成的平面区域，D 2是由抛物线y2x2和直线xa, x2 及y0所围成的平面区域，其中0a2 . 试求：（1） D1 绕 y 轴旋转所成

5、的旋转体的体积V1 ，以及 D 2 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积V2 .（2）求常数 a 的值，使得D 1的面积与 D 2 的面积相等 .五、证明题（本大题共2 小题，每小题9 分，满分18 分）23、已知函数e x,x0f ( x) 在点 x0 处连续但不可导 .f ( x)x ,x，证明函数1024、证明：当1 x 2 时， 4x ln xx 22x3 .2009 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、 A2、B3、 C4 、 B5 、 D6 、 C7 、 ln 28、 4xe2 x9、10、z211 、2 12、 ln x1 x 22 ln y y C32xzy213

6、、 limx3lim3x26 ，.sin xcos xx 0 xx0 114、dx1 dt,dyt2)dtdy (2t2)dt2(t1)2，t(2，11dx1dttd2yd dy4(t1)dtdx4(t1)2.dx2dx1dt1t15、令2x1t, xt 21，2sin2x1dxsin t tdttd costt costcost dtt cos tsin tC2x1 cos2x1sin2x1C16、令 x2 sin，当 x 0,0 ；当 x1,.41x2dx42 sin22 cos d4(1cos 2 ) d(1sin 2) 4102x202 cos0204 217、已知直线的方向向量为s0

7、(3, 2, 1) ，平面的法向量为n0(1, 1, 1) . 由题意，所求平面ijk的法向量可取为ns0n0 (3, 2, 1)(1, 1, 1) 321(1,2, 1) . 又显然点 (0,1, 2)111在所求平面上， 故所求平面方程为1( x1)( 2)( y1)1(z2)0 ，即 x2 yz 0 .18、yd2 sinddsind2 cos1(8 csc222 sin) d22 d2DD42341( 8 cot22 cos )223419、 zf1cos xf 2y ；2 zf 2x cos xf 12xyf 22xx y20、积分因子为( x)2 dxln x 21.e xex 2

8、化简原方程xy，2 yx2 为 dy2y.dxxx在方程两边同乘以积分因子1 ，得到dy2y1 .x2x 2dxx 3x化简得： d ( x 2 y)1 .dxx等式两边积分得到通解d (x 2 y)1 dx.dxx故通解为 yx2 ln xx 2C21、（ 1）函数 f ( x) 的定义域为 R ， f ( x)3x 23 ，令 f (x)0 得 x1，函数 f (x) 的单调增区间为 (,1 ,1,) ，单调减区间为 1,1 ，极大值为f (1)3 ，极小值为f (1)1 .（2）f ( x)6x ，令 f ( x)0 ，得 x0 ，曲线 yf ( x) 在 (, 0 上是凸的，在 0,)

9、上是凹的，点( 0,1) 为拐点 .（ 3）由于 f (1)3 ， f (1)1 ， f (3)19 ，故函数f ( x) 在闭区间 2, 3 上的最大值为 f (3)19 ，最小值为 f (1)f ( 2)1.V1a 22a 22 a2x 2 dya 4 .V222 dy4(32a5 ) .22、（ 1）0(2x2 )a52 a 3 . A22 (8（2） A1a2x 2 dx22 dxa 3 ). 由 A13 4 .02xA2 得 a3a323、证（ 1）因为 lim f (x)lim ex1， limf ( x)lim ( x1)1 ，且 f (0)1 ，所x 0x 0x0x0以函数 f ( x) 在 x0处连续。（2）因为 limf ( x)f (0)limex11 ，limf ( x)f (0)limx111 ，x0x0x 0xx0x0x 0x所以 f (0)1,f (0)1 .由于 f (0)f (0) ，所以函数f ( x) 在 x0处不可导.24、证令 f ( x) 4 xln x x 22x3 ， 则 f ( x) 4 ln x2x 2 ，f ( x)4242 x